2015海淀区高三一模数学(理)试题及答案解析

1、第1页共 14 页海淀区高三年级第二学期期中练习海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)2015.42015.4本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一一、选择题共选择题共8小题小题，每小题每小题5分分，共共40分分。在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要选出符合题目要求的一项求的一项。(1)设集合 A二xeRIx1,B=xGRIx20”是“角 a 是第一象限的角”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件x=1+yf

2、2COS0,(5)圆厂(0为参数)被直线y=0截得的劣弧长为()y=1+Q2sin0 x+y0,(6)若x,y满足1,则下列不等式恒成立的是()x-y0,A)2nT(B)n(C)2迈n(D)4nB)x2D)2xy+10课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第2页共 14 页A)y1C)x+2y+20课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第3页共 14 页(A)第一年到第三年(C)第三年到第五年(B)第二年到第四年(D)第四年到第六年(7)某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是()(8)某地区在六年内第x年的生产总值y(单位：亿元)

3、与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是()课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第4页共 14 页二、填空题共二、填空题共6小题，每小题小题，每小题5分，共分，共30分分。ai(9)已知口一1+i其中i是虚数单位那么实数a=开始ZXZ(10)执行如图所示的程序框图，输出的i值为(11)已知 m,4,n 是等差数列，那么(J2)m-(J5)n=；mn的最大值为(12)_ 在 AABC中，若a=/2,c=*3ZA=-，则厶B的大小为.4(13) 社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且

4、两位老人不排在两端，则不同的排法种数是(用数字作答)Ix3,xa.值范围是-三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15)(本小题满分13分)n已知函数 f(x)=sm2(x+).4(I) 求 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(II)求 f(|-x)的单调递减区间.结束课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第5页共 14 页(16)(本小题满分13分)某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，(10，20

5、，(20，30，(30，40，(40，50分组，得到频率分布直方图如下：课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第6页共 14 页假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（I）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S2,s2,试比较S2与s2的大小；（只需写出结论）1212（II）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于20箱的概率；（III）设 X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的数学期望.课外 100 网】教师

6、会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第7页共 14 页(17)(本小题满分14分)如图1,在直角梯形ABCD中，ADgBC，AD丄DC，BC二2AD二2DC，四边形ABEF是正方形.将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABEF的位置，使平面11ABEF丄平面ABCD，M为AF的中点，如图2.111(I)求证：BE丄DC；1(II)求BM与平面CEM所成角的正弦值；1(III)判断直线DM与CE的位置关系，并说明理由.18)(本小题满分13分)已知函数/(x)=AInx+丄丰0).x(I)求函数/(x)的单调区间；(II)若xf(x)0=B,c(其中bb0)过点(0,_1)，a2B2(I)求椭

7、圆M的方程；(II) 是否存在菱形ABCD，同时满足下列三个条件:E13)同时满足下列两个条件：n12n1对于任意的 i,j(1ijn)，aa；ij2对于任意的 i,j,k(1ijks2.数学（理）答案及评分参考（理）答案及评分参考2015.49)210)411)16,16(12)-或竺12或1213)24(14)(a,0)U(h+8)三、解答题（共三、解答题（共6小题，小题，共共80分分) )n令2x=kn+(keZ)，得:2x=塑+-(keZ)246分所以 f（x）的最小正周期为n，nn对称轴的方程为x=2+(keZ).sin2x)+1兀、3(ii)f(3x)=32=一一sin(2x一)2

8、3n2nn9分令2kn2x2kn+(keZ),232n7n得:kn+xkn+(keZ)得：1212nn7n所以f(-x)的单调递减区间为kn+12,kn+12(keZ).13分课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第10页共 14 页12分（II）设事件A:在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B:在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件 C:在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.则P(A)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20=0.3.6分所以P(C)=P(A)P(B)+P(A)P

9、(B)=0.42.8分(III)由题意可知，X的可能取值为 0,1,2,3.9 分P(X=0)=C0X0.30X0.73=0.343，3P(X=1)=CX0.I3X027=0.4413P(X=2)=C2X0.32X0.71=0.189，3P(X=3)=C3X0.33X0.70=0.027.3所以 X 的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.02711分所以 X 的数学期望 EX=0X0.343+1X0.441+2X0.189+3X0.027=0.9.13分另解：由题意可知XB（3,0.3）.所以 X 的数学期望 EX=3X0.3=0.9.13分（17）（共 14 分）证明：（I

10、）证明：因为四边形ABE1为正方形，所以BE丄 AB.因为平面ABCD丄平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，BEu平11111课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台13第11页共 14 页面ABEF，课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第12页共 14 页所以BE丄平面ABCD.1因为DCu平面ABCD，所以BE1丄 DC.4分(II)解：如图，以点B为坐标原点，分别以BC,BE所1在的直线为x，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设AD=1，贝IB(0,0,0),C(2,0,0),E(0,02),M(1,1,g.12(I

11、II)解：直线DM与直线CE平行.理由如下：11分1近 l由题意得，D(2,1,0),DM=(1,0,),CE=(2,0,2).21所以CE=2DM.1所以CE/DM.1，CE=(-2,0八.2)，EM=(1,1,116分设平面立严的一个法向量为n=(x,y,z).n-CE=0,由1得r=V2,y=0，所以n=(10,Q.8分设BM与平面比严所成角为e,贝sinecos=BM-nBMn所以BM与平面CE1M所成角的正弦值为2*30152顾1510分y所以 BM=(1,1课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台13第13页共 14 页因为DM，CEi不重合,所以DM/CE.

12、1另解：直线DM与直线CEi平行.理由如下:(18)(共13分)a1ax-1/解：(I)/(x)=(x0).xx2x2(i)当a0时，f(x)0时，令 f(x)=0,得 x=.a当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表x1(0,)a1a(丄,+8)af(x)0+f(x)极小值/所以f(x)的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(,+只).5aa 分(II)由(I)知：当a0时，因为f(x)在(0,)内是减函数，在(一,+8)内是增函数，所以要使aa11x|f(x)0=b,c，必须f()0，即aIn+ae)，则g(x)=1=(xe).xx当xe时，g(x)0，所以，g(x)在e,+8)上

13、是增函数.所以当ae时，g(a)=a2lnag(e)=e20.1所以 f()0.9分a2111因为_1，f(-)0，a2aa111所以f(x)在(一，)内存在一个零点，不妨记为b，在(一,】)内存在一个零点，a2aa不妨记为c.11分11因为f(x)在(0，)内是减函数，在(一,+8)内是增函数，aa所以x|f(x)e.7分11当ae时，f()=aln()+a2=-2aIna+a2=a-(a一2lna).12课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第15页共 14 页111因为 bG(,)，cG(,1),a2aa所以b,c匸(0,1).13分19)(共13分)b=1,解：

14、(I)由题意得:3分a2-b2=c2.Ia2=3,解得:U2=1.所以椭圆M的方程为丁+y2=1.(II)不存在满足题意的菱形ABCD，理由如下：分假设存在满足题意的菱形ABCD.设直线BD的方程为 y=x+m,B(x,y),D(x,y),1122点A(t,2).4分5线段BD的中点Q(x,y),006x2+3y2=3,c 小得4y2-2my+m2-3=0.y=x+m由A=(2m)2-16(m2-3)0，解得-2m2.8分9分m因为y+y=,122y+ym所以y=12=.024因为四边形 ABCD 为菱形，所以Q是 AC 的中点.m所以C点的纵坐标y=2y-2=-23)符合、，贝 y：n12n

15、（i）A中至多有三项，其绝对值大于1.n假设A中至少有四项，其绝对值大于1,不妨设a,nia,a是A中绝kln对值最大的四项，其中11a11a11a1-1.这与y-1矛盾.13CC分所以不存在满足题意的菱形ABCD.（20）（共14分）解：（I）由，得2a6,126，故2a二6，解得 a二3.经检验，当 a二3时，符合题意.（II）假设2,3,5是数列A中的项，由可知：6,10,15中至少有一个是数列A中的nn则有限数列A的最后一项a5，且n4.nn由，aaaa1nn-1n-2n-3项，课外 100 网】教师会员资料 最专业的中高考辅导教师交流平台第18页共 14 页则对a，a，a有丨aaI1aI，IaaI1aI，故aa，aa均不是数列A中的项,iklillkllilkln