论反证法在中学数学中的应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上昆 明 学 院 2016届毕业论文（设计） 设计（论文）题目 论反证法在中学数学中的应用 子课题题目 姓 名 郑粒红 学 号 8 所 属 系 数学系 专业年级 数学与应用数学2012级数学1班 指导教师 雷晓强 2016 年 3 月专心-专注-专业摘 要本文主要从五大板块对反证法在中学数学中的应用进行论述，第一板块通过对反证法的由来、定义、逻辑依据、种类、模式的说明对反证法进行概解。第二板块例举反证法的适用范围，并通过大量实例阐明在各个命题中反证法的证明的步骤。第三板块分析应用反证法应注意的问题。第四板块浅析反证法的教学价值及建议。最后第五板块进行分析总结。关键词：反

2、证法;证明;矛盾 Abstract This article mainly from the five plate on the reduction to absurdity in the middle school mathematics application is discussed, and the first plate by means of reduction to absurdity and types of the origin, definition and logical basis, the model of generalized solution of reduct

3、ion to absurdity. Second plate presented the applicable scope of reduction to absurdity, and through a lot of examples to elucidate the reduction to absurdity in the proposition proof steps. Some problems that should be paid attention to the third sector analysis application of reduction to absurdit

4、y. The fourth section teaching value of reduction to absurdity is analysed and the suggestion. Finally the fifth plate were analyzed. Keywords: Reduction to absurdity; prove ;contradiction目录9345绪论从前有一个叫王戎的小孩。在天朗气清的一天，他和小朋友们出去玩并在路边发现一棵树上结满了李子，小朋友们蜂拥而上，去摘李子吃，尝了之后发现是李子苦的。这时站在一边没有动的王戎向小朋友们解释道：如果李子是甜的，早被

5、路人摘光了，而这棵树上的李子结得满满的，所以这些李子一定是苦的。这个故事中王戎从反面论述了李子为什么一定是苦的。这种反面的证明方法就是我下面所要讨论的反证法。反证法是数学证明中一种极为重要的方法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。同时反证法也拥有历史悠久的应用与发展，古希腊数学家们就曾应用它证明了许多重要教学命题，比如，欧几里德证明两条直线相交只有一个交点的定理就是用反证法证明的。第一章 反证法概解1.1 反证法的由来 反证法,从名称上我们就能知道它是一种证明方法，它在数学和逻辑上是统一的。在毕达哥拉斯学派的影响下早期古希腊的数学认为万物皆数，并用整数和几何图形构建了一个宇宙图

6、式，当时在数学家的脑海里万物皆数这个思想是根深蒂固的。但是随着的出现，希腊开始重新审视他们眼里的数学，认识到图形和直观并不是万能的，从而推理和逻辑走上了数学的舞台。于此同时西方数学变成了以证明为主的证明数学,他们的数学推崇准确性，他们要的是准确的数学。其表现形式为:逻辑、演绎的体系。由此可见证明的数学与算的数学正好是相反的。希腊人重视逻辑和演绎的证明，在欧几里得的几何原本里反证法得到了最早的应用。在初等数学教程（平面几何卷）中法国数学家J·阿达玛作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。在数学命题的证明中作为一种最重要且基本

7、的数学证明方法的反证法被广泛应用。就如，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，欧几里得证明的“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明的“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，“上帝并非全能”的证明，其中都运用了反证法。在我们学习的各个阶段，反证法自始至终都陪伴着我们。1.2 定义反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。不仿设原命题为，是推出的结论，表示条件、某公理定义定理或临时假设，则用数学术语可以简单地表示为：，即。1.3 逻辑依据逻辑思维规律中的“矛盾律”和“

8、排中律”是反证法所依据的。逻辑思维中的“矛盾律”指在同一思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的；逻辑思维中的“排中律”指两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”。反证法通过证明，从而得到矛盾的判断，再根据“矛盾律”，我们知道这些矛盾的判断不能同时为真，必定有一个是假的。而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必定是假的。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们并可以得到原结论必定是真的。1.4 种类反证法又称为归谬法，反证法的运用重点在于归谬。根据结论B的反面

9、情况的不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。1.4.1 简单归谬法如果命题的反面只有一种情形，那我们则只需把这一种情形推倒，便可实现反证的目的。例 1.1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。已知：求证：证明：假设与不平行, 则可设,过点有两条不同的直线与（不满足平行公理）,即假设不成立,故. 1.4.2 穷举归谬法若命题的反面不止一种情况，那我们则必须将其逐一推倒，才能间接证明命题的正面成立。例 1.2 若则有证明：假若不然，则有:与题设矛盾；与题设矛盾。因此， 1.5 模式 假设需要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，并且A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命

10、题一般有如下三个步骤：(1)反设：作出与求证结论相反的假设；(2)归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；(3)结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。第二章 反证法的适用范围 生活中去掉含有砂砾大米中的砂砾，一共有两种方法。一种是直接把大米中的砂砾一一捡出来；一种是用淘洗发，把砂砾残留下来。这就像数学中的直接法和间接法，而反证法就是一种典型的间接法。那么，我们什么时候该用反证法呢？2.1否定性命题 结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题，不容易用直接证法证明，而反证法刚好可以发挥它的作用。例 2.1 求证:若为自然数 ,则不能被15整除。 证明：假设能被15整

11、除,则定能被5整除, 的尾数必定为5或0,又 为偶数 , 的尾数必然为0,即的尾数必然为8 . 又对任意自然数的尾数均不为8，假设错误不成立，即原命题成立. 2.2 肯定性命题 例2.2 求证0.9的循环等于1.证明：假设0.9的循环不等于1，则0.3的循环的3倍必定不等于1,又，与假设矛盾,即原命题成立，0.9的循环等于1. 2.3 限定式命题结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题称为限定式命题。2.3.1 “至多”例2.3 已知:都是正整数;求证：在三个数中，至多有一个数不小于1证明： 假设中至少有两个数不小于1，不妨设则:两式相加，得:,与是正整数矛盾即命题成立.

12、 2.3.2“至少”例 2.4 已知：;证明:方程和中，至少有一个方程有实数根。分析：“至少有一个”就是“有一个”，“有两个”，那么它的反面则是“一个都没有”，属于存在性问题，适合用反证法。证明：假设两个方程，都没有实根,， . 又,矛盾.即和中至少有一个方程有实数根. 2.3.3 其他例 2.5 是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合： （1）对任意的，都有； （2）存在常数，使得对任意的，都有. 设 , 如果存在 使得,证明这样的是惟一的.分析:如果不是惟一的，即存在另外的满足条件的根。证明时可假设存在外的另一实数满足条件，从而推出与惟一性相矛盾的结论.证明：假设存在另一实数,使得. ,

13、由得:,即,又,显然上式不成立,原命题成立. 2.4 无限性命题在含有“无穷”、“无限”等词的求证命题中，我们往往不容易从正面证明，这时，我们便可以考虑使用反证法证明。例 2.6 求证在0与1之间有无穷个有理数。证明：假设在0与1之间的有理数只有（有限的）n个：.有理数之积仍为有理数,可得到一个与都不相同的有理数. 又都为小于1的正有理数,在0与1至少有n+1个有理数，这与假设只有限个有理数相矛盾,即原命题成立. 例 2.7 求证：是无理数。分析：由于无理数是无限不循环的，而“无限”与“不循环”都很难表示出来。所以我们可以反设是有理数，便能表示为一个分数。证明：假设是有理数，则可设:（,且互质

14、）,为偶数，并设.,则也是偶数,故均为偶数与互质矛盾,即原命题成立. 例 2.8 试证: 存在无穷多个质数。分析：对于这类具有某种无限性质的命题,如果从正面去证明往往比较麻烦,以至无法证明.但用反证法证明,就可把无限转化为有限.这样,论证起来也就简单方便得多了。证明: 设质数只有个: ，,，取正整数+1,不能被这个质数中的任一个整除（有余数1）,本身就是不等于 中任一个质数,或者还含有除这个质 数外的质因数,这与质数仅有个的反设是矛盾的,故质数个数不可能是有限的,而是无限的. 2.5 基本定理和初始命题由于在证明某些基本定理时，我们除已经学过的公理及其推理外，在此之前所导出的定理不多，这时常用

15、反证法。例 2.9 证明勾股定理：已知：三角形的三边长分别为：，;求证：.证明：假设.又,可令，且.显然,，从而,于是a、b、中任意两个数之和必大于第三个数,使其三边之长为a、b、.即为最大值，故中的最大角.于是，在RTABC和,一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，而第三边不相等（c),第三边大的所对应的角也较大，因此， 不是直角三角形.即当时，ABC不是直角三角形，这与已知矛盾,故, 2.6 逆命题为了方便，某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论。例 2.10 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。图2-1逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。逆命

16、题的证明：如图2-1，（1），设四边形不能有一个内切圆，则可作O与其三边相切。又与O相离或相交，过作O的切线延长线交于点，由正命题知：（2）.当与O相离时，（1）-（2）得:,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾.当与O相交时，（2）-（1）得:,同样推出矛盾.则与O不能相交或相离,即与O必相切,故若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆. 2.7 某些存在性命题例 2.11已知：;求证:对于,必存在满足条件的使成立.证明：假设对于一切使恒成立.令，则.令,则.令,则.又，矛盾.故欲证结论正确. 2.8 全称肯定性命题结论以“总是”、“都”、“全”等出现的这类肯定性命题可以用反证法证明。例 2.

17、12 求证:无论是什么自然数，总是最简分数。证明：假设不是最简分数，并令（1），（2），且为最简分数，由（2）×3-（1）×2得:,又为整数，为分数,则不成立,即假设不成立，分数是最简分数. 2.9 一些不等量命题反证法是证明不等式的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不合适用反证法。例 2.13 已知，且;求证：.证明：假设.把代入假设得:,即.又 ,.,从而，与矛盾,即假设不成立，原命题成立. 例 2.14 已知：在中，;求证：.分析：此题较为简单，不用反证法，用平面几何的知识便能解决。当然，也可以用反证法加以证明解决。证明：如图2-2，假设即或.若，则为等

18、腰三角形,图2-2，与已知矛盾.若，在延长线上取一点，使得，并连接， 为等腰三角形。 即.又为的一个外角, .而, ，与已知矛盾.假设不成立，原命题成立. 例2.15 求证：已知：有两个不相等的非零实数根;求证：.分析：的否定是，而有三种情况，分别是：(1)；(2)；(3)证明：假设.(1)若，方程变为，得:，与已知条件矛盾.(2）若，方程变为，得:.又,方程无解，与已知条件矛盾.(3) 若，方程变为，得:，与已知条件矛盾.综上可知假设不成立,即. 例2.16 证明不可能分解为两个一次因式的乘积分析：通过否定命题结论，利用恒等式比较系数，从而设法推出矛盾证明：假设多项式能分解为两个一次因式的乘

19、积.又中不含常数项,上式可分解为:(其中均不为0),=, =.比较系数得由（1），（3）得；由（4），（5）得,从而c=d=e.又由（3），（5）得,（2）为,即，与（4）相矛盾,故假设不成立，原命题成立. 例2.17 求证：11,111,1111，这一串数中没有完全平方数 分析：先观察这一串数的特征： 11=2×5+1， 111=2×55+1， 1111=2×555+1， 证明：假设为数的完全平方数，则:上式右端为偶数,也是偶数.为奇数.又，且为数的完全平方数,为奇数.则与均为偶数，故可设:,，左边奇数，右边偶数，等式不成立,故不可能是完全平方数,即11,111

20、,1111，这一串数中没有完全平方数. 2.10 基本命题基本命题即学科中的起始性命题，此类命题已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，所以用直接证明比较困难，而应用反证法则比较容易奏效。如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，在其基础上只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，而用反证法来证明则比较容易。例 2.18 已知：如图2-3, 于， 于。图2-3求证：.证明: 假设不平行，且交于点 ，则过P点有,与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 假设错误，则. 例 2.19 两条相交直线只有一个交点。图

21、2-4已知：如图2-4，直线相交于点。求证：只有一个交点。证明：假设直线不止有点这一个交点，还有一个交点为点，直线都是由两点确定的直线，即由两点确定了两条直线，这与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾.故直线不可能有两个交点，即两条相交直线只有一个交点. 第三章 应用反证法应注意的问题3.1 反设要正确运用反证法证明一道题目的首要问题是能正确的否定结论。 如：命题“在一个三角形中，至少有两个内角是锐角”。“至少有两个”指：“有两个”或者“有三个”，其反面是“有一个锐角”或者“三个内角都不是锐角”，即“至多有一个角是锐角”。3.2 明确推理特点 使用反证法证题，实际上就是否定结论导出矛盾，但是何

22、时出现矛盾，出现什么样的矛盾却是不能预知的，一般我们总是在命题的相关领域里考虑。例如,立体几何问题往往联系到相关的判定定理等。所以，我们在运用反证法证题时只需正确否定结论，再进行步步有据的推理，一旦出现矛盾，证明也就此结束了。3.3 善于灵活运用对待用反证法证题的策略思想是：首先试用直接证法，若一时不能成功，再使用反证法证明。因为虽然数学证明题一般都可采用反证法，但这并不代表，所有证明题都应该使用反证法来证明。就多数证明题来说，用直接证法就可以证出来，不能一味用反证法证明。要灵活运用反证法，毕竟我们平时训练的题目多是可以运用直接证法证明。第四章 反证法的教学价值及建议对于老师，从早期就要向学生

23、渗透关于反证法的教学思想，凡事不一定非常严谨，只要学生能够明白、认可其中的说理就可以。例如，老师可以先在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，以此操作下去，最后得到66,88,99.问原来那三个数字能否是1,3,5？对于这个问题的判断就可以使用反证法的思想，先假设原来写的就是1,3,5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数，所以不可能出现像66,88,99这样两个偶数一个奇数的状态。另外，由于数学归纳法也可以用反证法证明，并且凡是能用数学归纳法证明的命题，就一定能用反证法证明。一般思路就是：若命题并非对任意的都真，则存在不真。假设所有的这样的组成集合,用证明数学归纳法相

24、同的方法，从最小数原理推出矛盾来说明。4.1 反证法的教学价值4.1.1 训练逆向思维 大多数人习惯先从正面入手进行思考解决一个面临的数学问题,即根据问题中的已知条件,搜索运用已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出末知。但是如果从正面入手繁琐或者难度较大,我们还可以考虑问题的相反方面,并且往往会绝处逢生,开拓解题思路。这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化；条件,结论转化；互为反函数间的转化；以反记法解题。反记法的教学能摆脱学生的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提高解题速度,促进创新思维。4.1.2 促进数学思维的形成 新一轮课程教学改革强调创造性、生成性,得以形成数学文化

25、、数学思维,如何去做是我们关注的。数学思想方法是科学思维的方法和技术,是数学的精髓,它为揭示数学本质，提供了有力的思想武器。数学思想方法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性人才。中国初等数学教育明显的好于西方,但到大学阶段的学生却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思。我国的数学教学偏重于解题训练,题海战术。而启发性思维、理解、悟得思想方法的不多。因而形成学生成绩的两极分化,讨厌数学,甚至数学尖子生也远离数学,回想起数学来就心生畏惧。加强思想方法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提高全民族整体素质的重要举措。是社会发展的需要,更是提高数学质

26、量的基本保证。而通过反证法的训练是培养数学思想方法的很好途径。欧几里德很喜欢运用的归谬法，它是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得全局的让子法,它还要高明。象棋奕者不外牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方！这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的一种方法。4.1.3 培养思维严密性 训练逻辑思维能力反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题。在证明过程中的每一环节都要全面、不遗漏。比如否定原题结论反设后有几种情况,必须进行分类讨论,一一加以否定。反证法与直接证法是密切联系的，二者相结合往往相辅相成,相得益彰。就全局而言是反证法,

27、但从局部看,在作反设后的推理过程用的是直接证法。有时在基本直接证法的推理中,又会穿插一段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反面,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏。4.1.4 渗透数学史 反证法可以提高辩证思维的能力。它是一种重要的证明方法,无论在初等数学还是高等数学中,都有广泛的应用,数学中一些基本性质,重要定理甚至某些著名的数学难题,往往用反证法证得。举世闻名的费尔马大定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧几里德曾用它证明素数有无穷多个。因此反证法对训练学生辨证思维,提高哲学修养很有价值。4.2 反证法的教学建议之所以书上

28、没有给出其概念，是因为反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,比较复杂。但是无论小学、初中、到高中都用到反证法,而且代数、几何也都同样使用到反证法。为此教学工作如下设想。4.2.1 多次反复, 螺旋上升反证法的知识本身很难,大多学生多次学习任感到似懂非懂,下次见到又是陌生。因此,不能期待一次就懂,一蹴而就,要通过看书、示范例题、探索解题、回顾推敲、揭示内涵、思悟提高等慢慢地掌握。4.2.2 精心研究, 训练反设在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是十分重要的，正确的否定才能有正确的证明。4.2.3 渗透数学思想方法, 训练严密先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师生共同概括提炼,加以量

29、化。然后由学生反过程,探索分析问题思想,以达到提高、升华。最后,力求使学生学会运用反证法思想武器指导思维活动,在高层次感受其威力。4.2.4 共同探究, 总结归谬类型归谬是用反证法证明的核心部分。为了进行新的否定,必须在推理过程中有意识地制造矛盾并及时地发现矛盾。通常可以从以下几个方面去寻找矛盾。(1) 导出新结论与公理矛盾。例4.1 在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行已知：直线中，求证：分析：本题证明中，可通过(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论三步，对命题进行证明，并利用“平行与相交”互为否定的结论对命题进行证明。证明：假设与不平行，则:必相交于一点，设为点.又,

30、过点有两条直线同时平行于与平行公理矛盾,即假设错误，原命题成立. (2)导出的新结论与已知定义矛盾。例 4.2 已知：是同一平面内的三条直线,且,与相交但不垂直；E求证:相交。ABGCDHF图4-1证明:如图4-1.假设不相交,则必有又与相交但不垂直,从而,即与的交角不是直角,这与垂线定义相矛盾,即必相交。(3)导出的新结论与已知的定理矛盾。例 4.3 两个自然数的任意一个公倍数都是其最小公倍数的倍数。如，而是的任意一个公倍数,那么。证明: 假设不整除。那么用除有： 又，同样.是的公倍数.而0<<,这与矛盾,(4)寻出的新结论与反设相矛盾。例 4.4 求证不是有理数。证明: 假设是

31、有理数。注意到1<<2,则可设(其中为互素的互整数, )平方得:即是偶数,此时也是偶数,由此可设则是偶数,此时也是偶数,又也是偶数,这与互素的假设矛盾,即不是有理数. (5)得出的结论与推理过程中间某一结论矛盾,即自相矛盾。例 4.5 试证三个连续整数中的最大一个数的立方不可能等于其它的数的立方和。证明: 设三个连续整数为假设成立,化简得:,故与同为正数,即知,则有:,与矛盾,故原命题成立. 第五章 结论反证法是一种特别重要的证明方法，在数学中应用非常普遍，特别是在高等数学中，当然在初等数学中应用也很广泛。但是学生却不能很好的掌握反证法，追究这一原因，于中国传统数学有很大的关系。反证法的出现，主要是解决困扰西方很多年的无限问题。西方很重视数学证明中逻辑的严密性，第一第二次数学危机都与无限有关，无理数与无穷小。通过反证法化无限为有限来解决问题，方便很多。中国与西方不同，很少受到无限思维的困扰，中国人多用反驳而少用反证法。反证法的这种逆向思维的方式，在我们的数学道路上扮演着很重要的角色，是我们认识数学的另一道门，学习研究反证法使我受益匪浅。 参考文献1 唐恒科.浅谈反证法J.魅力中国,2009，