2.可积的条件(精)

1、2 2 可积条件（可积条件（3 3 时）时）必要条件：定理1了（疋）已应址切=了在区间sb上有界.充要条件：1.1.思路与方案思路与方案：思路：鉴于积分和与分法和介点有关，先简化积分和.用相应于分法T的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和，即用极限的双逼原理考查积分和有极限，且与分法T及介点拳无关的条件方案：定义上和肌门和下和或。研究它们的性质和当网T时有相同极限的充要条件.2.2.DarbouxDarboux和和：以下总设函数了在区间菖上上有界.并设朋兰70）乞M,其中聊和M分别是函数了（力在区间戈上上的下确界和上确界.定义Darboux和，指出Darboux和未必是积分和.

2、但Darboux和由分法于唯一确定.分别用贝门、成门和迟（门记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和迟（门是数集（多值）.但总有或巧乞三兰忌，因此有妁事.或门或门和和肌门肌门的几何意义的几何意义. .3.3.DarbouxDarboux和的性质和的性质：本段研究Darboux和的性质，目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:T 壬表示T是尸的加细.性质 i 若贝昨全（巧，.即：分法加细，大和不增，小和不减（证）性质 2 对任何 有吩-心圧， 吩-O 工阿.即： 大和有下界,小和有上界. （证）性质 3 对任何爲和爲，总有或乞瓦（爲）.即:小和不会超过大和.证妁

3、）乞妬+爲）瓦（+爲）肌即.性质 4 设八是尸添加歹个新分点的加细.则有成门欧巧目+左（M诙）卩|，肌门王轨巧王肌门-pM-m.证设$是只在 F 中第个区间也必内加上一个新分点只所成的分法，分别设还=sup/WM2=supf（x）衍-L圧，氐帀，込=supf（x）:显然有mMx和M2M.于是0m-肌爲）=陆（心-再 J_乔 1G_可（-M2（心-x）=（见-Mi）（x-心 J+陆-12）（-x）乞（M-m）（x-Xj_x）+（M-m）（xi-x）=（M-g）空施-冏|添加戸个新分点可视为依次添加一个分点进行戸次.即证得第二式.系可类证第式.设分法厂有戸个分点，则对任何分法丁，有呂一巩 M-初|

4、门|乞讯巧，切+p（M-m）T|*（巧证S(T)-p(M-m)TS(T+T)s(T+T()乱巧4 4. .性质 2，上积分和下积分上积分和下积分：设函数了肚）在区间氏上上有界.由以上阿有上界，瓦（门有下界因此它们分别有上确界和下确界.定义记/W=U7 用，L/E 二弩.分别称和 L_为函数了（疋）在区间总上上的上积分和下积分.并且对任何分法尸，有上、下积分的几何意义上、下积分的几何意义. .5.5.DarbouxDarboux:定理 1 设函数了&）在区间S3上有界，F 是区间匕的分法则有对区间釦上的有界函数了初,和匸存在且有限,例 1 求 ID(dxr1和.其中是 Dirichlet

5、 函有戸个分点，对任何分法T,由性质 4 的系，有瓦-p(M-m)卩|瓦巧I使,否则为常值函数,分法成立.可积的充要条件可积的充要条件: :（充要条件 1）设函数在区间上有界.上取化同理可证二U）对任何分法有成门兰E（门兰rpo的二定义称见二甌一叫为函数了在区间心 1 虫上的振幅或幅度.sup|/（才）一/（捫）|易见有见 30.可证二 2定理 3（充要条件 2）了（初有界.了（町弍億上o 对V?0?3T,3I-门2的共值为,由双逼原理二龈：（门=定理 3 了有界.eRa,bo瓦-如“证=）/WeRa,h=鏗。（瓦-目）=0.即对V?0?30?W匚|宀时，=0兰肌门-目“=)m112I：二，I

6、：使对任何分法只要阿 k15就有定理 3的几何意义及应用 Th3的一般方法： 为应用 Th3,通常用下法构造分法丁：当函数了 0）在区间S3上含某些点的小区间上见作不到任意小时，可试用了在区间总上上的振幅=M-m作见的估计，有至 4 此时，倘能用总长小于，否则了为常值函数）的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法丁的一部分分点，在区间汉釦的其余部分作分割，使在每个MmM-Mg 二迟+迟严勺m尸M-MMM-MZAxi+吃险j2-1J-10?30，使对任何分法只要啊 k 占，对应于尬心的那些小区间A心的长度之和迟昵0 和小区间上有见维-农）,对如此构造的分法尸，有-对可”0，迂 m

7、 毀的区间总长小于 e 此时有V=V 弧 Axjt+Y也 i，迟 Axjt+0 迟 Ax；.E一住）+0=s（b（2+1）.例讨论Dirichlet函数 DE 在区间0J上的可积性.三三. .可积函数类：可积函数类：1.闭区间上的连续函数必可积：定理 5（证）2.闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积定理 6（证）系 1 闭区间上按段连续函数必可积系 2 设函数了（初在区间丨总上上有界且其间断点仅有有限个聚点，则函数了在区间皿上可积.例 2 判断题：闭区间上仅有一个间断点的函数必可积（）闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积（）闭区间上的单调函数必可积（）定理 7（证）0,疋=o,=111 挖=1,2,?X.例 3+1丸证明了&）在J上可积.关于可积性的更一般的充分条件为：Th 闭区间总上上的正规函数（regulatedfunction）了（卞）是可积的.参阅:S.K.Berberian