多元正态分布的参数估计

1、第二章多元正态分布的参数估计1.随机向量：将p个随机变量Y"X二-丫F的整体称作p维随机向量，记为*=同时对p个指标（变量）进行了n次观测，这p个指标为，X，L,羽常用向量X=N,L.为域示对同一个体观测的p个变量注：横看表示为第a个样品的观测值，记为口=12/竖看表示为对第j个变量匕的n次观测值，记为为二1*3*力"小：J=L£，P上表可用矩阵表不为（1）离散型随机向量：设工丁是p维随机向量，若存在有限个或可列个维数向量演，记P（*=a=",状=12），满足四+/+=1,则X为离散型随机向量，尸（工二马）二七为X的概率分布连续型随机变量：设飞,若存在一

2、个非负函数/（阳，巧斯什（工）3区，4，-*?）=卜-1/6,册）曲由p使得对一切x均有r-心r，则X为连续型随机变量，/（阳，与”，X与分布密度函数其中，/（工|，工71。上满足条件：i./（占片/与）之0,Wme，rJeW1f*04J,Ml杰F=1ii.-2 .多元分布：设X=（犬1，犬八挑）p维随机向量，它的多元分布函数定义为口工.（尤.小，3）二P（M匕斯/；£苞,与西胪-F（x。其中.*=（r4*.%）w,投,表示p维欧氏空间3 .边缘（或边际）分布：设|¥二（用，人，鸡J维随机向量，由它的q（<p）个分量组成的子向量并"=（'3'

3、'的分布为X的边缘分布y（L）T假定X"正好是X的前q个分量，其中p-q个分量为X®,则L*1t,相应的取V值也分为了两部分卜"。当X的分布函数为时，X"的分布函数即Fg1、鹏,戈力=£用”,XM%）=P（莺£丙,，冗£叼、/£/）边缘分布函数为=/也.肛/gm；当x有分布密度/区,/时，则'”的边缘密度函数为Jjf（阳，勺助父|，心p-<1-0注：相互独立一一p个随机变量L*的联合分布等于各自的边缘分布的乘积4 .随机向量的均值向量/数学期望：设x，4肃£（匕）行:L.存在且有限，

4、则称E（X）（E（M）,E（n匕巩X的均值（向量）或数学期望，有时也把E（X）和E（XJ分别记为和"，即"容易得到均值（向量）有以下性质：(1) E(AX)=AEiX)(2) =(3) E(AX±SY)=AE(X)+8E(Y)其中，X和Y为随机向量，A和B为大小适合运算的常数矩阵5.随机变量的方差或协差阵设x=nj,>=比.、.，称ax)些(*-£(x-£(x)y|：*114i为X的方差或协差阵，有时候把D(X)简记为E,。训%,为）-cv?同中产*/CowKa摘记为巴，从而有工随机变量X和Y的协差阵为Cov(XJr)AE(X-E(X)(

5、r-E(F)rCov(X)6。；占)-。1但,匕)_GnO'X)CX2X)Q忧凡月)««*唔唱CovtX)CovtA；,%)-GnXK,4)当X=Y时，即为D(X)注：独立一定不相关，不相关不一定独立当A和B为常数矩阵时，协差阵有如下性质：(0对于常数向量*有那X+，)=Q(X)U)D(4A)=4DXH=4Z才(3) Cov(AXtBY)-ACw(X9Y)B,(4)设X为启维随机向量，期望和怫方差存在，记*=£(*),r=D(X),/为小X门常数阵，购I£(X：4X)=fr(.4H)fK*注：对任何随机向量£纸说,其协差阵三都是对称阵，

6、大多情况下是正定的6 .相关系数：若X=(K*L，附协'差阵存在，且每个分量的方差大于0,则称随机向量XC叫.储)%乎时时=而百的相关阵为R=3M,fj=L甲为与的相关系数。/为一5)At=j7 .指标的标准化处理：pC'J，八L，p令小山啕向；曲.，匹培氏=广(汗-2汗川则£(X*)=fC_|(X-£：(X)=C'mX-£(X)=OD(Xr)=qL(X-E(X)=LDf(X-£(X)CL=L口L=L2rL=/?即标准化数据的协差阵=原指标的相关阵8 .多元正态分布：X服从p元正态分布，也称X为p维正态随机分布，简称"”

7、Np(2)9 .多元样本的数字特征样本资料可以用矩阵表示为_1n_。=工=(院冗l,£J(1) 样本均值向量：灯1】=£(牙x)(x一天丫二(%)(2) 样本离差阵：11«_匕“=-s=彳2(*-又(X®-"y=(%)叼(3) 样本协差阵：”E10，和E的估计.有如下基本性质；£（床）="，即反是n的无偏估计E（-S）=Xt即工岑是工的无偏估计n1”1X,一匚£分别是，的有效估计 n-x,（或一5）分别是”,£的一致估计 押/r-111 .R和，的性质兄一纥（芦工）n大和$相互独立S为正定阵的充要条件是“>p12 .维希特（Wishart）分布设产兀*片心%（凡且相互独立，则由X组成的随机矩阵:%咚%心Wishart分布，记为>（"上/）£=（从，儿（4"=£此M其中，“T为非中心参数当凡二0时称为中心Wishart分布，记为13 .维希特（Wishart）分布的性