初三数学相似三角形典型例题

1、合比性质:abcdbd等比性质：旦cbdm.(bdnnW0)初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1 .理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。2 .会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3 .能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4 .能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平

2、面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10说右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1 .比例线段的有关概念:在比例式（a：bc：d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项,bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC=AB-BC叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。2 .比例性质:基本性质：cadbcbd3 .平行线分线段成比例定理:定理：三条平行线截两条直线，所得

3、的对应线段成比例，如图：l1/l2/l3。ABDEABDEBCEFBCEFACDFACDF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4 .相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的

4、高分成的两个直角三角形和原三角形相似5 .相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1.(1)在比例尺是1:8000000的中国行政区地图上，量得A、B两城市的距离是厘米，那么A、B两城市的实际距离是(2)小芳的身高是，在某一时刻，她的影子长2m此刻测得某建筑物的影长是解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。(1)应填600(2)应填。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截例3.如图，在等边ABC中，P为

5、BC上一点，D为AC上一点，且/APD=60,18米,则此建筑物的高是米。例2.如图,已知DE/BC,EF/AB,则下列比例式错误的是:ADABAEACEAFBDEBCADBDD.空ABCFCB分析:由DE/BC,EF/AB可知，A、B、D都正确。而不能得到匹BCAD一，BD故应选Co线，C中DE很显然是两平行线段的比,BC因此应是利用三角相似后对应边成比例这一性质来写结论，即DE 也BCABAEAC2BP1,CD-,求ABC的边长3解：ABC是等边三角形./C=ZB=60又/PDCW1+/APD41+60/APB41+ZC=Z1+60/PDC=APB.PD6APBPCCDABPB设PC=x,

6、贝UAB=BC=1+x.AB=1+x=&.ABC的边长为3。例4.如图：四边形ABEGGEFHHFCDTB是边长为a的正方形,(1)求证：AEDCEA(2)求证：/AFB+ZACB=45分析：因为AERACEA有公共角/AEF求证：OE=OF证明：-.AD/EF/BC故要证明AEDCEAAER/CEA的两边对应成比例即可。只需证明两个三角形中，夹/证明：(1)二.四边形ABEGGEFHHFC比正方形.AB=BE=EF=FC=aZABE=90.AE2a,EC2aAE二一EF.AEEF又/CEA4AEF.CEAAEF(2).AEFACEA/AFE=/EAC四边形ABEG正方形.AD/BC,AG=G

7、EAGGE/ACBhCAD/EAG=45/AFB吆ACB4EAC4ZCAD叱EAG/AFB吆ACB=45乌拒，毁空丧aAE.2aECAE例5,已知：如图，梯形ABCD43,AD/BCAGBD交于点O,EF经过点O且和两底平行,交AB于E,交CD于FOEAEOEEB一一，BCABADABOEOEAEEBAB1BCADABABAB111BCADOE11OEOF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论:AD/EF/BC111ADBCOE1AD/EF/BCOEOFEF2-J-A即，21 EFOFADBCEF2这是梯形中的一个性质，由此可知，在可以求出第 三条线段的长度。ADBGEF中，已知任何

8、两条线段的长度，都例6.已知：如图，ABC中，ADBC于D,DEIAB于E,DFAC于FAEAC求证：AFAB分析：观察AE、AF、AGAB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代同理:LBC1AD1OFOE=OFAD/EF/BC111ADBCOEI 一AEABAF-AC,即AF证明：在ABD和AADE中,/ADBhAED=90/BADhDAE.ABWADE.ABADADAEAE2=AE-AB同理：ACDADF可得：AD2=AF-ACAE-AB=AF-AC,AEAC.AFAB分析：本题的图形是证明比例中项时经常使

9、用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解：在人口口ABAC中/CADhB,/C=ZC.AD6BAC.ADDCACABACBC换，通过ABDS/XADE,可得:AB处，于是得到AD2ADAEAEAB,同理可得到AD2AFAC,故可得:ACAB例7.如图，D为AABC中BC边上的一点,/CADWB,若AD=6AB=8,BD=7,求DC的长。又ADAD=&BD=7.DCAC3AC7DC4DC3即ACC43解得：DC=97DC4例8.如图，在矩形ABC邛，E是CD的中点，BEXAC于F,过求证：AG2=AF

10、FC证明：在矩形ABCD,AD=BCADChBCE=90又E是CD的中点，DE=CE RtAADERtABCEAE=BE FG/AB,AEAG:BEBFAG=BF在RtABC中，BFAC于F RtABFCRtAAFBAFFBBFFCBF2=AF-FCAG=AF-FCF作FG/AB交AE于G,例9.如图，在梯形ABCC,AD/BG若/BCD的平分线CHLAB于点H,BH=3AH且四边形AHCD勺面积为21,求HBC勺面积分析： 因为问题涉及四边形AHCD的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P.CHLAB,CD平分/BCDCB=CP且BH=PHBH=3AH.PAAB=1:.PAPB=1:.

11、AD/BC.PADPBCSAPAD:SAPBC1:9SAPADS四边形AHCD2：7,S四边形AHCD21S/XPAD6S/XPBC54一、填空题1.已知a一2b9,则a：b2ab52.若三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边是21cm,则其余两边之和是cm3.如图，ABC中，DE分别是AEkAC的中点，BC=q则DE=;ADEAABC的面积之比为：。4.已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c为cm。5.在ABC中，点DE分别在边ARAC上，DE/BC如果AD=&DB=6EC=9那么AE=6.已知三个数1,2,J3,请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数

12、是ABCD中，AD/BC,EF/BC,若AD=12cmBC=18cmAEEB=2:3,则8.如图， 在梯形ABCD43,AD/BC,/A=90,BD!CDAD=6,BC=1Q则梯形的面积为:SAHBCSAPBC2277.如图，在梯形EF=二、选择题1.如果两个相似三角形对应边的比是3:4,那么它们的对应高的比是A.9:16C.3D.3:72.在比例尺为的实际面积是1:m的某市地图上,米2规划出长a厘米,宽b厘米的矩形工业园区，该园区104m2B.ababCabm.104,_2Dabm.1043.已知，如图,DE/BC,EF/AB,则下列结论:1AEBEECFCABBC空匹ABBCEABF其中正

13、确的比例式的个数是A.4个B.3C.2D.1个4.如图，在ABC中，AB=24,DE三点为顶点组成的三角形与AC=13D是AC上一点，AD=12,在AB上取一点E,使A、ABCf似，则AE的长是A.16B.14C.16或14D.16或95.如图，在RtABC中，/BAC=90,D是BC的中点，A已AD交CB的延长线于点E,则下列结论正确的是、解答题：1.如图，AD/EG/BC,AD=6BC=9AE:AB=23,求GF的长。2.如图，ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD/B=75,/CDB=60,求证：ABSCBD3.如图，BE为ABC的外接圆O的直径，CD为ABC的高,A.AAEDACBB

14、.AAEEACDC.ABAEACED.AAE(DAC求证：ACBC=BECD4.如图，RtABC中，/ACB=90,AD平分/CAB交BC于点D,过点C作CELAD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG/BC交AB于点G,AE-AD=16AB4/5,(1)求证：CE=EF(2)求EG的长、填空题:1.19:13参考答案2.243.3;1:44.65.126.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如:2 行、等。28.16V6选择题：1.C2.D3.C4.D5.解答题：解：AD/EG/BCEGAE在ABC中，有BCABEFBE在ABD中，有ADAB .AE:AB=2:3 .BE:AB=1:321EG-BC,EF-AD33.BC=9,AD=6，EG=6EF=2.GF=EG-EF=4解：过点B作BEXCD点E,/CDB=60,/CBD=75/DBE=30,/CBE4CBD-/DBE=7530=45CBE是等腰直角三角形。.AB=3AD设AD=k,贝UAB=3k,BD=2k.DE=k,BE3k7.1.2.BC6k,BD2kV2BC6k3BC6k2AB-3k-3BDBCBCAB.ABSACBD3.连结EC,BCBCE=