2022年高考数学导数题型归纳(文科)

1、文科导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令r(x)=o得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的

2、实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值一一用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2010省统测2)例1：设函数y = /(x)在区间D上的导数为/'(X), f'(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D 上，g(x)<0恒成立，则称函数y = /(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，、 x4 nix' 3x2/ (无)=1262(1)若y = /(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；(2)

3、若对满足同K2的任何一个实数，函数/(x)在区间(“力)上都为“凸函数”，求人-”的最大 值.ho 4丁 皿，、/ nix' 3x2 3. x3 mx2 _解油函数/(幻=6 得/'(幻=三-3x126232g(x) = x2 rnx 3(1)y = /(x)在区间0,3上为“凸函数”，则/. g(x) = x2x-3 <。在区间0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于81皿(元)<()=> /w > 2解法二：分离变量法：.当 x = 0 时，g(x) = x2 - mx-3 = -3<0 恒成立，当Ovx43时，g(x) = f

4、一a一3 <0恒成立x2 -33等价于杨 =工一二的最大值(0vx(3)恒成立， XX3而(幻=不一2(0<x<3)是增函数，则Jx) = H3) = 2 x/. tn>2?当何| W2时/(x)在区间(4")上都为“凸函数”则等价于当帆W 2时g(x) = / -a - 3 < 0恒成立变更主元法再等价于(，) =g-/+3>0在2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)F(-2) >£)f-2x - x2 + 3 > 0=> <=> => -1 < x < 1I /(2)">

5、;<2%一/+3>0:b a = /22请同学们参看2010第三次周考：例 2：设函数 /(x) = -x3 + lax1 - 3。晨 +伙0 <。< 1,8 w R)(I )求函数/ (x)的单调区间和极值；(II)若对任意的工£。+ 1,4 + 2,不等式|广(刈。恒成立，求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解：（I ） /'（X）= f+4tzx3a“ = （x3a）（x/ 0 < tz < 1令尸(元)<0,得/(x)的单调递减区间为(-8, o)和(3«, +oo),3 q .当x=a时，/(x)极小值= +

6、力;当x=3a时，/(%)极大值=b. 4(II)由|尸(x)|Wa,得：对任意的x£a + l,a + 2,-aWx2-4a¥ + 3a2W4恒成立p (x) < a则等价于g(x)这个二次函数Smag(x) = x2-4ax+3a2的对称轴1gmin(x)N-。g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。即定义域在对称轴的右边,x = 2a ,.,0<a<, a + l>a + a = 2a (放缩法)g(x) = x2 -4 + 3/在。+ 1,4 + 2上是增函数.g(x)max =g(a + 2) = -2a + l.Wmin =

7、<?(« +0 = -4« +4.于是，对任意xa + l,a + 2,不等式恒成立，等价于g(a + 2) =+ 4Wa,解得乜骨.g (。+1) = 2a +1N a54又 0 < < 1,< 1.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：/3>g(x)恒成立0。) = /(幻-8(幻>0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数f(x) = x3+ax2图象上一点P(l,h)处的切线斜率为-3,t O Cg(x) = %3+x-Q + l)x+3(? > 0)(I

8、)求a,)的值;(II)当xw-l,4时,求/(x)的值域；(m)当xe1,4时，不等式/(x)Wg(x)恒成立，求实数t的取值范围。解：(I) f'(x) = 3x1+2ax：.J, 解得b = + ab = -2(II)由(I)知，/(x)在上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又 /(-I) = -4,/(0) = 0,/(2) = -4,/(4) = 16:.f(x)的值域是-46)令心)=/5-(幻=-了+"1)>3 面,4思路1：要使/(x)Wg(x)恒成立，只需(x)W0,即r，2元)22%-6分离变量思路2：二次函数区间最值二、题型一：已知函

9、数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为/(x) NO或<(x) WO在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚 两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 awR,函数/(%)='/+苫1/+(4。+ 1".(I )如果函数g(x) = /'(X)是偶函数，求/(X)的极大值和极小值；(H)如果函数/(元)是(-8, +8)上的单调函数，求a的取值范围.1 解：f (x)

10、= x + (a + l)x + (4 +1).41 1 °(I) ；/'(x)是偶函数，, a = -1.此时/(x) = x3 - 3x, fx) = x2 -3 ,124令r(x) = 0,解得：x = ±2百.列表如下:X(00,-2a/3 )-2a/3(2 y/3 ,2 V3 )2后(2 y/3 ,+qo)f'M+00+/(x)递增极大值递减极小值递增可知：/(%)的极大值为了(2后)=4a/3 , /(X)的极小值为/(2百)=-473 .(II) .函数)(x)是(-8, +8)上的单调函数，/. fx) = -x2 + (« + l

11、)x+(46/ +1) >0 ,在给定区间R上恒成立判别式法 40 1 、则 = (a +1) -4 (4。+1) = cr - 2。«0,解得：0<a < 2.4综上，a的取值范围是40WaW2.例 5、已知函数 /(x) =|x3+|(2-a)x2 +(1- a)x(a > 0).(I)求/(x)的单调区间；(II)若f(x)在0, 1上单调递增，求a的取值范围。子集思想(1) fx) = x2 +(2-a)x+ i-a = (x+ l)(x +1 - a).1、当a = OB寸J'(x) = (x + 1)2 NO恒成立，当且仅当x = l时取“

12、=”号，/(X)在(一00,+00)单调递增。2、当a >00寸，由/'(x) = 0,得玉=-1,七=4一1,且 < x2,单调增区间：(fo,-l),(a - l,+8)单调增区间：(一1,。一1)(II)当f(x)在0,1上单调递增,则0,1是上述增区间的子集:1、a = 0时，/(无)在单调递增 符合题意2 0,lc(tz-l,+co) , /.a-1<0 .,.«<1 综上，a的取值范围是0, 1。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与X轴)的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)

13、和“趋势图”即三次函数的大致趋势”是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极、值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6、已知函数/(x) = g*3, g(x) = ；-攵无，且/(X)在区间(2,+8)上为增函数.(1)求实数攵的取值范围；(2)若函数/(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数左的取值范围.解：(1)由题意:(幻=(女+ 1)尤/(X)在区间(2,+00)上为增函数，/. f'(x) = x2 一(Z + 1)尤>0在区间(2,+oo)上恒成立(分离变量法)即Z + l<x恒成立

14、，Xx>2, ：.k + <2,故ZW1 .k的取值范围为左(2)设(x) = f(x) - g(x) = -好/ + kx-,/?'(%) = x2 -伏 + l)x + Z = (x - k)(x - 1)令/2'(x) = 0得x = Z或x = l 由(1)知kWl,当Z = 1时，/iV) = (x-l)2>0, (x)在R上递增，显然不合题意当攵<1时，/i(x), 一(X)随x的变化情况如下表:X(一 OO,Z)k31)1(1,+OD)h'(x)十00+h(x)7极大值_e_ 6 T-3极小值 k-27k -1由于一厂<0,欲

15、使/(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程") = 0有三个不同的实根,*3 L2 1故需一 J + L 上0,即伏一1)(二-2k-2)<0：.< 623综上，所求攵的取值范围为L<1-百k<l,，解得k<l-6k2 -2k-2>0根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数/(x) = or3+_Lx2-2x+c2(1)若x = -l是/(X)的极值点且.f(x)的图像过原点，求/(X)的极值；(2)若g(x) = g/z? -x + d,在(D的条件下，是否存在实数匕，使得函数g(x)的图像与函数/(x)的 图像恒有含=-1的三个

16、不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。解：(1)f(x)的图像过原点，则 f(O) = O = c = O/'。) = 3奴2+一2 ,又.=一1 是y(x)的极值点，则/(-1) = 3。-1-2 = 0=>。= -1：.f'(x) = 3x2 +x-2 = (3x-2)(x+1) = 0/极大值(x) = /(-1)= 小值(X)=(2)设函数g(x)的图像与函数/(x)的图像恒存在含x = -l的三个不同交点，等价于 x) = g(x)有含x = T 的三个根，即：/(l) = g(-l) = d = -Ls l) 2x3 +-x2-2x = -bx2

17、整理得：222即：V,s1)/-x+,S-1) = 0恒有含=一1的三个不等实根22(计算难点来了：)(x) = d,(/7一1)%2一+_1(/7-1)= 0有含彳=一1的根,则从x)必可分解为(x+1)(二次式)=0 ,故用添项配凑法因式分解，V +%2 x (/? l)x- x+ (/? - 1) = 02121"1x(x+l)- S + lM+x 0-1) = 0_22_x2U+1)-1(/? + 1)x2 + 2x-(Z?-1) = 0十字相乘法分解：x2(x+l)-1(/?+l)x-(/?-l)(x+l) = 0(x+1) x2，(b + l)x + gs-1) =0.x

18、3-(/?-l)x2 _x + gs l) = 0恒有含x = -l的三个不等实根等价于x2-(Z? + l)x+1(Z?-l) = 0有两个不等于-1的不等实根。f 121 = -(b + l)2-4x-S -1)>0=><42=> b e (-oo, -1) kJ (-1,3) u (3, +oo)(-l)2+-(/? + l) + -(fe-l)*0I 22题2：切线的条数问题=以切点与为未知数的方程的根的个数例7、已知函数/(幻=如3+法2 + 5在点与处取得极小值-4,使其导数尸(x)>0的x的取值范围 为(1,3),求：(1) f(x)的解析式；(2)

19、若过点口-1,加)可作曲线y = /(x)的三条切线，求实数z的取 值范围.(1)由题意得：fx)=3ax2 + 2bx + c = 3a(x-l)(x-3),(a<0).在(-oo,l)上/(x)<0；在(1,3)上/(x)>0；在(3,+00)上/(刀)<。因此f(x)在% = 1处取得极小值-4.a+b + c = T，f) = 3a + 2b + c = O®, f'(3) = 27a + 6力+ c = 0d 1由(D联立得：，力=6 , fx = -x3 + 6x2 -9xc = -9(2)设切点QQJ(r), = fy = (一3 r +

20、- 9)(x-t) + (/ + 6 产-9?)=(-3产 + 2t-9)x + t(3t2 -l2t+9)-t(t2-6r+9)=(-3/ +12f-9)x+t(2t2 -6t)过(-1,ni)m = (- 3f 2 +- 9)(-1) + 2/一 6 产g(t) = 2ti-2r-nt + 9-m = 0令g= 66f-12 = 6(r t-2) = 0,求得：t = -l,t = 2,方程g(f) = 0有三个根。_ 幅(一1)>012-3 + 12+9-机>0m<6g(2)v016-12-24+9 mvO/n>-l 1故：一ll<mvl6；因此所求实数7的

21、范围为：(-11,16)题3：已知/(x)在给定区间上的极值点个数贝!|有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、已知函数/(*):+' -/(m +3)y + (m +6)x,«eli (m 为常数).(I )当m=4时,求函数以外的单调区间;(U)若函数y=f(%)在区间(1, +8)上有两个极值点,求实数m的取值范围.17解：函数的定义域为R ( I )当m=4时，f(x)= 齐+lOx,fx) =x2-7x+10,令广(x)>0 ,解得x5,或x<2.令/'(x)<0 ,解得2<x<5可知函数_/U)的单调递增区间为(f0

22、,2)和(5, +),单调递减区间为(2,5).(II ) fx) =x2(m+3)x+tn+6,解得/n>3ZJI例9、已知函数/(幻=?/+要使函数y=f (x)在(1, +°°)有两个极值点,=> /x) =x2-(m+3)x一, a 0) (D 求/(x)的单调区间；(2)令g(x)= x+f 4(x) (xGR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1) f (x) = ax2 4- x = xax-1)当 a>0 时，令 f(x)>()解得 1<一!或c>0,令 / (x)<0 解得一，<x<0,所以/(

23、X)的递增区间为(-8,-，)U(0,+8),递减区间为(一工,0).当。<0时，同理可得/(X)的递增区间为(0,L),递减区间为(8,0)U(,+8).(2) 有且仅有3个极值点=g'(x) =丁+.+x = x,+内 + )=0有 3个根，贝(jx = 0或 Y+ox + l = 0 , a<-2方程/+办+ 1=0有两个非零实根，所以A = "-4>0,.a v 2 或。> 2而当a<-2或a > 2时可证函数y = g(x)有且仅有3个极值点其它例题：1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在/?上的函数/(x) = *-2/

24、+力(。>0)在 区间上的最大值是5,最小值是一 11.(I)求函数/(x)的解析式；(II)若，时，/'(x) + fxWO恒成立，求实数x的取值范围.解：(I )/(尤)=ax'- 262/'(X)= 3以2-4以=ax(3x-4)4 r r令/ (x)=0,得X =0,/=- -2,1因为。>0,所以可得下表：X-2,0)0(0f(x)+0-f(x)/极大因此一(0)必为最大值，,./() = 5因此6 = 5, ，7(-2) = -16a+5J(l) = -fl+5,.-./(l)>/(-2), 即 f(2)=-16a + 5 = -ll, /

25、. a = 1, f(x) = x3 -2x2 +5.(II ) V f'(x) = 3x2 -4x,二/'(x) + fxWO 等价于 3x?-4x + /xW0,令g= xf + 3尤2-4x,则问题就是g(f) WO在/上恒成立时，求实数K的取值范围,为此只需f(-D<og w。31 -5x40x2 - x < 0解得OWxWl,所以所求实数、的取值范围是0, 1.2、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数/(幻=-x3 +ax2 +bx+c 3(I)若函数/(x)在x = l时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线3x+y = 0平行，求/(x)

26、的解析式；(II)当/(x)在xe(0, 1)取得极大值且在xe(l, 2)取得极小值时，设点MS-2, 。+ 1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I).由/'。) = 2/ + 2办+8,函数/(x)在x=l时有极值，:.2a+b+2 = 0又/(X)在(0, 1)处的切线与直线3x + y = 0平行,:.尸(0) = b = 3 故 6/=2 、 、:.f(x) =x3 +x- -3x + l32(II)解法一：由尸(x) = 2/+ 2数+ 2及/(%)在尤6(0, 1)取得极大值且在xe(l, 2)取得极小值,770)

27、> 0 /(1)<0 广>0b>02。+ Z? + 2 < 04a + + 8 > 0令 M(x, y), 则 <x = h-2 y =。+1x + 2 > 02y + x+2Vo 故点M所在平面区域S为如图ABC, 4y+ x + 6 > 03易得A(2, 0), 5(-2, -1), C(2, -2), 0(0, -1), E(0,SMBC = 2同时DE为AABC的中位线，SEC= -S四边形.田所求一条直线L的方程为：x = o另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设直线L方程为y =履，它与AC,BC分

28、别交于F、G,贝ij Z 0, S四边形degf = 1v = kx72y + x + 2 =。得点F的横坐标为:X”一而1y = kx/得点G的横坐标为: =-4y + x + 6 = 04A + 1D(0-1)EC(2, -2),o_ o _ o _ 1361 »四边形 DEGF - »AOGE NOFD =TXTX 7 12 2 4k+ 1 2x2Z + 1=1 即 16k2 + 2左一5 = 0解得：k = L 或 k=-(舍去)故这时直线方程为:y =1x 282综上，所求直线方程为:=0或丫 =,彳12分(II)解法二：由/'(无)=2/ + 2以+6及

29、/。)在_¥(0, 1)取得极大值且在尤(1, 2)取得极小值,r(o)>o八2)>o仅>0即 2a +人+ 2<0 14a + 6 + 80x = b2 y = a + a = y- b = x + 2x + 2 > 02y + x + 2<0故点M所在平面区域S为如图AABC,4y+ x + 6 > 03易得A(-2, 0), 3(-2, -1), C(2, -2), D(0, -1), £(0,5MBC = 2同时DE为4ABC的中位线，SgEc =§S四边形med二所求一条直线L的方程为：x = 0另一种情况由于直

30、线BO方程为:y = -x,设直线BO与AC交于H , 21V = x由，'2得直线L与AC交点为:(一 1, 一一)2y + x+2 = 0SgBc = 2, SgEc =txtx2 = , S4ABM = MB。 5moh:,所求直线方程为:x = 0或丫 =力23、(根的个数问题)已知函数f(x) = ax、bx2 + (c-3a-2b)x + d (a>0)的图象如图所示。(I )求c、d的值；y,(II)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x + y-ll = 0,求函数f(x)的解析式；3 '''(ID)若x0 = 5,方程f

31、(x) = 8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：fr(x) = 3ax2 + 2bx+c-3a-2b j、1 X° X ( I )由图可知函数/(x)的图像过点(0,3),且广=0fd = 3(d = 3得4川3a + 2b + c-3a-2b = 0c = 0 (H)依题意:=-3且“2) = 51 ,* = -6解得。=12。+ 4b - 3。- 2/? = -38。+ 4/? 6。 4b + 3 = 5所以 f (x) = x3 - 6/ + % + 3(III)依题意 f (x) = ax + bx2-( 3a + 2b )x + 3 (a>0 ) fr(x)= 3ax2 + 2bx 3a -2b 由 /r(5)= 0=>b = - 9a若方程/( x) = Ha有三个不同的根，当且仅当满足/( 5 )<8a</( 1 )由®®得-25a + 3<8a<7o+ 3z=> &