2019届人教A版解析几何单元测试

1、第九章解析几何21 .（2019 广西玉林、贵港 4 月模拟，文 10,直线的倾斜角与斜率，选择题）设 F 为抛物线 y =5x 的 焦点,P 是抛物线上 x 轴上方的一点,若|PF|=3，则直线 PF 的斜率为（）A.3 薦B.C.，：康D.2 血解析：F 为抛物线 y2=5x 的焦点，设 P 点坐标为（x,y）,y0.7=根据抛物线定义可知x+=3，解得 x=,代入抛物线方程求得y=.答案：C相交于 A,B 两点,0 为坐标原点，当ABO 的面积取得最大值时，直线 I 的斜率等于（）解析：由 y=Jl：汽得 x2+y2=1（y 0）.所以曲线 y=Jl炉表示单位圆在 x 轴上方的部分（含与

2、 x 轴的交点）, 设直线 I 的斜率为 k,要保证直线 l 与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合, 则-1 k0,b0)右焦点的直线 m,其方向向量 u =(b,a),若原点到直线 m 的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线 距离的 2 倍则直线 m 的斜率为_ .解析：双曲线一- 一=1 的右焦点 F(c,0),一条渐近线方程为 y=x,则 F 到渐近线的距离为 d= _=b,直线 m : y=(x-,原点到直线 m 的距离为 -=a,由题意可得 a=2b,则直线 m 的斜率为=2.答案：29.(2019 甘肃嘉峪关一中三模，文 9,直线的倾斜角与斜率选择题)过点 P(-,-1)的直线

3、 l 与圆x2+y2=1 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是()即亡 V 时 5。有最大值为代B.C.掬D.解析：由题意可得点 P（-屈,-1）在圆 X1 2+y2=1 的外部,故要求的直线的斜率一定存有，设为 k,则直线方程为 y+1=k（x+矗）,即 kx-y+ k-1 =0.根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得即 3k2-2 廖 k+1 0,y0),由题意知，Ai（-2,0）,A2（2,0）,直线 PAi,PO,PA2的斜率分别为1 .（2019 广西柳州一模，文 21,直线的方程，解答题）已知椭圆=1 的一个焦点为 F（2,0）,且离心率为.（1）求椭圆方程；

4、斜率为 k 的直线 l 过点 F,且与椭圆交于 A,B 两点,P 为直线 x=3 上的一点若ABP 为等边三 角形,求直线 l 的方程.解：椭圆一“ 一=1 的一个焦点为 F（2,0）,且离心率为整.歼 胪3ki,k2,k3,答案：B5.（20i9 吉林长春实验中学三模，文 5,直线的倾斜角与斜率，选择题）直线 xsin a+y+2=0 的倾斜角 的取值范围是（）A.0, nB.g| HIM解析：直线 xsina+y+2=0 的斜率为 k=-sinaT| sina w1,|k|w1.倾斜角的取值范围是.-.二-.答案：B123直线的方程 c=2,a2=b2+c2，解得 a2=6,b2=2.椭圆

5、方程为-=1. H直线 l 的方程为 y=k(x-2).联立方程组 3 止 消去 y 并整理,+- = 1b0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F(1,0),过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，且 MBF?的周长为 4.(1) 求椭圆 C 的方程；2(2) 过点(4,0)作与直线 l 平行的直线 m,且直线 m 与抛物线 y =4x 交于 P,Q 两点，若 A,P 在 x 轴上 方,直线 PA 与直线 QB 相交于 x 轴上一点 M,求直线 I 的方程.解:(1)依题意,4a=4 电,a2-b2=1.所以 a=t.:2,b=1.故椭圆 C 的方程为亍+y =1.X.(2

6、)设 A(X1,y1),B(X2,y2),P(X3,y3),Q(X4,y4),PQ 与 x 轴的交点记为点 N,直线 l 的方程为 x=ty-1,直线 m 的方程为 x=ty+4.依题意得-，则-二-,可得，令=X肚 0),I+ VT=七贝小把 yi= ?y2代入整理，得=-A t*+2：由 I”总一乙：消去 x,得 y2-4ty-16=0,贝 U把 y3= $4 代入,整理得 一=-t2.lyEy4= -16r由消去入得- =t2，解得 t=0 或 t=我.故直线 I 的方程为 x=-1 或 x- y+1=0 或 x+也 y+1=0.15.(2019 江西上饶重点中学二模,文 15,直线的方

7、程，填空题)过点 P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为 _ .解析：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点 P 且与 AB 平行的直线；另一条是经过 P 与 AB 中点 C的直线.TA(2,-3),B(4,5), AB 的斜率 k= =4.可得经过点 P 且与 AB 平行的直线方程为 y+1=4(x-3),化简得 4x-y-13=0.TAB 中点为 C(3,1),经过 P,C 的直线方程为 x=3.综上，所求直线的方程为 4x-y-13=0 或 x=3.答案：4x-y-13=0 或 x=37.(2019 甘肃嘉峪关一中三模，文 7,直线的方

8、程 选择题)若 P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中 点,则直线 AB的方程为()A.x+y-1 =0B.2x-y-5=0C.2x+y=0Dx+y-3=02 2-1解析：圆(x-1) +y =25 的圆心为(1,0),直线 AB 的斜率等于=-1,由点斜式得到直线 AB 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0. 答案：D1.消去 x,得(t2+2)y2-2ty-1=0,9 9.2 2 点与直线、两条直线的位置关系124两条直线的平行与垂直6.（2019 甘肃嘉峪关一中三模,文 6,两条直线的平行与垂直,选择题）已知 a 电直线 ax+（b+2）y+4=0 与直

9、线 ax+（b-2）y-3=0 互相垂直，则 ab 的最大值等于（）A.0B.2C.4D.解析：若 b=2,两直线方程分别为y=-x-1 和 x=,此时两直线相交但不垂直若 b=-2，两直线方程分别为 x=-和 y=x-,此时两直线相交但不垂直所以当 b 廿 2 时，两直线方程分别为 y=-x-丄和 y=-2_x+鱼，此时两直线的斜率分别为-,-,因为 a2+b2=4 2ab,所以 ab0)关于直线 x+y+2=0 对称.(1)求oC 的方程过点 P 作两条相异直线分别与oc 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，0 为坐标原点，试判断直线 0P 和 AB 是否平行？请说明

10、理由解得1=1则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2, 故圆 C 的方程为 x2+y2=2.解：由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存有，且互为相反数，故可设 PA y-1=k(x-1),PB：y-1 =-k(x-1),且 kMD,由存;缓譽得(1 +k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得XA=同理,xB=,淮啦邮tH 举 a kAB=1 =kOP,直线 AB 和 OP 定平行.20.(2019 黑龙江哈尔滨六中四模，文 20,求圆的方程，解答题)过抛物线 C： x2=4y 对称轴上任一 点P(0,m)

11、(m0)作直线 I 与抛物线交于 A,B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点.(1)当直线 l 方程为 x-2y+12=0 时，过 A,B 两点的圆 M 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 M 的方程.设黍=入，证明：繚丄(-入滋).(1)解:由 F 岁得点 A,B 的坐标分别是(6,9),(-4,4),I犷=畔牡),斜率为 k 亡弓故 AB 的垂直平分线方程为 4x+2y-17=0.由 x2=4y 得 y=x2,y=x,所以抛物线在点 A 处的切线斜率为 3.设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则+ 25-17=解得 a=-,b=，心.所以圆 M 的方程为一二一二二

12、二.V2 J 2.证明：设 AB 方程为 y=kx+m,A,B 两点的坐标分别是(xi,yi),(X2,y2), 代入抛物线方程 X=4y,得x2-4kx-4m=0,xi+X2=-4k,xiX2=-4m.由丽=入朋，得 A，又点 Q(0,-m),从而笹 3=(0,2m),解：设圆心 qa,b),则则 AB 的中点为Q丄入悄=(xi-瓜2,yi- “2+(1- /)m),所以;廉(関-入慮)=2myi- “2+(1- “m=2m(xi+x2) -=0,JCJ所以点丄(-入).129与圆相关的轨迹问题6.(2019 山西朔州怀仁一中一模，文 6,与圆相关的轨迹问题，选择题)若APAB 是圆 C:2

13、 2(x-2) +(y-2) =4 的内接三角形，且 PA=PB/ APB=120 ,则线段 AB 的中点的轨迹方程为()2 2 2 2A.(x-2) +(y-2) =1B.(x-2) +(y-2) =22 2 2 2C.(x-2) +(y-2) =3 Dx +y =1解析：设线段 AB 的中点为 D,则由题意，PA=PB/ APB=120 ,/ ACB=I2O ./CB=2,ACD=1,线段 AB 的中点的轨迹是以 C 为圆心,1 为半径的圆，故线段 AB 的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.答案：A130与圆相关的最值问题14.(2019 江西上饶三模，文 14,与圆相关的最

14、值问题，填空题)设 m,n R,若直线 l: mx+ ny-1=0 与 x轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 I 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点，则 mn 的最大值为解析：由圆 x2+y2=4 的方程，得到圆心坐标为(0,0),半径 r=2,直线 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦 CD=2,圆心到直线 l 的距离 d=.圆心到直线 l： mx+ ny-1=0 的距离 d=，二平 3,整理得 m2+ n2=.令直线 I 解析式中 y=0，解得 x=,、s AG)，即OA=.令 x=0，解得 y= ,占(吒),即 OB=.Tm2+n22|mn|，当且仅当|m

15、|=|n|时取等号，又AOB 为直角三角形,SAABC=OAOB3F=3,当且仅当|m|3=|n|2=时取等号，故 mn 的最大值为.答案：2 215.(2019 山西太原山大附中高三月考，文 15,与圆相关的最值问题，填空题)圆 x +y +2x-4y+1 =0关于直线 2ax-by+2=0(a,b R)对称，则 ab 的取值范围是 _.解析：把圆的方程化为标准方程，得(x+1)2+(y-2)2=4,圆心坐标为(-1,2),半径 r=2,根据题意，可知圆心在已知直线2ax-by+2=0 上,把圆心坐标代入直线方程，得-2a-2b+2=0,n器即 b=1-a,则设 m=ab=a(1-a)=-a

16、2+a=-，当 a=时,m 有最大值，最大值为，即 ab 的最大值为.故 ab 的取值范围是(耳讣答案:诂10.(2019 江西三县部分高中一模，文 10,与圆相关的最值问题，选择题)已知 A(-3,0),B(0,4),M 是 圆 C:x2+y2-4x=0 上一个动点，贝MAB 的面积的最小值为()A.4B.5C.10D.15解析：由 x2-4x+y2=0,得 (x-2)2+y2=4,圆的圆心(2,0),半径为 2,过圆心作 AB 所在直线的垂线，交圆于 M,此时AABM 的面积最小直线 AB 的方程为 4x-3y+12=0,|AB|= 5,圆心到直线 AB 的距离为一一二=4.AMAB 的面

17、积的最小值为 拓(4-2)=5. 答案：B3 211.(2019 黑龙江大庆一模，文 11,直线与圆的位置关系，选择题)直线 y=kx+3 与圆(x-3) +(y-2) =4/. |mn| 2，则 k 的取值范围是（）当|MN|= 2 时,弦心距最大为 由点到直线距离公式得w1,血答案：A5.（2019贵州贵阳一模，文 5,直线与圆的位置关系，选择题）对任意实数k,直线 y=kx+1 与圆x2+y2=4 的位置关系一定是（）A.相离B.相切C 相交且不过圆心D 相交且过圆心解析：对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点（0,1），且斜率存有. （0,1）在圆 x2+y2=4 内,对任意的实

18、数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 的位置关系一定是相交但直线不过圆心.答案：C6.（2019 江西南昌零模，文 6,直线与圆的位置关系 选择题）已知 M（xo,yo）是圆 x2+y2=a2外任意一 点,则直线 x0 x+yy=a2与该圆的位置关系是（）A.相切B.相交C 相离D.由点（xo,yo）的位置决定解析：T点 M（x0,y）是圆 x2+y2=a2（a0）外一点,嗚-“ Qa2圆心 0 到直线 x0 x+yy=a2的距离为 d=a（半径），故直线和圆相交.辽-飞答案：B7.（2019 江西宜春高安四校一模 所得劣弧所对圆心角为（）解析：设劣弧所对圆心角的一半为因为圆到直线

19、的距离为d 务 1,半径是 2,w所以 COSa=0.5,a=，故劣弧所对圆心角为nlb 0,+8)CI3 常 ID.制解析：圆心的坐标为（3,2）,且圆与,文 7,直线与圆的位置关系，选择题）直线 x+y+ =0 截圆 x2+y2=4血A.C.D.答案：C3.(2019 甘肃兰州一中模拟，文 3,直线与圆的位置关系，选择题)如果直线 ax+by=4 与圆 C： x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆 C 的位置关系是()A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定解析：直线 ax+by=4 与圆 C: x2+y2=4 有两个不同的交点，圆心(0,0)到直线 ax+by-4=0 的

20、距离 d= 4.故点(a,b)在圆 C 的外部.答案：A16.(2019 甘肃嘉峪关一中三模，文 16,直线与圆的位置关系，填空题)已知直线 x+y+m=0 与圆2 2x+y =2 交于不同的两点A,B,0 是坐标原点,| 皿麗：|,那么实数 m 的取值范围是_ .解析：直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=2 交于相异两点 A,B, O 点到直线 x+y+m=0 的距离 d丨羅 I，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，；寸珀的夹角为锐角.直线 x+y+m=0 的斜率为-1,即直线与 x 的负半轴的夹角为 45 度，.当惑爲鬲的夹角为 直角时，直线

21、与圆交于(-或;,0),(0，-或；),此时原点与直线的距离为 1,故 d1.综合可知 1wd-.据综上,-2mw-wm2.答案：(-2,-)U,2)6.(2019 甘肃兰 州一中 三模，文 6,直线与圆 的位置 关系，选择题)直线 ax+by-a=0 与圆 x2+y2+2x-4=0的位置关系是()A.相离C 相交B 相切D 与 a,b 的取值相关解析：直线即 a(x-1)+by=0,过定点 P(1,0),而点 P 在圆(x+1)2+y2=5 内，故直线与圆的位置关系是 相交.答案：C11.(2019 黑龙江哈尔滨九中三模，文 11,直线与圆的位置关系，选择题)直线 11： y=x2: y=x

22、+2 与2 2C： x +y -2mx-2ny=0 的四个交点把C 分成的四条弧长相等，则 m=()A.0 或 1B.0 或-1C.-1D.1解析：I直线 11/ 12,且 11,12把C 分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示.肿仪厂r011X-又 C 可化为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2,过原点作一直线与x+y+m=0 垂直，即 y=x,两直线交点为(7：-汀则d=冋.当 m=0,n=1 时，圆心为(0,1),半径 r=1,此时 h,l2与C 的四个交点(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1)，把C 分成的四条弧长相等当 m=-1,n=0 时,圆心为(-1,0),半径 r=

23、1,此时 Ii,l2与oC 的四个交点(0,0),(-1,1),(-2,0),(-1,-1)，把oC 分成的四条弧长也相等答案：BI I 2 2解析：圆 O: x +y -2x+a=0, 即(x-1)2+y2+a=1-a,- 一=2=1-a,求得 a=0.答案：B16.(2019 吉林实验中学六模，文 16,直线与圆的位置关系，填空题)在平面直角坐标系 xOy 中,设 直线y=-x+2 与圆 x2+y2=r2交于 A,B 两点,0 为坐标原点，若圆上一点 C 满足二二,贝 y r=_.解析：由题意可得，|爾|=|脣廁=|概|=r,设 =9,0,讣贝 y =i丽闕 ,44两边同时平方可得，=-=

24、7 一 = =7,1IS3即 r2= r2+ rfos9X, cos9=-.cos9=2COS2-1,cos 0,cos二2设圆心 O 到直线 x+y-2=0 的距离为 d,则 d=rcos 二-二，即一 r= ,r=j【Ji：.22刍答案：画17.(2019 黑龙江绥化一模，文 17,直线与圆的位置关系，解答题)已知圆 C 的圆心 C 在第一象限，且在直线 3x-y=0 上,该圆与 x 轴相切，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2麝,直线 l： kx-y-2k+5=0 与圆 C 相交.(1)求圆 C 的标准方程；求出直线 I 所过的定点；当直线 l 被圆所截得的弦长最短时，求直线 l 的方

25、程及最短的弦长. 解：(1)设圆心为(a,b)(a0,b0),半径为 r,6.(2019 黑龙江哈尔滨三中四模x2+y2-2x+a=0 所截得弦的长度为，文 6,直线与圆的位置关系,则实数 a 的值是()选择题)直线 I： 8x-6y-3=0 被圆 O:A.-1B.0C.1D.1-又弦心距 d= aDB|则 b=3a,则 r=3a，圆心到直线 x-y=0 的距离 d=a,圆被直线 x-y=O 截得的弦长为 2 ,(a)2+()2=(3a)2,即 a2=l,解得 a=1,则圆心为(1,3),半径为 3, 则圆 C 的标准方程(x-1)2+(y-3)2=9.由 kx-y-2k+5=0 得 y=k(

26、x-2)+5, 则直线 I 过定点 M(2,5).要使弦长最短，则满足 CM 丄 I,即 k=-则直线 I 方程为 x+2y-12=0,|CM|=廡,则最短的弦长为 2=2 应=4.圆与圆的位置132关系8.(2019 山西太原二模,文 8,圆与圆的位置关系，选择题)已知点 A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2)2+y2=r2上存有点 P,使得/ APB=90 ,则实数 r 的取值范围为()A.(1,3)B.1,3C.(1,2解析：根据直径对的圆周角为90。，结合题意可得以检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交.而以 AB 为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心距为所以 |r- 1|2|r

27、+ 1|，解得 1r3.答案：A2._(2019 广西玉林、 贵港 4 月模拟，文 16,圆的切线与弦长问题，填空题)已知 A 为射线 x+y=0(x0) 上的动点,B为 x 轴正半轴上的动点，若直线 AB 与圆 x2+y2=1 相切 则|AB|的最小值为 _ .解析：设切点为(m,n),则切线方程为 mx+ ny=1,TA 为射线 x+y=0(x=2+2,即|AB|的最小值为2盘+2.答案:2 威+23 .(2019 甘肃张掖 4 月模拟，文 9,圆的切线与弦 长问题，选择题)直线 y-仁 k(x-3)被圆 (x-2)2+(y-2)2=4所截得的最短弦长等于()A晟B.2 用C.2 嵌D.解

28、析：圆的方程为圆(x-2)2+(y-2)2=4,圆心 C(2,2),半径为 2.直线 y-1 =k(x-3)，所以此直线恒过定点(3,1),当圆被直线截得的弦最短时，圆心 C(2,2)与定点 P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为故所截得的最短弦长2=2.答案：C14.(2019 吉林三模，文 14,圆的切线与弦长问题，填空题)圆心在原点且与直线 x+y-4=0 相切的圆 的方程为_ .解析：设圆的方程为 x2+y2=r2，圆心为(0,0),半径为 r,由直线和圆相切的条件d=r,可得 d= =2=r,即有圆的方程为 x2+y2=8.答案:x2+y2=811.(2019 江西红色六校二模，文 1

29、1,圆的切线与弦长问题，选择题)在 x 轴,y 轴上截距相等且与圆 (x+2)2+(y-3)2=1 相切的直线 I 共有()条.A.2B.3C.4D.6解析：圆的圆心(-2,3 詁!;.),半径是 1,原点在圆外，与圆(x+2 )2+(y-3)2=1 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条；斜率为-1 的直线也有两条.故所求直线共有 4 条.答案：C11.(2019 广西防城港、桂林一模，文 11,圆的切线与弦长问题选择题)若直线 kx+y+4=0 上存有点 P,过点 P 作圆 x2+y2-2y=0 的切线，切点为 Q,若|PQ|= 2,则实数 k 的取值范围是()A.-2,2

30、B.2,+s)C.(-s,-2U2,+s)D.(-s,-1U1,+s)解析:圆 C： 知2沟=0 的圆心(0,1),半径是 r=1,由题意,PQ 是圆 C： x2+y2-2y=0 的一条切线,Q 是切点,PQ 长度最小值为 2,圆心到直线的距离PC 最小，最小值为.由点到直线的距离公式可得:.撐+1L k 2.答案：C9 9.5 5 椭圆.椭圆的定义及标 准方程1 .(2019 广西玉林、贵港 4 月模拟，文 20,椭圆的定义及标准方程，解答题)已知一椭圆中心在坐 标原点，左右焦点在 x 轴上，若其左焦点 F!(-c,0)(c0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1 上任意一点距离的 最小值

31、为 4,且过椭圆右焦点 F2(c,0)与上顶点的直线与圆 O: x2+y2=相切.(1)求椭圆 E 的方程；若直线 I: y=-x+m 与椭圆 E 交于 A,B 两点，当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求IAB的面 积解：设椭圆 E 为=1(ab0),a-虻焦点分别为R(-C,0),F2(C,0),则椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为-仁 4,又 c0, /-c=1.过椭圆右焦点和上顶点的方程为=1,即 bx+y-b=0.由直线和圆 O 相切可得- 一，解得 b=1,a2=b2+c2=2.椭圆 E 的方程为+y2=1.32 2(2)由可得 3x -4mx+2m -2=0.0 =乜

32、#佩贝 V Y(-4m) -12(2m -2)0,即 m 3.设 A(X1,y1),B(x2,y2),贝 Ux什 X2=,X1x2=,则 AB 的中点横坐标为则以 AB 为直径的圆的半径为 r=|AB|=|X1-x2|=.由条件可得孑 J 笆+盖广我晟=r 厂|.4整理可得(X1+X2)2=8X1x2,即一 =8 .2m=4X=8 感.答案：83.（2019 黑龙江大庆二模，文 11,椭圆的定义及标准方程 选择题）已知椭圆 C:=1 （ab0）的左、右焦点分别为 F1,F2,其中 F1（-2乗,0）,P 为 C 上一点，满足|OP|=|OF1| ,且|PF1|=4,则椭圆 C 的方程为（）解析

33、：设椭圆的焦距为 2c,连接 PF2,如图所示.由 F(-2 ,0),得 c=2,又由 |OP|OF 1FQF2I 知,PF1丄 PF2,在 APF1F2中,由勾股定理，得|PF2|= .二一. -?- =8,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|= 2a=4+8=12,从而 a=6，得 a2=36, 于是 b2=a2-c2=36-(2)2=16,答案：C3/4.（2019 江西赣州一模，文 20,椭圆的定义及标准方程，解答题）已知椭圆 E：r =1（ab0）的焦距为 2,A 是 E 的右顶点,P,Q 是 E 上关于原点对称的两点，且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜 率之积为-.（1）求 E

34、 的方程；过 E 的右焦点作直线 I 与 E 交于 M,N 两点，直线 MA,NA 与直线 x=3 分别交于 C,D 两点，记ACD与AAMN 的面积分别为 S,S2,且 S1S2=，求直线 l 的方程.解：根据题意,设 P(X0,yo),Q(-X0,-yo),则畸書曲辰kQA=依题意有-=-,fl?又 c=1,所以 a2=4,b2=3,故椭圆 E 的方程为匕+二=1.432 2设直线 MN 的方程为 x=my+1,代入 E 的方程得(3m +4)y +6my-9=0, 设M(x1,y1),N(X2,y2),由韦达定理知 y+y2=-,y1y2=-,2M- +4+4又直线 MA 的方程为 y=

35、(x-2)，将 x=3 代入,xi-2所以 S1=|CD|=,.c IH B* 1 1施所以 |CD|=|yc-yD|=.一一 一=3,，填空题)已知椭圆 C:-=1,点“ 16M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为|AN|+|BN|= _ .解析：如图,设线段连接 DR,DF2,则 DF1,DF2分别是MN,ABMN 的中位线，则 |AN|+|BN|= 2|DF1|+ 2|DF2|=2(|DF1|+|DF2|)=2 2a=4 5=20.所以 0tb0),A,B 分别是椭圆的长轴和短轴的端点，且原点到直线 AB 的距离为 b.旷 犷3(1)求椭圆 C 的离心率；直线

36、I 与圆 O：x2+y2=b2相切，并且被椭圆 C 截得的弦长的最大值为2,求椭圆 C 的标准方程.解：(1)不妨设椭圆 C 的右顶点为 A,上顶点为 B,则直线 AB 的方程为-=1,即 bx+ay-ab=0,依题意，原点 O 到直线 AB 的距离 d=b,化简，得 a2=4b2,结合 b2=a2-c2,得-:-,阳52即离心率 e=.3设直线 I 与椭圆 C 交于 P(X1,y1),Q(X2,y2).(i)当直线 I 的斜率存有时，设 I: y=kx+m, 联立 x2+y2=b2,消去 y,整理，得(1 +k2)x2+2kmx+m2-b2=0.因为直线 l 与圆 O 相切，所以Ai=(2k

37、m)24(1+k2)(m2-b2)=0,得 m-bW2由空丄亡_消去 y，整理，&+?= 11得(1 +4 k2)x2+8kmx+ 4m2-4b2=0,Ir跖”A Tn A 2 2B由韦达定理,得/且 &=(8km)24(1+4k2)(4m2-4b2)0,从而 |PQ|=書= Jlh 斗=.：二“结合 m2-b2=k2b2,整理,得|PQ|=*3；冷林乎又设=t，易知，k电当 t=即=时，得 |PQ|max=l；：工 f=2b,(ii)当直线 I 的斜率不存有时，不妨设 I 的方程为 x=b 易知此时|PQ|=bb0)的左、右焦点分别为FI,F2,点 D 在椭圆上.DFi丄 F

38、,=2, ADF1F2的面积4设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆一 +y =1 相交,P1(X1,y1),P2(X2,y2)是两个交点(1)求椭圆的标准方程；设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相 互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.（1）设F1（-G0）,F2（C,0），其中 c =a -b ,从而沧帕：戈DF1|F旧=C2=，故C=1.从而 |DF1|=,由 DF1丄 F1F2,0 0 0得 |DF2| =|DF1| +|F1F2| =,所以 |DF2| ,所以 2a=|DF1|+|DF2|=2、疲，故 a,b2=a2-c2=1,J C故椭

39、圆的标准方程为+y2=1.y10,y20,F1P1,F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1丄 F2P2,由圆和椭圆的对称性，易知解:=2，得 |DF1|=亠$X2=-xi,yi=y2,|P1P2F2|xi| ,由知FI(-1,0),F2(1,0),所以.唸焉=(xi+1,yi),號咯=(-xi-1,yi), 再由 FiPi丄 F2P2,得-(xi+ 1)2+谥=0,由椭圆方程得 1- =(xi+l)2,即 3 盛+4XI=0,解得 xi=-或 0.当 xi=0 时,PI,P2重合，此时题设要求的圆不存有当 Xi=-时，过 Pi,P2分别与 F1P1F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由 F1P

40、1F2P2是圆 C 的切线，且 FiPi丄 F2P2,知 CPi 丄 CR,又|CPi|=|CP2|, 故圆 C 的半径 |CPi|=IP1P2F农|xi|=.Z1136椭圆的几何性质|PF2|=|F2FI|.TP 为直线 x=上一点，答案：CJIJi20.(2019 山西太原二模，文 20,椭圆的几何性质，解答题)已知动点 A 在椭圆 C:=1(ab0)上,动点 B 在直线 x=-2 上,且满足 应丄习進(O 为坐标原点)，椭圆 C 上点 M 到两焦点距离之和为 4.(1)求椭圆 C 方程；求|AB|取最小值时点 A 的坐标.2a =解：根据题意可得3, 3 _ -1.(2019 广西柳州一

41、中一FI,F2是椭圆 E:=1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点2PFI是底角为 30 犷2的离心率为()A.B.解析：/AF2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 ED.C.O解得 a2=i2,b2=3,故椭圆 C 方程为=1.IS 3由题意可设 A(xo,yo),B(-2,t)(t R),也丄 蕊,就爺=-2xo+tyo=O,即 t=,T动点 A 在椭圆 C 上，一 亠=1,123銘=3-,|AB|=阪:甘、盼旷=喙b0)与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存有点巳过 P 作圆的切线 PA,PB 切点为 A,B 使得/ BPA=,则椭圆 G 的 离心率的取值范围是(

42、)解析：连接 0A,0B,0P,依题意,O,P,A,B 四点共圆，A.血血/BPA=，/AP0=ZBP0=,在 RtAOAP 中,/ AOP=,二cos/AOP=，二|OP|= =2b.D?|2|/b|OP|wa,2ba.4b2wa2,即 4(a2-c2) w a2, 3a2w4c2，即.e.又 0e1,. we0,b0）的一个焦点ST与抛物线 y2=4 的焦点重合，且椭圆的离心率等于，则该椭圆的方程为ir-o6.（2019 江西上饶二模，文 6,椭圆的几何性质 选择题）已知焦点在 x 轴的椭圆方程+y=1,过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于 A,B两点，且|AB|= 1,则该椭圆的离心率为（）

43、A.B.C.D.11JHI解析：焦点在 x 轴的椭圆方程务y2=1,焦点坐标（土加迁0），不妨设 A,可得=1,解得 a=2,a* 4故椭圆的离心率为 e=答案：A5.（2019 江西六校联考二模，文 5,椭圆的几何性质，选择题）椭圆 r-=1（ab0）的两顶点为A卅 L2*A.B.g 進=14”Jr：C.=1Et3解析： 抛物2 2Dx +3y =1又椭圆的离心率等于2y =4x 的焦点为(1,0),. c=1. 3Bnl 価,即二，.a=，二b2=a2-c2=.故所求椭圆的方程为答案：D2 2x +3y =1.T=C.B.故椭圆 C 的离心率的取值范围是.A（a,0）,B（0,b）且左焦点

44、为 FAFAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为（）A一B.C.D.解析：依题意可知点 F(-c,0),直线 AB 斜率为一=-,直线 BF 的斜率为 =-/ / FBA=90整理得 c2+ac-a2=0,即-1 =0,即 e2+e-1=0,解得 e=vE-1e=答案：C20.(2019 江西上饶三模，文 20,直线与椭圆的位置关系，解答题 股 F 为椭圆 E：=1(ab0)丁 胪的右焦点，点 P(lg)在椭圆 E 上，直线 Io： 3x-4y-10=0 与以原点为圆心、以椭圆 E 的长半轴长 为半径的圆相切(1) 求椭圆 E 的方程(2) 过点 F 的直线 I 与椭圆相

45、交于 A,B 两点，过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点 Q. 问是否存有直线 I,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分？若存有,求出 I 的方程;若不存有，说明 理由.结论:理由如下设直线 I 的方程为 y=k(x-1)，直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+.由消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0.切=阖妒则 |AB|= 一一- .3嗣犷伫+H1消去 y 得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,则 |PQ|=.十 -若四边形PABQ的对角线互相平分,则四边形PABQ为平行四边形,|AB|=|PQ| ,.1+k2=+k

46、+k2? k=.直线 I 的方程为 3x4y-3=0 时,四边形 PABQ 的对角线互相平分=-1.存有直线 I,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分. :由题可知直线 I,PQ 的斜率存有解：(1)由题意知所以椭圆 E 的方程为=1.7.(2019江西上饶一模，文 7,椭圆的几何性质 选择题)已知椭圆 C：=1(ab0)的左右焦点为FI,F2,过 F2的直线与圆 x2+y2=b2相切于点 A,并与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,如图,PFi丄 PQ因为 A 为线段 PQ 的靠近 P 的三等分点，所以 A 为线段 PF2的中点 汙是 PF1=2b.结合椭圆的定义有 PF2=2a-2b,在

47、RtAPFiFs中，利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将 c?=a2-b2代入,整理可得 b=a,答案：C15.(2019 广西防城港、桂林一模，文 15,椭圆的几何性质，填空题)设椭圆-=1(ab0)的左 右焦点分别为FI,F2,焦距为2C.直线 y=n 冒(x+c)与椭圆的一个交点为 M,0 为坐标原点，若|OM|=c , 则椭圆的离心率是_.解析：直线 y=(x+c)与坐标轴的交点分别为A(-C,0),B(0,c).|AB|= 2c.直线 y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,0 为坐标原点 若|OM|=c ,可得 M 是 AB 的中点，M - 一.化简得：二亠 =1

48、,解得 e= -1.答案：揖-110.(2019 江西赣州兴国一模，文 10,直线与椭圆的位置关系，选择题)椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 一,则的值为()2&二0 _ _缸A.C.D.得 ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0,设 A(X1,y1),B(X2,y2),则解析：连接 0A,PF1,则 0A 丄 PQ 又 PF1丄 PQ,可得 OA/ PR.iff-环血3解析：为FI,F2,过 F2的直线与圆 x2+y2=b2相切于点 A,并与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,如图,PFi丄

49、PQ*+血=略倍,y什y2=1-x1+1-x2=2-=.所以 AB 中点坐标为（一一,AB 中点与原点连线的斜率k=故二:答案：A.22xf514.（2019 山西太原五中二模，文 14,椭圆的几何性质，填空题）已知椭圆 mx+4y=1 的离心率为,则实数 m 等于_.rr解析：由 mx2+4y2=1,得 =1,若，得 0m4,此时 a=,c2=-wt 44则，解得 m=8.i那3综上,m=2 或 8.答案：2 或 812.（2019 山西太原山大附中高三月考，文 12,椭圆的几何性质选择题）椭圆 C：=1（ab0）的左右焦点分别为 片丘，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P 使得 AF1

50、F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A.gOB.C.D.一解析：当点 P 与短轴的顶点重合时hF2P 构成以 F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰AF1F2P当AF1F2P 构成以 F1F2为一腰的等腰三角形时，以 F2P 作为等腰三角形的底边为例，TF1F2=F1P,点 P 在以 R 为圆心，半径为焦距 2c 的圆上.所以，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存有 2 个满足条件的等腰RF2P,在AF1F2P1中,F1F2+PFiPF2,即 2c+2c2a-2c,由此得知 3ca.所以离心率 e.当 6=时,济1卩2卩

51、是等边三角形，与中的三角形重复，故 e 齐同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在 e且 e 旳寸也存有 2 个满足条件的等腰RRP 这样,，C=11；PC=总共有 6 个不同的点 P 使得AF1F2P 为等腰三角形.综上所述，离心率的取值范围是 豊 3 唱则答案：D11.(2019 黑龙江哈尔滨六中四模，文 11 椭圆的几何性质 选择题)设 F1丘是椭圆 x2+ =1(0bb0)的右焦点 F 和上顶点 B,则椭圆r的离心率-为_ .解析：由题意得，椭圆的右焦点 F 为(c,0)、上顶点 B 为(0,b), 因为圆(x-1)2+(y-1)2=2 经过右焦点 F 和上顶点 B,所以解得 b=c

52、=2,则 a2=b2+c2=8，解得 a=2 ,所以椭圆 C 的离心率 e=.a礙2答案：11.(2019 甘肃兰州二诊，文 11,椭圆的几何性质 选择题)已知椭圆 C 的中心为 O,两焦点为,1qF1,F2,M 是椭圆 C 上一点，且满足|=2|瑚g|=2|,则椭圆的离心率 e=()ArB.C.D.解析：由椭圆定义可得 2a=|MFj|+|MF2|=3|MF2|,|MF1|=|MO|=|MF2|, 所以 |MF2|=a ,|MF1|=a.在AF1OM 中,|F1O|=c,|F1M|=a ,|OM|=a ,在 A0F2M 中,|F20|=C,|M0|=|F2M|=a ,贝 y cos/ MOF

53、2=討二評=竺,甜拿i4fl，由 /MOFI=180 -/ MOF2得 cos/ MOF 计 cos/ MOF2=0,即为亠二=O,整理得：3c2-2a2=0,4sc 4s即一二，即 e2=,即有 e=.33答案：D11.(2019 甘肃兰州一模，文 11,椭圆的几何性质 选择题)已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别是FI,F2,右顶点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为|FIF2|,则椭圆&C 的离心率 e=()解析:设椭圆 C 的焦距为 2c(cb0),由题意可得 椭圆 C 两焦点坐标分别为FI(-1,0),F2(1,0).-2a=. ： - ：

54、：一 ：；： 一：-： : 一:：7t=4-a=2.又 c=1,b2=4-1=3,故椭圆的方程为- =1.(2)当直线 I 丄 x 轴，计算得到：A(1 扫,B，- : |AB| |FiF2|= 3X2=3,不符合题意.当直线 I 与 x 轴不垂直时，设直线 I 的方程为 y=k(x+1).(y = &(x+ l)t由消去 y 得2 2 2 2(3+4k )x +8kx+4k-12=0.显然A0 成立，设 A(x!,y!),B(x2,y2),mtIai4fc -12贝UX 什 x2=-,xix2=,14-ft* J(3+化简，得 17k4+k2-18=0，即(k2-1)(17k2+18

55、)=o,解得 k= 1. 所以 r=20.(2019 黑龙江绥化一模，文 20,直线与椭圆的位置关系，解答题)坐标系 xOy 中，已知椭圆G： “ 一=1(ab0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点 P -在 G 上.(1)求椭圆 C1的方程；若直线 l: y=kx+m 与椭圆 C1交于 M,N 且 koM+kON=4k,求证：m2为定值(1)解：由题意，椭圆 C1的右顶点坐标为 B(0,1),所以 b=1,点P -代入椭圆 r 一 =1 得二二-,即 a=嶺.所以椭圆 G 的方程为彳+y2=1.证明：直线 I 的斜率显然存有，设直线 I 的方程为 y=kx+m,得 T+T3 = 1消去

56、y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*) 5T= Ax + -mr设 M(X1,y1),N(X2,y2),又 |AB|=- ，故圆 F2的方程为(x-1)2+y2=2.137直线与椭圆的位置关系._ 1 j j Q+H即 |AB|=.讥-又圆 F2的半径 r=-由(*)式得x1+x2=-,x1A.D.B. C.ZE解析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是BC-AB=2a=10,c=6,.sinJ-sinCX 5A,B,由双曲线的定义可知答案：D2.（2019 甘肃张掖 4 月模拟，文 11,双曲线的定义与标准方程,选择题）已知双曲线 x2- =1 的焦点为 R,F2,点 M

57、 在双曲线上且=0,则点 M 到 x 轴的距离为D.A.B.解析：已知双曲线 x2- =1 的焦点为 F1（-,0）,F2（,0） . MFMF?,.点 M 在以 F1F2为直径的圆 x2+y2=3 上,得|护苓得|y|=T，故由点M到x轴的距离为.答案：D11.（2019 江西景德镇二模，文 11,双曲线的定义与标准方程，选择题）已知双曲线一- T=1 两个焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线 I 与该双曲线的右支交于M,N 两点,且厶 F1MN 是以 N 为直角顶点的等腰直角三角形，贝 U为（）A.18 或.B.12C.18解析：设|NF1|=|MN|=m ,则|MF1|=窗 m,由双

58、曲线的定义，可得|NF2|=m- 2a,|MF2|=点 m-2a,|NM|=|NF2|+|MF2|=m ,肓 m-2a+m-2a=m, 4a= m.2 2Ta =3,. m =24.D.12k0M+k0N=- -=2k+=2k-=4k.可得 m2=.il理ac：陀吧2-2经验证满足 A0,故 m2=为定值.9696 双曲线138双曲线的定义与标准方程1 .（2019广西柳州一中一模，文 12,双曲线的定义与标准方程知ABC的顶点A（-6,o）和q6,0）,顶点 B在双曲线 手1，选择题）在平面直角坐标系中，已的左支上,则-等于（）= =2,当且仅当b樺时取等号. 故AABC 面积的最大值为 2

59、.答案：B11.（2019 山西太原五中二模,文 11,双曲线的定义与标准方程,选择题）已知双曲线“ - T=1（a0,b0,且 b N ）的两个焦点为FI,F2,其中一条渐近线方程为y=x,P 为双曲线上一点，且满足|OP|5（其中 O 为坐标原点）,若|PF!| ,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则双曲线 C 的方程为（）存2A-y =12解析：/ |F1F2| =|PF1| |PF2| ,二4C2=|PF1|PF2|.22T|PF1|-|PF2|=4,.|PF1| +|PF2| -2|PF1| |PF2|= 16,即 |PF1|2+|PF2|2-8c2=16设/ POF=Q,则 /

60、POE=n 0,由余弦定理得,|PF2|2=C2+|OP|2-2|OF2| |OP| cos(n-B),2 2 2|PF1|=C+|OP|-2|OF1|OP| cos0.整理得，|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2由化简得，|OP|2=8+3c?=20+3b2.OP5,. 20+3b20,b0）的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、故%沖：丁2=怎4=12.答案：D11.（2019 江西上饶重点中学二模,文 11,双曲线的定义与标准方程，选择题）已知双曲线丄-二=1（0b2）与 x 轴交于 A,B 两点,点 C（0,b）,则ABC 面积的最大值为（）亠甘 rA.1C.4B.