二次函数铅垂高演练答案、解析、总结

1、二次函数铅垂高如图12-1,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在ABC内部线段的长度1.叫4ABC的“铅垂局(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：Sabc-ah,2即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA,PB,当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及SCAB；(3)是否存在一点P,使字PAB=-SACAB,说明理由

2、.8例1解：(1)设抛物线的解析式为：y1a(x1)241分把A(3,0)代入解析式求得a1所以y1(x1)24x22x33分设直线AB的解析式为：y2kxb由y1x22x3求得B点的坐标为(0,3)4分把A(3,0),B(0,3)代入y2kxb中解得：k1,b3所以、2x36分(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时，y=4,y2=2所以CD=4-2=28分C1Scab-323(平万单位)10分2(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,4PAB的铅垂高为h,则hy1y2(x22x3)(x3)x3x12分由SPAB=SACAB8一1c9得：3(x23x)328化简彳导:4x212

3、x903解得，x3232将x-代入y1x2x3中,14分一315解得P点坐标为(万，)总结:求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例2(2010广东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B1点的坐标为(3,0),OB=OC,tan/ACG-.3(1)求这个二次函数的表达式.(2)经过CD两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点ACE、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由

4、.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于MN两点，且以MN/直径白圆与x轴相切，求该圆半径的长度.(4)如图11,若点G(2,y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最1)方法一：由已知得：C(0,3),A(1,0)abc09a3bc0将AB、C三点的坐标代入得C3a1b2解得：C32所以这个二次函数的表达式为：yx2x3方法二：由已知得：C(0,3),A(1,0)设该表达式为：ya(x1)(x3)将C点的坐标代入得：a12所以这个二次函数的表达式为：yx2x3(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不

5、扣分)(2)方法一：存在，F点的坐标为(2,3)理由：易得D(1,4),所以直线CD的解析式为：yx3，E点的坐标为(一3,0)由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2,AE/CF 以AGE、F为顶点的四边形为平行四边形，存在点F,坐标为(2,3)方法二：易得D(1,4),所以直线CD的解析式为：yx3 .E点的坐标为(一3,0) 以AGE、F为顶点的四边形为平行四边形 .F点的坐标为(2,3)或(一2,3)或(4,3)代入抛物线的表达式检验，只有(2,3)符合，存在点F,坐标为(2,3)(3)如图，当直线MNx轴上方时，设圆的半径为+1y1.17R代入抛物线的表达式，解得2当直线MN在x

6、轴下方时，设圆的半径为r(r>0),代入抛物线的表达式，解得1.172.17R(R>0),则A圆的半径为2或2(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,易得G(2,3),直线AG为y2设P(x,x2x3),贝Uq(x,-x-1),PQQQQ12SAPGSAPQSGPQ一(x2x2)31x当2时，APG的面积最大115此时p点的坐标为2,丁，Sapg的最大值为278A、B的坐标分别为(-4,0)和随堂练习1.(2010江苏无锡)如图，矩形ABCD勺顶点(2,0),BC=2内.设直线AC与直线x=4交于点E.(1)求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物

7、线一定过点E;(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于CN之间的一动点，求CMN!积的最大值.【答案】解：(1)点C的坐标2内.设抛物线的函数关系式为2ya(x4)m16am则4am'.3一，m68.33，所求抛物线的函数关系式为.32(x4)64k设直线AC的函数关系式为ykxbw2ky直线AC的函数关系式为343-x33，点E的坐标为“8,、3、(4丁3”，、28、38.3y(44)把x=4代入式，得633.此抛物线过E点.(2)(1)中抛物线与x轴的另一个交点为N(8,0),设M(x,y),过M作MGLx轴于G,贝USACMN=SMNG+螂形MGBCS4

8、1(8CBN=21x)gy-(y22、.3)(x2)1(823y3x8.33(Gx)、3x8.3x25、,3x8,332史(x25)29.329、3当x=5时，SACMNt最大值2课下练习1.(本题满分12分)已知：如图一次函数y="2x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=1x2+bx+c的图象与一次函数y=2x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S;在x轴上是否存在点P,使得PBC是以所有的点P,若不存在，请说明理由.0)P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出3.(2010山东临沂)

9、如图，二次函数2yxax1b的图象与x轴交于(3,8(2。两(1)求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状;(2)在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标;(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?【答案】解：根据题意，将A(2,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,1-a22a解这个方程，得0,0.32,1.全品中考网所以抛物线的解析式为3y=-x2+2x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为(0,1)。所以在AOC中，AC=VOA0c之=2在BOC中，BC=OB20c2=娓1AB=O

10、A+OB=2因为AC2+BC2=c25522AB所以ABC是直角三角形。3(2)点D的坐标是I(3)存在。由(1)知，AC±BC,若以直线BC为底边，则BC/AP,如图(1)所示，可求得BC的解析式为1x12直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线y1xbAP的解析式为21111y_x-将A（2,0）代入直线AP的解析式求得b=4,所以直线ap的解析式为24.311x-因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=24.5xx2解得212（不合题意，舍去）图2的图象与y轴交于点A,与x轴53当x=2时，y=2.53所以点P的坐标为（2,2）

11、.若以AC为底边，则BP/AC,如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为y2x1直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线bp的解析式为y2xb,将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4，所以直线BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-4X二，x22解得2（不合题意，舍去）5当x=-2时，y=-9.5所以点P的坐标为（-2,-9）.5综上所述，满足题目的点P的坐标为（2,3x42（本题10分）如图，已知二次函数y=42交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D,连接AC.点A的坐标为，点C的坐标为(2)线段AC

12、上是否存在点巳使得4EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接则S取何值时，相应的点P有且只有2个？PA、PC,若所得APAC的面积为S,(2)易得.解：(1)A(0,4),C(D(3,0),则b4,8kb0.k解得b1,24.分当DE=DC时,OA=4,OD=3.DA=5,日(0,当ED=EC时,可得e2(U,5)24当CD=CE时,如图，过点E作EGXCD,则CEGCAO,.史OA即EG遍,CG2V5，CGOCE3(8综上，符合条件的点E有三个：匕AC2代，娟),(0,4),e2(1125分5、，、Z)'E3(8275，45)(3)如图，过P作PHLOC,垂足为H,交直线