第12届景润杯 第五讲一元函数积分学

1、Xiamen University厦门大学第厦门大学第十二十二届届“景润杯景润杯”数学竞赛数学竞赛暨第七届全国大学生数学竞赛暨第七届全国大学生数学竞赛系列讲座系列讲座厦门大学数学科学学院厦门大学数学科学学院 庄平辉庄平辉例例1 设函数 f (x) 在区间 I 上有原函数 F (x)，即( )( ),.Fxf xxI证明：若存在0 xI是 f (x) 的间断点，则0 x必为( )f x的第二类间断点.证明：证明：用反证法. 若0 x为( )f x的第一类间断点,利用导数的定义，可以推出00()()Fxf x原函数的概念原函数的概念或 0()Fx不存在.一、积分的计算一、积分的计算1. 化简分母化

2、简分母给定分式：给定分式：CAB， 将分母将分母B化为单项式，便于计算。化为单项式，便于计算。例如，例如，11 sin x2221 sin1sincoscoscosxxxxx11sincosxx2sincos1sincos1(sincos )12sincosxxxxxxxx1211xx2112( 11)2xxxx1122 (1)(1)xxxx211112 12 121xxx一、积分的计算一、积分的计算sind1sincosxxxx1.cosdsincosxxxx1d1+1xxx2211d11xxx一、积分的计算一、积分的计算练习题：练习题：2.3.4.2. 递推公式递推公式考虑：考虑：( )d

3、nnIfxx，利用分解利用分解1( )( )1( )nnfxfxg x或或2( )( )1( )nnfxfxg x及分部积分可获得递推公式。及分部积分可获得递推公式。一、积分的计算一、积分的计算例例2. 求求sind ,2nnIx x n解：解：22sinsin(1 cos)nnxxx利用利用121(sincos),1nnnnIIxxIn及分部积分得及分部积分得故故1211sincos(2)nnnnIIxxnnn利用这个递推式我们可以计算利用这个递推式我们可以计算20sind .nx x一、积分的计算一、积分的计算的递推公式的递推公式.例例3. 求求tandnnIx x的递推公式的递推公式.解

4、：解：22tantan(sec1)nnxxx利用利用121tan.1nnnIxIn利用这个递推式我们可以得到利用这个递推式我们可以得到2401( 1)tand( 1) 14321mmmx xm 21401( 1)tand( 1) ln2 1(1)2mmmx xmm 一、积分的计算一、积分的计算例例4. 求求2(1) dnnIxx的递推公式的递推公式.解：解：2212(1)(1)(1)nnxxx利用利用212(1).2121nnnnxxIInn及分部积分得及分部积分得利用这个递推式我们可以得到利用这个递推式我们可以得到120(2 )!(1) d.(21)!nnxxn一、积分的计算一、积分的计算例

5、例5. 求求d,2sinnnxInx的递推公式的递推公式.解：解：利用利用221sincosxx一、积分的计算一、积分的计算,2cos dsin.sinnnnxxIIx第二项分部积分后可得第二项分部积分后可得212cos.1(1)sinnnnnxIInnx同理可得同理可得21d2sin.cos1(1)cosnnnnxnxJJxnnx例例6. 求求20cossind ,1nnIxnx x n解：解：一、积分的计算一、积分的计算111.22nIn120coscos sindnnIxxnx x1201cossin(1)sin(1) d2nxnxnxx121011()coscosd(cos )22nn

6、nIIxnxx的递推公式的递推公式.练习题：练习题：sind ,2nnIxx x n一、积分的计算一、积分的计算的递推公式的递推公式.1.求求1d ,1()nmnIx nxc2.求求的递推公式，的递推公式，其中其中,m c均为不为零的实数，且均为不为零的实数，且(1)1.m n3. 第一换元法（凑微分法）第一换元法（凑微分法）第一换元法的实质是复合函数微分法则的逆用第一换元法的实质是复合函数微分法则的逆用( )( ( )( )g xfxx可用于第一换元法的被积函数的特征：可用于第一换元法的被积函数的特征：一、积分的计算一、积分的计算注：有些被积函数本身不具有上述特征，需要通过变形注：有些被积函

7、数本身不具有上述特征，需要通过变形才会呈现上面的特征。才会呈现上面的特征。例例7. 222ln(1)d1xxxx注：注：一、积分的计算一、积分的计算221ddln(1)1xxxx例例8. 2arcsin(1)d2xxxx注：注：21ddarcsin(1)2xxxx 例例9. 222(12) ed23exxxxx注：注：一、积分的计算一、积分的计算222(12)e dd( e )xxxxx例例10. 3222(31)e dxxx xxx注：注：22()e (31)exxxxxx练习题练习题 1.一、积分的计算一、积分的计算2. arctand(1)xxxx；223d1(1)xxxx；3.arcs

8、in2edxxxx；5. 3d1xxx；4.2211(secln) d11xxxx；6.22d1(1)xxxx；例例11. 1lndxxxxxx注：注：一、积分的计算一、积分的计算(1+ln )ddxxxxxx例例12. 2sincossindcos (1cose)xxxxxx注：注：sin2sind(cos e)(cossin ) edxxxxxx练习题：练习题：1d(1e )xxxxx一、积分的计算一、积分的计算1. 2.2ln2dln(1ln)xxxxxx3.21lnd(ln )xxxx241d1xxx一、积分的计算一、积分的计算例例13. 解：解：222422211111ddd111(

9、)2xxxxxxxxxxx221111d()arctan122()2xxCxxxx（第六届全国大学生数学竞赛决赛试题）（第六届全国大学生数学竞赛决赛试题）241d .1xxx一、积分的计算一、积分的计算练习题：计算练习题：计算进一步，进一步，224441111ddd 1211xxxxxxxx222444111ddd 1211xxxxxxxxx324232d .1xxxxx练习题：计算练习题：计算4. 分部积分法分部积分法分部积分公式：分部积分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )du x v xxu x v xu x v xx一、积分的计算一、积分的计算注：分部积分法的关键在于注：

10、分部积分法的关键在于u的选择。的选择。通常，反三角函数和对数函数往往作为通常，反三角函数和对数函数往往作为u的首选，的首选，其次就是幂函数。其次就是幂函数。22lnd(1)xxxx一、积分的计算一、积分的计算例例14. 注：注：222ln1d() ln d(1)2(1)xxxx xxx 322arccosd(1)xxx例例15. 注：注：32221dd1(1)xxxx2arctanln(1)dxxxx一、积分的计算一、积分的计算例例16. 注：先求注：先求2ln(1)dxxx，（第五届全国大学生数学竞赛预赛试题）（第五届全国大学生数学竞赛预赛试题）然后分部积分。然后分部积分。练习题：练习题：e

11、 sin d ;xxx x1. 2. 32arccosd .1xxxx11(1) edxxxxx一、积分的计算一、积分的计算例例17. 注：注：111211(1) eded(1) edxxxxxxxxxxxxx=（第三届全国大学生数学竞赛决赛试题）（第三届全国大学生数学竞赛决赛试题）对后一项分部积分，于是对后一项分部积分，于是11111(1) ededeedxxxxxxxxxxxxxx=1e.xxxC=一、积分的计算一、积分的计算练习题：练习题： 2cossind(cos )xxxxxx1. 2. ln()()d()()x ax bxaxbxxa xb5. 关于定积分计算关于定积分计算公式公式

12、1( )d()dbbaaf xxf abxx一、积分的计算一、积分的计算1( )d ( )()d2bbaaf xxf xf abxx公式公式2例例18.40ln(1tan )dxx401ln(1tan )ln(1tan()d24xxx一、积分的计算一、积分的计算例例19.( )d( )()baf xxf xf abx1( )()=d.()2( )2baf xf abxbaxf abxf x类似地，类似地，20(sin )1 d.(sin )(cos )2 24fxxfxfx例例20.求求121(1) ( )d .xf xx设函数设函数( )f x在在, 上连续，上连续， 且对于任意的且对于任意

13、的x，有有()( )( )f xyf xf y，一、积分的计算一、积分的计算练习题练习题36sindsincosxxxx1.2.201 sind2sincosxxxx3.42ln(9)dln(9)ln(3)xxxx一、积分的计算一、积分的计算2( )d ( )()da bbaaf xxf xf abxx公式公式3特别地，特别地，0( )d ( )()daaaf xxf xfxx2 ( )()dba bf xf abxx例例21.244sind1exxx2244sinsin+d1e1exxxxx2401sind84x x一、积分的计算一、积分的计算例例22. 计算定积分计算定积分2sinarct

14、aned .1cosxxxIxx公式公式4.00(sin )d(sin )d2xfxxfxx（第五届全国大学生数学竞赛预赛试题）（第五届全国大学生数学竞赛预赛试题）注：利用公式注：利用公式3和公式和公式4.一、积分的计算一、积分的计算例例23. 计算定积分计算定积分2sinarctaned .1cosxxxIxx解：解：2sinarctaned1cosxxxIxx220sinarctanesinarctane+d .1cos1cosxxxxxxxxx20sind21cosxxxx220sind41cosxxx3.8一、积分的计算一、积分的计算例例24. 计算定积分计算定积分120ln(1)d

15、.1xIxx解一：解一：令令tanxt，40ln(1tan )d .Itt解二：解二：令令21,1xt 120ln2ln(1)d .1tItt二、含有积分的方程二、含有积分的方程例例1.设 解：令解：令已知方程两边同乘已知方程两边同乘，然后积分，然后积分， cos x 0cos dfxxfxx x，求 .fx，求出常数，求出常数 A.即可得到即可得到 .fx 0cos dAfxx x练习题：练习题：1. 设设 21200( )d( )dfxxxf xxf xx，求，求 .fx2. 设设 1216( )d2fxxfxx ，求，求 .fx二、含有积分的方程二、含有积分的方程3.设设 1203( )

16、( )d ,fxxg xf xx 104( )2( )d ,g xxf xg xx求求( )f x与与( ).g x例例2.设函数( )f x，提示：提示：可微且对任意 0 x 满足 130df txtxfx求 ( )f x的一般表达式。 作代换utx 301dxf uuxfxx， 则，即 40dxf uuxxfx，两边求导，得2( )4fxx所以，34( ).3f xxC二、含有积分的方程二、含有积分的方程例例1.设( )f x是(,) 内连续的奇函数， 且是以2T为周期的周期函数，则0( )( )dxF xf tt也是以2T为周期的周期函数.三、变上限积分三、变上限积分注：注：若( )f

17、x是以2T为周期的周期函数，则220( )d( )d( )d .aTTTaTf ttf ttf tt例例2. 设( )f x是(,) 内连续的以2T为周期的周期函数，则0( )( )dxF xf tt能表示成线性函数与以2T为周期的周期函数之和.三、变上限积分三、变上限积分注：设注：设0( )( )dxg xf ttkx，求，求k使得使得(2 )( )g xTg x例例3. 设函数2( )sindxxf xtt， 求( )f x的最大值与最小值.注：注：( )f x是以为周期的 ，故只需计算一个周期.当02x时，( )2 sin()4f xx；当2x时，( )22 sin()4f xx；所以，

18、( )f x的最大值和最小值分别为2，22.三、变上限积分三、变上限积分例例4设1ln( )d (0)1xtf xt xt，求1( )( ) .f xfx提示：提示：1lnln1( )( )ln1(1)xxf xfxxxxxx所以，211ln1( )( )dln.2xxf xfxxxx三、变上限积分三、变上限积分例例5. 设 f (x) 是( )( )d ,0.ttF xxu f uutxt t (,) 上的连续函数，且( )0.f x 函数（1）证明( )Fx是严格单调增加函数， 曲线( )yF x向上凹的；（2）证明当 f (x)是偶函数时，( )Fx是奇函数；（3）当 f (x)是偶函数

19、时，求函数 F(x) 的最小值点；（4）当 f (x)是偶函数时，把函数 F (x) 最小值作为t 的函数，使它等于2( )1f tt，试求函数 f (x).三、变上限积分三、变上限积分例例6. 设( )f x可导，且(0)0f，求10( )()dxnnnF xtf xtt，20( )lim.nxF xx提示：提示： 作变换nnuxt， 于是，01( )( )d .nxF xf uun用洛必达法则求极限20( )lim.nxF xx122100( )()1limlim(0).22nnnnxxF xxf xfxnxn三、变上限积分三、变上限积分例例7. 设( )f x提示提示 ： 注意到连续，1

20、0( )()dxf txt， 且0( )limxf xAx，求( )x， 并且讨论( )x在0 x 处的连续性.(0)0f，(0)0020( )d( )(0)(0)lim02xxf uuxAxx.当0 x 时，02( )( )d( )xxf xf uuxx可以求得0lim( )(0).2xAx( )x在0 x 处连续.三、变上限积分三、变上限积分例例8. 设( )f x连续，(0)0f000()( )dlim.()dxxxxt f ttIxf xtt求极限解解 令uxt，00()d( )dxxf xttf uu利用洛必达法则，000( )dlim.( )( )dxxxf ttIxf xf uu

21、注：此时不能用洛必达法则！注：此时不能用洛必达法则！三、变上限积分三、变上限积分例例9. 设函数( )yy x21edy xuxu由方程确定，试写出( )y x的二阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.注：注：求出(0),(0),(0).yyy三、变上限积分三、变上限积分例例10.设函数( )f x与其反函数都可微 ， g x求函数( )f x，使其满足关系式( )11( )d(1).3fxg ttxx注：注：两边对 x 求导，注意到( ).g f xx三、变上限积分三、变上限积分例例1.( )f xxT，则 2d2dd .bbTbaTafxxfxxfxx四、定积分的证明题四、定积分的证明题1. 定积

22、分等式的证明定积分等式的证明（1）换元法）换元法若若关于关于对称，且对称，且aTb注：右端注：右端 2ddd .bbTbaTTfxxfxxfxx因此，只要证明因此，只要证明 2ddbTbTTfxxfxx 即可即可例例2.2224400e edeed .xtxxxtttt四、定积分的证明题四、定积分的证明题证明：证明：注：实际上是证明注：实际上是证明从证明式子上看，令从证明式子上看，令2221().4xttxu解得解得2xut或或222400eded .xtxxxt ttt.2xut做变换做变换,2xut可得结果可得结果.例例3.00 ( ) () d ()d .aaxfxfaxxafaxx四、

23、定积分的证明题四、定积分的证明题证明：证明：注：做变换注：做变换.uax练习题：练习题：44112ln2d()dln 2(+).22xxxxfxfxxxx四、定积分的证明题四、定积分的证明题1. 设设是连续函数，证明：是连续函数，证明：( )f x2.设设( )fx连续，连续，0( )( )(2)d ,xF xf t fatt证明：证明：2(2 )2( )( )(0)(2 ).FaF afaffa例例3.四、定积分的证明题四、定积分的证明题设设在在内可导，内可导，(,) 为为(0)0,( ),ff ab的反函数，证明：的反函数，证明：( )f x( )g x注：注：( ).xf t对第二个积分

24、做变换对第二个积分做变换( )f x00( )d( )d.abf xxg xxab( )( ( ).g f xf g xx练习题：练习题：四、定积分的证明题四、定积分的证明题1. 若函数若函数在在上严格单调且连续，其反函数上严格单调且连续，其反函数 , a b为为证明：证明：( )f x( )xg y，( ),xg y且且( ),( ),f af b( )d( )d .baf xxbag yy(0)0,f2. 若函数若函数为为上严格单调增加的可导函数，上严格单调增加的可导函数，0,)( )f x它的反函数为它的反函数为证明：证明：00( )d( )d, ( ,0).abf xxg yyaba

25、b（2）分部积分法）分部积分法110011( )d(0)(1)(1)( )d .22f xxffxx fxx四、定积分的证明题四、定积分的证明题例例3. 设设在在0,1上有二阶连续导数，证明：上有二阶连续导数，证明：( )f x当被积函数中出现当被积函数中出现( )f x的导数或易由题设条件求出的导数或易由题设条件求出( )fx的命题，一般可考虑用分部积分法的命题，一般可考虑用分部积分法.注：对等式右边的最后一项用分部积分。注：对等式右边的最后一项用分部积分。练习题：练习题：000() ( )d( )d d .xxuxu f uuf ttx 四、定积分的证明题四、定积分的证明题1. 设设在积分

26、区间上连续，证明：在积分区间上连续，证明：( )f x注：对等式右边用分部积分。注：对等式右边用分部积分。定积分第一中值定理：定积分第一中值定理：( ) ( )d( )( )d .bbaaf x g xufg xx四、定积分的证明题四、定积分的证明题若若在在a,b上连续，上连续，( )f x不变号，则在不变号，则在a,b上至少存在一点上至少存在一点( )g x在在a,b上可积且上可积且，使得，使得注：注：( )1g x ，就是课本上的积分中值定理，就是课本上的积分中值定理.例例5.( ) ( )d( )( )d( )( )d .bbaaf x g xug af ttg bf tt四、定积分的证

27、明题四、定积分的证明题若若在在a,b上连续，上连续，( )f x的导数且的导数且( )g x在在a,b上有连续上有连续 , a b，证明存在，证明存在注：注：然后分部积分，并利用定积分第一中值定理然后分部积分，并利用定积分第一中值定理.( )0g x，使得，使得( ) ( )d( )d( )d .bbxaaaf x g xug xf tt四、定积分的证明题四、定积分的证明题（3）构造辅助函数法）构造辅助函数法p 将要证的定积分改成变上限（或变下限）积分，将要证的定积分改成变上限（或变下限）积分，移项使得等式一边为零，则另一边即为辅助函数移项使得等式一边为零，则另一边即为辅助函数.p 利用介值定

28、理或微分中值定理证明利用介值定理或微分中值定理证明.例例6.设 f (x) 在0, 1可导，当01x时，有0(1)( )ff x，且( )( ).fxf x证明存在惟一的点(0,1)，使得0( )( )dff tt提示：提示：作辅助函数0( )( )( )dxF xf xf tt，利用零点定理证明。 由( )F x的单调性证明唯一性。四、定积分的证明题四、定积分的证明题例例7.设 f (x) 在a, b上连续，( )d( )d0bbaaf xxxf xx，证明：在(a, b)内至少存在两个不同的点, ，使得( )( )0.ff证明：证明：作辅助函数( )( )d .xaF xf tt显然( )

29、( )0.F aF b注意到( )( ).Fxf x因此，只需证明存在( , )ca b，使得( )0F c . 然后利用罗尔定理，可证明结论.四、定积分的证明题四、定积分的证明题例例8. 设函数 fx在闭区间 0,1上连续， 在开区间 0,1内可导， 且 21120(1)2e( )dxff xx，求证： 在开区间 0,1内至少存在一点 ， 使得 ( )2( ).ff提示：提示：利用积分中值定理，存在10,2，使得2120(1)2e( )d( ).xf xx 作辅助函数2( )e( ) ,xxf x最后，利用罗尔定理证明结论.四、定积分的证明题四、定积分的证明题四、定积分的证明题四、定积分的证

30、明题（4）泰勒公式法）泰勒公式法 当被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时，常用当被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时，常用泰勒公式法，然后利用介值定理等方法再作适当处理。泰勒公式法，然后利用介值定理等方法再作适当处理。例例9.设 f (x)在a, a (a 0)上连续，且具有二阶连续导数，f (0) = 0.（1）写出 f (x) 的带Lagrange余项的一阶Maclaurin公式；（2）证明在a, a上至少存在一点，使得3( )3( )d .aaa ff xx四、定积分的证明题四、定积分的证明题提示：提示：（1）对任意, ,xa a 211( )(0)(),2f xfxfx1位于 0 和

31、x 之间.（2）两边积分， 可得33( )daamf xxMa其中m，M分别是( )fx, a a在上的最小值和最大值.利用介值定理可以得到结论.四、定积分的证明题四、定积分的证明题例例9.( )yf x提示：提示：记( )0fx设函数二阶可导，且，又( )xt为任意一个连续函数，证明不等式：0011( )d )( ( )d .aafttfttaa01( )dactta，利用泰勒公式四、定积分的证明题四、定积分的证明题2. 定积分不等式的证明定积分不等式的证明21( ( )( )( )( ( )( )( ( )2ftf cfctcftc( )( )( ( )f cfctc，然后两边积分.例例1

32、0.( )f x设( )0 ()fxmaxb，证明:2sin( )d.baf xxm证明：证明：( ),tf x四、定积分的证明题四、定积分的证明题（第五届全国大学生数学竞赛预赛试题）作变换sin( )dsin( )dbBaAf xxttt则( ),xt012sin d.t tmm例例11.( )yf x设函数在0,1上有连续的导数，且0( )1fx，(0)0f， 证明不等式112300( )d )( )d .f uufuu证明：证明： 构造辅助函数2300( )( )d )( )d .xxF xf uufuu四、定积分的证明题四、定积分的证明题例例11.设函数 fx在0,1上非负可导， 且 2( )( ).f xfxx 证明存在惟一的(0,1)，使得1( )( )d .ff xx提示：提示：辅助函数1( )( )dtF ttf xx，利用罗尔定理证明.由2( )( )f xfxx 证明( )0Ft，从而证明惟一性.四、定积分的证明题四、定积分的证明题例例12.设 f (x) 在a, b上连续，证明 22dd .bbaafxxbafxx注：注：柯西不等式： 222ddd.bbbaaafx g xxfxxgxx提示提示:辅助函数 22ddxxaaF xf ttxaftt四、定积分的证明题四、定积分