线性代数--ch-2-2逆矩阵ppt课件

1、 上节讨论了矩阵的加、减、乘运算现在要问，矩阵有上节讨论了矩阵的加、减、乘运算现在要问，矩阵有无无“除除”的运算的运算？ 对对于于数数a，只只要要0a，则则必必存存在在它它的的倒倒数数a1，且且111aaaa此此时时任任一一数数b除除以以a可可以以表表示示为为ab1 相相仿仿地地，要要谈谈及及方方阵阵的的“除除”，就就必必须须解解决决“对对于于方方阵阵A，是是否否存存在在方方阵阵B，使使ABBAI成成立立？” 如设如设0001A，则对任意二阶方阵，则对任意二阶方阵B，都不能，都不能使使ABBAI 分析分析 设设22211211bbbbB， 222122211211001000bbbbbbAB

2、1000 221222211211001000bbbbbbBA 1000 而而对对于于矩矩阵阵12diag(,)na aaA，当当0ia（ni, 2 , 1）时时，取取11112diag(,)naaaB， 就就可可满满足足ABBAI 定义定义 1 对于方阵对于方阵A，若存在同阶方阵，若存在同阶方阵B，使，使 ABBAI， (2.7) 注注意意 首首先先，由由矩矩阵阵的的乘乘法法规规则则，只只有有方方阵阵才才满满足足 (2.7) 事事实实上上，假假设设12,B B是是两两个个适适合合等等式式(2.7)的的矩矩阵阵，则则 其次，对于可逆矩阵其次，对于可逆矩阵A，适合等式，适合等式(2.7)的矩阵的

3、矩阵B是惟一是惟一的的 则则称称A为为可可逆逆矩矩阵阵（也也称称非非奇奇异异矩矩阵阵）， 否则称否则称A为为 不可逆矩阵（也称奇异矩阵）不可逆矩阵（也称奇异矩阵） 11121222()()BB IB ABB A BIBB 定定义义 2 如如果果矩矩阵阵B适适合合等等式式(2.7)，则则称称B为为A的的逆逆矩矩阵阵，记记为为1A 则则 111121naaaA 例例 设设 0ia（ni, 2 , 1）， 12Anaaa， 定义定义 3 设设 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，ijA是是A中元中元素素ija的代数余子式，的代数余子式， 矩矩阵阵 1121112222*12nn

4、nnnnAAAAAAAAAA 称称为为A的的伴伴随随矩矩阵阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA *A nAAA11211 nAAA22221 nnnnAAA21 命命题题 设设A为为n阶阶方方阵阵，则则 *AAA AA I (2.8) 证明证明定定理理 n阶阶方方阵阵A为为可可逆逆矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是0A，且且当当A可可逆逆时时， 1*1AAA (2.9) 证明证明注意注意 若若A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则11AA 例例 1 判判断断下下列列方方阵阵是是否否可可逆逆，若若可可逆逆，求求其其逆

5、逆矩矩阵阵 123221343A， 015422113 B 解解 因因20A，0B，故故A可可逆逆，B不不可可逆逆 *264365222 A， *113235322111 AAA 例例 2 设设A为为3阶方阵，且阶方阵，且12A，求，求1*3AA 解解 由由12A，得得*11111,22.AA AAAA 故故1*111332 AAAA 112 A 3112 A 41281. *AAA AA I (2.8) *A AAn 证证 当当0A 时时，由由(2.8)及及方方阵阵行行列列式式的的性性质质，结结论论显显然然成成立立 例例 3 设设A为为n阶阶方方阵阵，证证明明1*AAn 当当0A 时时， 1

6、212222000nnnnnaaaaaaA， 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 如如果果12111,naaa不不全全为为零零，不不妨妨设设011a， 则则由行列式性质由行列式性质 7 与性质与性质 8，有，有01221111niniiAaAaAa，ni, 2, 1 从而从而 1121111 112111222211 12222*111211 121A nnnnnnnnnnnnAAAa AAAAAAa AAAaAAAa AAA 如如果果12111,naaa都都为为零零，则则*A至至少少有有一一行行元元素素全全为为零零，结结论论也也显显然然成成立立 nnnnnnnnnnn

7、nnnAAAaAaAaAAAaAaAaAAAaAaAaa2122111122221222112111211121211111111 00001222212111nnnnnAAAAAAa 证毕证毕 考考虑虑n元元线线性性方方程程组组 .,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 若记若记 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，12nxxxX，12nbbbB， 则则该该方方程程组组可可写写为为矩矩阵阵形形式式 AXB AXB， 当当A可逆，即可逆，即0A时，时， 说说明明： 将将上上式式展展开开即即是是克克拉拉默默法

8、法则则 两两端端同同时时左左乘乘1A，得得 其中其中A为为n阶方阵阶方阵 1*1XA BA BA 例例 4 解线性方程组解线性方程组 . 2343, 122, 232321321321xxxxxxxxx 解解 此此方方程程组组可可写写成成矩矩阵阵形形式式 212343122321321xxx 由例由例 1 知，知，123221343A可逆，且可逆，且113235322111A 故故方方程程组组的的解解为为 112313221353112221111XAB xxx， 即即1, 1, 1321xxx 性 质性 质 1 设设A、B为为n阶 方 阵 ， 若阶 方 阵 ， 若ABI或或BAI，则，则A可

9、逆，且可逆，且1BA 证证 由由232AAIO，得，得(3 )2A AII， 即即 1(3 )2AAII 由性质由性质 1 知，知，A可逆，且可逆，且11(3 )2AAI 证明证明例例 5 设设n阶阶方方阵阵A满满足足232AAIO，求求证证A可可逆逆，并并求求其其逆逆矩矩阵阵 性性质质 2 若若A为为可可逆逆矩矩阵阵，则则1A，Ak（k为为任任意意非非零零常常数数）以以及及AT也也都都可可逆逆，且且 11()AA； 111()AAkk； 11()()AATT 证明证明性性质质 3 若若A、B是是同同阶阶可可逆逆矩矩阵阵，则则AB也也可可逆逆，且且111()ABBA 证明证明 定定义义 4 设

10、设有有n阶阶实实方方阵阵A，若若AAA AITT，则则称称A为为n阶阶正正交交矩矩阵阵 例例 1001A， 122333212333221333B 都是正交矩阵都是正交矩阵 (1) 若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则1A ； (2) 若若A为为正正交交矩矩阵阵，则则AT也也是是正正交交矩矩阵阵； (3) 若若A、B为同阶正交矩阵，则为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；也是正交矩阵； (4) 设设A为为n阶阶实实方方阵阵，若若AAIT或或A AIT，则则A为为正正交交矩矩阵阵，且且1AAT 证证(1)(1)： 因因A为正交矩阵，故为正交矩阵，故AAIT， 由方阵行列式性质有由方阵行列式性质有A

11、AIT， 即即21A，所以，所以1A 证证(3)(3)： 因因A、B为为同同阶阶正正交交矩矩阵阵，即即 AAA AITT， BBB BITT， 故故 ()()ABABABB AAIAAAITTTTT， () ()ABABB A ABB IBB BITTTTT 由由定定义义AB为为正正交交矩矩阵阵 本节完本节完 证证 由由行行列列式式性性质质 8， 000000AAA IA 命命题题 设设A为为n阶阶方方阵阵，则则 *AAA AA I (2.8) 证证毕毕 11121112112122212222*1212AAnnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAaaaAAA同理，同理，*A AA I

12、 证证 必必要要性性 设设A为为可可逆逆矩矩阵阵， 则存在则存在1A，使，使1AAI 由由方方阵阵行行列列式式的的性性质质有有11A AI，故故0A 充充分分性性因因0A ，由由(2.8)可可知知 *AAAAIAA *AAA AA I (2.8) 所以所以A为可逆矩阵，且为可逆矩阵，且1*1AAA 证毕证毕 定定理理 n阶阶方方阵阵A为为可可逆逆矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是0A，且且当当A可可逆逆时时， 1*1AAA (2.9) 性质性质 1 设设A、B为为n阶方阵，若阶方阵，若ABI或或 BAI，则，则A可逆，且可逆，且1BA 同同理理可可证证，若若BAI，则则A可可逆逆，且且1BA 证证毕毕 若若ABI，则则1A BI， 0A ， 故故1A存存在在 在在ABI两两端端左左乘乘1A，得得1BA 证证 因因A可可逆逆，故故1A存存在在 由由性性质质 1 只只需需分分别别验验证证 以以上上三三式式是是显显然然成成立立的的 证证 1AAI； 11()()kAAIk； 1()()AAITT 证毕证毕 性性质质 2 若若A为为可可逆逆矩矩阵阵，则则1A，Ak（k为为任任意意非