线性代数_第五章_相似矩阵及二次型——第1节ppt课件

1、第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积一、内积的定义及性质说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义 4 nn ., :, 2 yxyxyxT 为为内积可用矩阵记号表示内积可用矩阵记号表示向量向量都是列都是列如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx ;,

2、)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx时时有有且且当当定义定义2 2 非非负负性性. 1齐齐次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx 二、向量的长度及性质维维向向量量间间的的夹夹角角单单位位向向量量及及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的的夹夹角角与与求求向向量量 例例解解 cos2262318 .4 .,11

3、为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 时时当当. 的的与与维维向向量量称称为为yxn夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念. ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交., 0,与与任任何何向向量量都都正正交交则则若若由由定定义义知知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同同理理可可得得.,21线线性性无无关关故故r 使使设有设有r ,21证明证明0221

4、1 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线线性性无无关关. ., , , ,则则非非零零向向量量, ,是是一一组组两两两两正正交交的的, , , ,维维向向量量若若定定理理rrn 2121 1例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 向量空间的正交基向量空间的正交基., 212121的正交基的正交基向量空间向量空间是是则称则称组组是两两正交的非零向量是两两正交的非零向量且且的一个基的一个基是向量空间是向量

5、空间若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx则有则有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 规范正交基规范正交基. ,)( , 3212121 的一个规范正交基的一个规范正交基是是则称则称向量向量两两正交且都是单位两两正交且都是单位如果如果的一个基的一个基是向量空间是向量空间维向量维向量设设定义定义VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100

6、,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一个个规规范范正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R（1正交化，取正交化，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaar 求规范正交基的方法求规范正交基的方法称

7、称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设,21212121rrrreeeeeeVV ., 21范正交化范正交化这个基规这个基规把把r 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等价价与与且且两两两两正正交交那那么么rrraabbbb（2单位化，取单位化，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一个个规规范范正正交交基基为为那那么么Veeer222321113133,bbbabbbbab

8、ab 例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先正交化，先正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2

9、, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再单位化，再单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量规范正交化量规范正交化特正交化过程把这组向特正交化过程把这组向试用施密试用施密设设 aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab2223121

10、33321, 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eeea1a3a2几何解释几何解释b1;11ab ,12121111221221bbbabbbbacbac 即即上上的的投投影影向向量量在在为为;222cab c2b2,2133平面上的投影向量平面上的投影向量的的在平行于在平行于为为bbacc3,2223121332313323121332121bbbabbbacccccbbacbb 即即之和之和及及向量向量上的投影上的投影分别在分别在等于等于故故

11、由于由于c31c32.333cab b3例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a证明证明EAAT E 定义定义4 4 . , 1正正交交矩矩阵阵为为称称则则即即满满足足阶阶方方阵阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 nnnnn

12、nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明,为正交变换为正交变换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则则有有例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,12131211

13、21312111 .9794949491989498912 定义定义5 5 假设假设 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换Pxy P解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912例例.2121000021212121212121212121是正交矩阵是正交矩阵验证矩阵验证矩阵 P解解., 是是正正交交矩矩阵阵所所以以且且两两两两正正交交向向量量的的每每个个列列向向量量都都是是单单位位PP1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化 ;11TAA ;2EAAT ;3单单位位向向量量的的列列向向量量是是两两两两正正交交的的A .4单单位位向向量量的的行行向向量量是是两两两两正正交交的的A五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵