第1节 复积分概念及简单性质

1、 Department of Mathematics第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分（9 9学时）学时）1.复积分的概念及其简单性质2.柯西积分定理3.柯西积分公式及其推论4.解析函数与调和函数的关系复复 习习: :101,( , ),(1,2, ),max,( ,)(1,2, ).lim( ,)( ,),( , ),iiiii niiiniiiTiiiLf x yLLTLnLin LsTTsLinfsJJTf x yL 设 为平面上可求长的曲线为定义在 上的函数 对曲线 作分割它把 分成 个可求长的小曲线段的弧长记为分割 的细度为在 上任取一点若极限且 的值与分割 与点的取法无关

2、则称此极限为在第一型曲线的积分上记( , ).Lf x y ds作 第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的定义第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的定义1011111( , )( , ):,(1,2, ),max,( ,),(1,2, ),( ,)iiniiiiiiiiiiiiii niiiiP x yQ x yL ABLTLnMMinMA MBMMsTTsTM x yxxxyyyinMM 设函数与定义在平面有向可求长度曲线上对 的任一分割它把 分成 个小曲线段其中记各小曲线段的弧长为分割 的细度为又设 的分点在每个小曲线段上任取一点0011,lim( ,)lim( ,),( ,),( , ),(

3、 , ),( , )( , )nniiiiiiTTiiiiLPxQyTP x y Q x YLP x y dxQ x y dy 若极限存在 且与分割 与点的取法无关 则称此极限为沿有向曲线第二型曲线作积分上的记 Department of Mathematics第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 1 1、复变函数积分的的定义、复变函数积分的的定义 2 2、积分的计算问题、积分的计算问题3 3、基本性质、基本性质一、复变函数积分的定义一、复变函数积分的定义1.1.有向曲线有向曲线 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲曲线

4、线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正的两个可能方向中的一个作为正方向方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C 理解为带有方向理解为带有方向的曲线的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C(周线周线)的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP

5、与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: : 在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 除特殊声明外除特殊声明外, 正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.2. 2. 定义定义3.13.1( ),( ) , ( ) , azbzf zCCab以为起点为终点沿 有定义 顺着从 到 的方向取分点oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 (1,2, ),kkkzzkn在每个弧段上任意取一点设有向曲线C( ),()zz tt 0

6、11,kknazzzzzb把曲线C分成若干弧段,作和式1 (),nnkkkSfz1 (),nnkkkSfzoxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 , , ,( )(),( )(),( ):kkknCzzzSJf zCabJf zCabf z dz其中当分点无限增多 而这些弧段长度的最大值趋于零时 如果和数 的极限存在且等于则称沿从 到可积 而称 为沿从 到的积分 并记号表示( )d .CJf zz.C称为积分路径( )d,Cf zzC表示沿 正方向积分( )dCf zzC表示沿 负方向积分.关于定义的说明关于定义的说明:(1) , ( ),.baJJf z dzJa bC如果

7、存在 一般不能把 写成因为的值不仅和有关 而且和积分路径 有关(2) ( ),( ).f zCf zC沿 可积的必要条件是沿 有界1(3)( )dlim().nkkCnkf zzfz3. 定理定理3.1( )( , )( , ),( ) ,f zu x yiv x yCf zC若函数沿曲线 连续则沿可积 且证明证明 ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 ( )dCCCf zzudxvdyivdxudy , ),(),()( 内内处处处处连连续续在在

8、如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 设设 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因因为为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 1()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),( 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,所以所以1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ),( , 下下式式两两端

9、端极极限限存存在在的的取取法法如如何何点点的的分分法法任任何何不不论论对对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i : ddd )(相相乘乘后后求求积积分分得得到到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即复函数积分可表为两个实积分即复函数积分可表为两个实积分.二二. 复变函数积分的计算问题复变

10、函数积分的计算问题( ),f zC沿 连续 则设有向曲线C( )( )( ),()zz tx tiy tt ( ) ( ) ( )d(3.2)Cf z dzf z t z tt( )Re ( ) ( )dIm ( ) ( )d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt复 积 分 的 变 量 代 换 公 式或证明证明( )dCf zzddddCCu xv yiv xu y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )du x ty t x tv x ty t y tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty

11、tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf注注用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法参数方程法.例例1 解解0101 d , , (),) .( nCz Czrzzn求为以为中心为半径的正向重周为整数要例题圆zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 innerizxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(1

12、10 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所所以以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .,d20 inneri Cnzzzd)(110三、复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf12 (4) , , nCC CC如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线 则1

13、2( )( )d( )d( )d .nCCCCf z dzf zzf zzf zz , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML设曲线 的长度为函数在上连续且满足那末估值不等式估值不等式22(5)( )d( )d( ) d ,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧长微分(6)积分估值积分估值定理定理3.2证明证明 , 1两两点点之之间间的的距距离离与与是是因因为为 kkkzzz , 度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 两端取极限得两端取极限得.d)(

14、d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因为为 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所所以以证毕证毕证明证明 2, (01) Cztit 的参数方程为而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例例221 d2, 2 CzzCii试证积分路径为连接 到点的直线段.21 ,Cz因为在上连续 且1212ti2141tdCs22xyo2i2i例例3 , . izCe dzCzRRR试证积分路径为圆周的上半圆周从 到证明证明 :Re , (0) iC zizCe dzizCedzsin0ReRdsin202ReRd2sin,(

15、0)2由于2202ReRd(1)ReizCe dz220|Re xy0R .R.例例4 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy

16、),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于于是是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.例例5 解解, 12zdzzz计算积分其中 为圆环及