二次函数考点研究及复习建议

1、参加内江市初中*亠亠2013年毕业班研二次函数考点研究及复习建议讨会交流专题发言材料内江市东兴区永东乡中心学校数学组唐永忠尊敬的各位领导、老师们：大家好！我来自于内江市东兴区永东乡中心学校，上学期期末统考成绩平均分107.19分，排名全区第一。非常感谢市教科所组织初三毕业班研讨会给我这样一个展示交流的平台，今天我讲解的题目为：二次函数考点研究及复习建议，敬请各位同仁批评指正：二次函数是初中数学函数中重要的基础概念之一，也是初中数学函数中最重要的基本概念之一。学习函数所涉及到的数学思想和方法，对学习好数学起着重要的作用。课本以二次函数这个重要的函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法，并通过这

2、个二次函数有关知识的复习与提高，来沟通初中与高中数学函数内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学函数的平稳过渡，这是完全必要的。个人认为，二次函数在学习的不足之处主要有以下几个方面：（1）函数的抽象能力不强。只知道二次函数的一般式，而不知道其他两种形式，尤其是顶点式，不习惯于借助对称轴的位置进行研究。课程标准没有要求用配方法而是会根据公式确定图像的顶点，且顶点公式不要求记忆和推导。不会通过配方法求二次函数的顶点坐标和最值。（2）解方程的能力差。二次函数在解题过程中往往可转化为一元二次方程三元一次方程组（又是选学内容）、二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等内容在初中课程标准中

3、不要求。（3）配方法在初中学习中落实不够。配方法只是在解一元二次方程推导求根公式和用配方法求二次函数的顶点坐标公式时出现过。专门用配方法解决问题的练习不多。（4）课本中将待定系数法安排在选学内容。用待定系数法求二次函数的解析式的问题中，已知图象上的三点，其中一点必在y轴上。近几年关于二次函数考点具体情况分析年份2010年中考2011年中考2012年中考2012年会考2013年适应性练习（一）题型附加题：附加题：基础题：附加题：基础题：基础题：解答题解答题选择题解答题选择题解答题题号第7题第28题第12题第28题第6题第20题分值12分12分3分12分3分10分总分130分（折合）130分（折合

4、）130分（折合）100分130分（折合）比例9.23%9.23%10.85%3%5.38%下面就六个方面提出自己的个人意见，仅供参考：一、熟悉考纲要求1. 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式y=ax2+bx+c,并体会二次函数的意义2. 会用描点法(三点坐标)画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质.3. 会根据公式(配方法或公式法)将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，确定图象的顶点(h,k)，开口方向(a>0向上，a<0向下)和对称轴(x=h)(公式不要求记忆和推导,但要根据学生基础进行演示),并能解决简单的实际问题.4会利用二次函数

5、的图象求一元二次方程的近似解(如：x2-1=x).5知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。二、应考策略：1、深刻理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数图象。2、能根据二次函数图象特征概括二次函数的性质。3、理解二次函数与一元二次方程的关系，会用图象解一元二次方程。二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象与x轴的交点横坐标就是y=0时自变量x的取值，即是一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的根.4、(1)会用待定系数法求解析式(三种形式)A、已知图象上二点，选一般式：y=ax2+bx+c(aH0)；B、已知顶点或对称轴，选顶点式：y=a(xh)2+k(aH0)；C、已知图象与

6、x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，选交点式：y=a(xx/xx2)(aH0).(2) 用配方法或公式法求抛物线顶点坐标。y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a(3) 抛物线的顶点常见的几种变动方式：A、开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反；B、两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；C、两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变.5、重视二次函数与实际问题能构建函数模型解决反映时代气息的实际问题。6、对于二次函数与其它知识的综合应多加练习。三、近三年内江市二次函数考题分析1、2010年中考附加题第7题(12分

7、)如图，抛物线y=mx2-2mx-3m(m>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.(1) 请求出抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示)，A、B两点的坐标；(2) 经探究可知，ABCM与厶ABC的面积比不变，试求出这个比值；(3) 是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明考点】考查了数型相结合理解二次函数的图象与性质，三角形的性质，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状以及解一元二次方程，根与系数之间的关系，用待定系数法求二次函数解析式。2、2011年中考第28题（12分）如图抛物线y=1/3x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（01）且对

8、称抽x=11）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3.若存在，求出点D的坐标；若不存在.说明理由（使用图1）；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）.【考点】此题考查了用待定系数法求二次函数解析式，数型相结合的思想结合四边形面积的特点求动点坐标，解一元二次方程，利用平行四边形的性质、识别求点坐标，运用了三角形全等等问题，同时着重考查了学生动手操作能力，分析能力。3、（1）2012年中考选择题第12题（3分）如图5，正的边长为3cm,动点P从点A

9、出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为（）-5【解析】：如图5，当点P沿的方向运动时，直观观察CP的长度变化知：变小、变大、变小，从而图像应该先下降，后上升，下降，从而淘汰A,B；对比C,D，注意到为二次函数，图像应为曲线，故选择C【考点】：本题考查函数的应用，对问题的宏观认识，以及将实际问题转化为数学问题的能力。2）2012年中考解答题第28题（12分）如图14,已知点A（1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且ZACB=90o抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M.（1）求抛物线y=ax2+bx

10、+c的解析式；（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N,使得Sbcn=4?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在,请说明理由。【考点】：本题考查了三角形相似的判定和性质，用待定系数法求二次函数的解析式（交点式），数形结合理解二次函数的图象、性质，以及直线与圆位置关系判定，利用距离讨论是否存在问题等，此题综合能力强，对学生要求高。4、2012年会考选择题第6题（3分）函数y=（x+2）2-4的顶点坐标是（）A（2，4）B（2，-4）C（-2，4）D（-2，-4）5、2013年适应性练习（一）解答题第20题（10分）已知二次函数y=l/2x2+x

11、-3/2的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的右边），与y轴交于点C,求：（1）在右边画出这个二次函数的大致图象（2）求出点A、B、C的坐标。（3）若抛物线的顶点为D,求四边形ABCD的面积。【考点】：本题考查了描点法画二次函数图象,二次函数与一元二次方程之间的转化问题,以及数形结合理解四边形的面积（将四边形转化为三角形）等问题。四、常规做法（一）根据图象得信息,确定a、b、c之间关系1、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（1/2,1），下列结论：acVO；a+b=O；4acb2=4a；a+b+cV0其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【目的】使学

12、生掌握字母a、b、c取值一一a的符号决定抛物线的开口方向；c的符号决定图象与y轴的交点的纵坐标；a、b的符号共同决定对称轴，当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧，当b=0时，对称轴是y轴.（二）根据待定系数法确定二次函数的解析式2、已知二次函数y=x2+bx+c图象如图所示，它与x轴交点坐标为（一1,0），与y轴的交点坐标为（0,3）.（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数的值y为正数时，自变量x二的取值范围.【目的】使学生掌握求二次函数解析式的常规做法一一待定系数法：系数中有字母的个数，来寻找点坐标的个数。解：（1）用待定系

13、数法得：b=2，c=3解之得.*y一x2+2x+3.（2）令y0,得一x2+2x+30，解之得X-1,：x23.当y>0时，x的取值范围是一1vxv3.（三）二次函数与一元二次方程、不等式的关系3、（1）已知一元二次方程x2+px+q0（p24q±0）的两根为x1，x2，求证：x1+x2p,XX2q；（2）已知抛物线yx2+px+q与x轴交于A,B两点，且过点（一1,一1），设线段AB的长为d,当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.【目的】使学生掌握二次函数与一元二次方程间转化：二次函数图象与x轴交点，二次函数考点研究及复习建议定交点坐标(xn,0)，即转化为一元二次方程

14、的形式。(1)证明:°°a=l,b=p,c=q,p24q±0,X+x2=b/a=p,XX2=c/a=q.(2)解：把(一1,一1)代入y=x2+px+q,得pq=2，即q=p2.设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A,B两点的坐标分别为(X,O),(x2,0).d=.d2=(x1x2)2=(x1+x2)24X.x2=p24q=p24p+8=(p2)2+4.当p=2时，d2的最小值是4.(四) 二次函数的应用4、某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价

15、上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.(1) 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2) 每件商品的售价定为多少时,每个月可获得最大利润？最大利润是多少？【目的】将实际生活问题转化为函数问题,应用二次函数的性质求解。解：根据题意，得y=(6050+x)(20010x),整理，得y=10x2+100x+2OOO(Ovx<12)；(2)由(1),得y=10x2+100x+2000=10(x5)2+2250.故当x=5时，最大月利润y为2250元.(五) 二次函数与圆相关5、已知y=x+6交x,y轴于A,C两点，经过A,D两点的抛物线y=ax2+bx(a<0)顶点

16、B在直线AC上(1)求A,C两点坐标A(6,0),C(0,6)2)求出该抛物线的函数关系式(y=-1/3x2-2x)(3) 以B点为圆心，以AB为半径作©B,将©B沿x轴翻折得到©D,试判断直线AC与©D的位置关系，并说明理由(相切)(4)若E为©B优弧ACD上一动点，连结AE、0E,问在抛物线上是否存在一点M,使ZMOA:ZAEO=2：3,若存在试求出点M的坐标，若不存在，试说明理由。【目的】使学生明白二次函数知识的考查,可以与其它知识相结合。此题设计的知识有：直线与坐标轴的交点坐标,待定法求二次函数解析式,确定点与直线的位置关系,直线与圆的

17、位置关系到,圆的相关性质,锐角三角函数,二次函数与方程的关系,确定点坐标等问题,这类问题综合性强,应用知识较多、思维能力强,解决的关键要进行分类讨论(六) 探究创新题6.如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)25的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1.(1)求P点坐标及a的值；如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,y图求C3的解析式；(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴

18、相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.【目的】使学生进一步明确二次函数实用于各种题型，考查的面广。此题设计有二次函数的图象与性质,解析式,图形的对称性,三角形的全等的性质，勾股定理逆定理，此题要求图形分析能力极高，发散思维极强【解析】(1)由抛物线C1：y=a(x+2)25得顶点P的坐标为(-2，-5)，点B(1，0)在抛物线C1上,0=a(1+2)25,解得，a=-5/9.如图连结PM,作PH丄x轴于H,作MG丄x轴于G,点P、M关于点B成中心对称，PM过点B,且PB=MB,PBH竺MBG,.MG=PH=5,BG=BH=3，顶点M的坐标为(4,5).抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，抛物线C3的解析式为y=5/9(x4)2+5.：抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到,顶点N、P关于点Q成中心对称,由(2)得点N的纵坐标为5.设点N坐标为(m,5),作PH丄x轴于H,作NG丄x轴于G,作PK丄NG于K.五、个人预测二次函数这一章在初中数学中占有重要地位,同时也是高中数学学习的基础,做为初高中衔接的内容,二次函数在中考命题中一直是“重头戏”,根据对近几年中考试卷分析,预计2013年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题,选