《高等数学》练习题库及答案

1、高等数学练习测试题库及答案一.选择题11. 函数y=是()X2+1D无界函数A. 偶函数B.奇函数C单调函数2. 设f(sin)=cosx+1,则f(x)%()2A2x22B22x2C1+X2D1X2第5页共18页3.下列数列为单调递增数列的有（）A.0.9,0.99,0.999,0.9999B.上一,n为奇数D.C.f(n),其中f(n)=1+n,n为偶数、1-n4数列有界是数列收敛的（）A充分条件C.充要条件5下列命题正确的是（）A. 发散数列必无界C.两发散数列之和必发散B. 必要条件D既非充分也非必要B. 两无界数列之和必无界D.两收敛数列之和必收敛6.limSin(X2-1)=()X

2、T1X1A.1B.0C.2D.1/27设lim(1+kX)x二e6贝卩k=()A.1B.2C.6D.1/68.当xT1时,下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（)A.X2-1B.X3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在x=x0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<l时，y二Jl-才（)A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(X)=(l-x)cotx要使f(x)在点：x=0连续，则应补充定义f(0)为()A、B、eC、eD、e-1£12、下列有跳跃间断点x=0

3、的函数为()A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是()00A、f(x)+g(x)在点x必不连续0B、f(x)Xg(x)在点x必不连续须有0C、复合函数fg(x)在点X必不连续0D、gG)在点x必不连续0li：m14、设f(x)=1在区间(-°°,+°)上连续，且Jgf(x)=0，则a,b满足()1畀A、a>0,b>0B、a>0,bV0C、aV0,b>0D、aV0,bV015、若函数f(x)在点x连续，则下列复合函数在x也连续的有()00

4、A、血幻B、存C、tanf(x)D、ff(x)16、函数f(x)二tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、0,jiB、(0,门)C、-j/4,j/4D、(-j/4,j/4)17、在闭区间a,b上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b)V0是在a,b上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=X2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=X2在x=1处的切线斜率为()A、

5、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logx相切，则()aA、eB、1/eC、exD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y二x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=()A、±1B、±n/2C、±(n/2+1)D、±(n/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f'(x)=a,则f'(-x)=()00A、aB、-aC、|a|D、0pH-25、设y=ln"l

6、匕，则y'|x=0二()A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y'|x=0二()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)二ln(1+X),y=ff(x),则y'|x=0=()A、0B、1/In2C、1D、In228、已矢口y=sinx，则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已矢口y=xInx，则y(10)=()A、-1/x9B、1/x9C、8.1/x9D、-8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，贝U()A、f'、(0)不存在B、f''(0)=0C、f'

7、;'(0)二gD、f''(0)=Ji31、设函数y=yf(x)在0,j内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|0=()x=0A、-1B、0C、j/2D、232、圆x2cos0,y=2sin0上相应于0=/4处的切线斜率，K=()A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x连续是函数f(x)在乂可微的()00A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x可导是函数f(x)在x可微的()A、充分条件0B、必要条件0C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是()A、0B、dxC、dxD、不存在36、极限l

8、im(-)的未定式类型是()a1-xInxA、0/0型B、g/g型C、ggD、g型37、极限lim(沁)的未定式类型是()xxt0A、0。型B、0/0型C、1型D、g0型.1x2sin38、极限limx二()xtOsinxA、0B、1C、2D、不存在39、xEx时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x©x的()00A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数f(x)在0,+g内可导，且f'(x)>0,xf(0)V0则f(x)在0,+g内有()A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线y=X2-4x+3的顶

9、点处的曲率为()42、434445、46、4748(49、50、5152、53、A、2B、1/2C、1D、0抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()A、0B、1/2C、1D、2若函数f(x)在(a,b)内存在原函数，则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对若jf(x)dx=2ex/2+C二()A、2ex/2B、4ex/2C、ex/2+CD、ex/2xexdx=(D)A、xe-x-e-x+CB、-xe-x+e-x+CC、xe-x+e-x+CD、-xe-x-e-x+C设P(X)为多项式，为自然数，则JP(x)(x-1)-ndx()A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初

10、等函数D、一定是有理函数f0|3x+l|dx二()-1C、-1/2D、1A、5/6B、1/2两椭圆曲线X2/4+y2=l及(x-l)2/9+y2/4=l之间所围的平面图形面积等于A、nB、2nC、4nD、6n曲线y=X2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、nB、6门/15C、16/15D、32/15点(1，0，-1)与(0，-1，1)之间的距离为()A、B、2C、31/2D、21/2设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是()A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=2平面x=a截曲面X2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()A、椭圆B、双曲

11、线C、抛物线D、两相交直线方程=0所表示的图形为()A、原点(0,0，0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=l所确定的曲面是（）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面二、填空题1、求极限lim(x2+2x+5)/(x2+1)=()XT12、求极限lim(x3-3x+1)/(x-4)+1=()xtO3、求极限limx-2/(x+2)1/2二()xT24、求极限limx/(x+1)x=()xfg5、求极限lim(1-x)1/x=()xf

12、O=（）巾=“/66、已口y二sinxcosx，求y、lx=“/6=()7、已知P二血sin血+cos血/2，求dp/d血8、已知f(x)=3/5x+x2/5，求f(0)=()9、设直线y二x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）10、函数y=x2-2x+3的极值是y（1）=（）11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（）12、函数y=X2-2x-1的最小值为（）13、函数y=2x-5x2的最大值为（）14、函数f（x）=X2e-x在-1,1上的最小值为（）15、点(0，1)是曲线y二ax3+bx2+c的拐点，则有b二()c=()16、/xx1/2dx二()17、若F、(x)=f(x)

13、，则/dF(x)=()18、若/f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)=()19、d/dx/barctantdt=()a第7页共18页20、2122232425262728293031323334353637383940414243、已知函数他）=卜0（八皿，x丰0在点x=0连续，则a=（）Ia,x=0f2(X2+l/x4)dx=()0f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f31/2adx/(a2+x2)=()0f1dx/(4-x2)1/2=()f”/3"sin(n/3+x)dx=()f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1

14、+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4满足不等式Ix-2IV1的X所在区间为()设f(x)=x+1，则f(n+10)=()函数Y=lsinxl的周期是()y=sinx,y=cosx直线x=0,x=n/2所围成的面积是（）y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）心形线r=a（1+cos9）的全长为（）三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）求过

15、点（3,0,-1）,且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是（）求平行于xoz面且经过（2,-5,3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。2、求函数y=x2-54/x.（xV0=的最小值。3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。4、相对数函数y=lnx上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。5、求y=x2与直线y=

16、x及y=2x所围图形的面积。6、求y=ex,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。8、求过点（4,-1,3）且平行于直线（x-3）/2=y=（z-1）/5的直线方程。9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。10、求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=/2所围图形的面积。11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。12、求曲线y2=4（x-1）与y2=4（2-x）所围图形的面积。13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0,3）和（3,0）得的切线所围成的图形的面积。9/414、

17、求对数螺线r=ea0及射线0=-,°=门所围成的图形的面积。15、求位于曲线y=ex下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。18、求曲线y=achx/a,x=0,y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。19、求曲线x2+（y-5）2=16绕x轴所产生旋转体的体积。20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。22、摆线x=a（t-sint）,y=a（1-cost）的一拱，y

18、=0所围图形绕y=2a（a>0）旋转所得旋转体体积。23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1WxW3的一段弧的长度。25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长。27、求对数螺线r=ea°自G=0到0=的一段弧长。28、求曲线r0=1自0=3/4至04/3的一段弧长。29、求心形线r=a(1+cos0)的全长。30、求点M(4,-3,5)与原点的距离。31、在yoz平面上，求与三已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(

19、0,5,1)等距离的点。32、设U=a-b+2c,V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。33、一动点与两定点(2，3，1)和(4，5，6)等距离。求这动点的轨迹方程。34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2W9在xy平面上的投影方程。39、求过点

20、(3，0，-1)，且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。40、求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。41、求过(1，1，1)(-2，-2，2)和(1，-1，2)三点的平面方程。42、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=2,1,1和b=1,-1,0，试求这平面方程。43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。44、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。45、求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。46、求过点(0，2，4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平

21、行的直线方程。47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/l的平面方程。48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。49、求点P(3,-1,2)到直线x+2y-z+1=0的距离。50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。四、证明题1证明不等式：2呼乔亦匕32证明不等式2丐总T中"n2)第12页共18页3设f(x)，g(x)区间1_a,ab>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(_x)=A(A为常数)。证明：faf(x)g(x)dx=aJag(x)dx_a0a

22、._2cosnxdx2n04.设n为正整数，证明f2cosnxsinnxdx=丄f05.设申(t)是正值连续函数，f(x)=fa|x-巾(t)dt，-a<x<a(a>0),则曲线_ay=f(x)在La,a上是凹的。6.证明：f1xdx1+x27设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则fa+Tf(x)dx=fTf(x)dxa08若f(x)是连续函数,00f(t)dtdu=fx(x_u)f(u)du09设f(x),g(x)在la,b上连续，证明至少存在一个gw(a,b)使得f(g)fbg(x)dx=g(g)fgf(x)dxga10.设f(x)在la,b

23、上连续，证明：(Jbf(x)dxY<(b-a)Jbf2(x)dxaa11.设f(x)在fa,b上可导，且f'(x)<M,f(a)=0证明：Jbf(x)dx<M-(b-a)2a2高等数学练习测试题库参考答案选择题110ABABDCCDAA1120ABABBCAADC2130DCDAABCCCA3140BABDDCCAAD4150ABCDDCACCA5155DDCCA二.填空题1.22.3/43.04.e-15.e-16.(31/2+1)/2兀7.(1+)428.9/25兀兀9.-1或1_N2210.211.-1，012.-213.1/514.015.0，116.C+2x

24、3/2/517.F(x)C18.2xe2x(1+x)19.020.021.21/822.271/623. 兀/3a24. 兀/625.026. 2(31/2-1)27. 兀/228. 2/329. 4/330. 21/231. 032. 3兀/233. (1,3)34. 1435. 兀36. 7/637. 32/338. 8a39. 等腰直角40. 4x+4y+10z-63=041. 3x-7y+5z-4=042. (1,-1,3)43. y+5=044. x+3y=045. 9x-2y-2=0三解答题1. 当X=l/5时，有最大值1/52. X=-3时，函数有最小值273. R=1/24.在

25、点（塵,-昨）处曲率半径有最小值3X31/2/2225. 7/66. e+1/e-27. x-3y-2z=08. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/59. (-5/3，2/3，2/3)第19页共18页10.2(21/2-1)11.32/312.4x21/2/313.9/4a214才(a2-e少)15. e/216. 8a2/317. 3-n/1018.a2a+(e2一e-2)219. 160n220. 2n2a2b16、,；621兀322.7n2a323.1+1/2In3/2242f3-4/325.926.一1W2*y2+匕Iny72+y222p：1+a227.ea屮a28.ln3/

26、2+5/1229. 8a30. 5x21/231. (0，1，-2)32. 5a-11b+7c33. 4x+4y+10z-63=034. y2+z2=5x35. x+y2+z2=936. x轴：4x2-9(y2+z2)=36y轴37. x2+y2(1-x)2=9z=038. x2+y2+(1-x)2W9z=039. 3x-7y+5z-4=04(x2+z2)-9y2=3640. 2x+9y-6z-121=041. x-3y-2z=042. x+y-3z-4=043.1344.21545.46.xy-2z-4-2=_3r47.8x-9y-22z-59=048.(-5/3,2/3,2/3)49.3迈

27、r17x+31y-37z-117二04x-y+z-1二0四证明题81.证明不等式：2<11V1+x4dx<一-13证明：令f(x)二J1+x4,xe-1,1则f'(x)=4x32©1+x42x3IV1+x4令f，(x)=0,得x=0f(-1)=f(1)=込,f(0)=1则1<f(x)<、辽上式两边对x在一1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有f(x)=1+x4<1；1+2x2+x4=(1+x2)2=1+x2,于是J1dx<1+x4dx<J1(1+x2)dx,故-1-1-182<J11+x4dx&l

28、t;-132.证明不等式丄J2.丄Z(n2)201xn611兀2=06证明：显然当xe0迈时，心)有i111f-Ldxf丄dx.1W-nWJ2,WJ2,=arcsinx2lI1p,01xn0yl1x2即,22k汕2)f(x)+f(x)=A(A为常数)。证明：Jaf(x)g(x)dx=AJag(x)dx03.设f(x),g(x)区间1a,aa>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件a证明：Jaf(x)g(x)dx=J0f(x)g(x)dx+Jaf(x)g(x)dxaa0J0f(x)g(x)dx令x=uJ0f(u)g(u)du=Jaf(x)g(x)dx一aa0.Jaf(x)g(x)

29、dx=Jaf(x)g(x)dx+Jaf(x)g(x)dx=Jaf(x)+f(x)g(x)dx=aJag(x)dxa04设n为正整数，证明J2cos0xsinnxdx=丄J2na.2cosnxdx0证明：令t=2x,有又，J：cos0xsinnxdx=2n+1J；(sin2x)0d2x=Jasinntdt2n+101仃a2sinntdt+02n+1Jasinntdt,a2丿J71sinntdtt=au2J0sinn(兀u)du二J2sinnudu,2J2cosnxsinnxdx=02n+11aa(J2sinntdt+J2sinntdt)=00J2sinntdt=Jasinnxdx2n02na又，

30、J71sin2兀f0肚xdxx=一tJ0cosntdt=J2cosnxdx2兀o=2因此，2cos01住xsinnxdx=J2cosnxdx2n05.设申(t)是正值连续函数,f(x)=JJ|x一tQ(t)dt，a<x<a(a>0),贝U曲线y=f(x)在1a,a上是凹的。+JaxtQ(t)dt+JJ一J证明：f(x)=Jx(x一t)Q(t)dt一a=xJxQ(t)dt一J一jf'(x)=JxQ(t)dt一JJQ(t)dt=JxQ(t)dt+JxQ(t)dtJx一JJtq(t)dt一xJJQ(t)dtxf(x)=申(x)+申(x)=2申(x)>0故，曲线y=f(x)在Ia,a上是凹的。6.证明：J】仝=J；出x1+x211+x2证明：J】仝令=J】斗(一丄du)=J；Q=J；Qx1+x2丄丄1u211+u211+x2x1十u27.设f(x)是定义在全数轴上，且以