2009年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

1、2009年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）（2009江西）若复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或1【考点】复数的基本概念.【专题】计算题.【分析】复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数，复数的实部为0,虚部不等于0,求解即可.【解答】解：由复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数，-1=0,可得x=-1k-170故选A.【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题.Ln（z+1）2. （5分）（

2、2009江西）函数的定义域为（）寸-:-3k+4A.（-4，-1）B.（-4，1）C.（-1，1）D.（-1，1【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法.【专题】计算题.灶In（k+I）【分析】由题意知;，一、，解得-1<xV1,由此能求出函数尸-张+4>0寸-葢+4的定义域.【解答】解：由题意知，函数的定义域为寸-:s'-3k+4-x2-3k+4>0，解得-1VxV1,故选C.【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法.3. （5分）（2009江西）已知全集U=AUB中有m个元素，（CuA）U（CUB）中有n个元素.若AnB非空，则AnB的元

3、素个数为（）A.mnB.m+nC.n-mD.m-n【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】数形结合.【分析】要求AnB的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析(如解法一)，也可以利用德摩根定理解决(如解法二).【解答】解法一：£CUA)U(CUB)中有n个元素，如图所示阴影部分，又vU=AUB中有m个元素，故AnB中有m-n个元素.解法二：v(CUA)U(CUB)=CU(AnB)有n个元素，又:全集U=AUB中有m个元素，由card(A)+card(CuA)=card(U)得，card(AnB)+card(Cu(AnB)=card(U)得，card(AnB

4、)=m-n，故选D.21【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质,运算律外，还应熟练掌握：(CuA)U(CUB)=CU(AnB)(CuA)n(CUB)=CU(AUB)card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AnB)等.4.(5分)(2009江西)若函数f葢)二1+.-'gtanxcosk,号，则f(x)的最大值是(A.1B.2C.T3+1D.13+2【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】先对函数f(x)=(1+tanx)cosx进行化简，再根据x的范围求最大值.【解答】解:f(x)=(l+.：3tanx)cosx=cos

5、x+l3sinx=2sin(v0<x,.2Lwx+2663f(x)G1，2故选B.【点评】本题主要考查三角函数求最值问题.一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围.5.(5分)(2009江西)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为(A.4B.-C.2D.-42【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率.【专题】计算题.【分析】欲求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率，即求f(1)，先求出f(x)，然后根据曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线

6、方程为y=2x+1求出gz(1),从而得到fz(x)的解析式，即可求出所求.【解答】解：f(x)=g'(x)+2x.Ty=g（x）在点（1,g（1）处的切线方程为y=2x+l,g'（1）=2,二f（1）=g'（1）+2x1=2+2=4,y=f（x）在点（1,f（1）处切线斜率为4.故选：A.【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题.226.（5分）（2009江西）过椭吧7+±=1（a>b>0）的左焦点巧作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若/巧PF2=60

7、6;,则椭圆的离心率为（）C.-D.丄23並B亞2°3【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.A.【分析】把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据/F1PF2=60°推断出£|=帀整理得'3e2+2e-I3=0，进而求得椭圆的离心率e.22【解答】解：由题意知点P的坐标为（-C,）或（-C,-）,aaT乙f1PF2=60°,a即2ac=l3b2=；（a2-c2）.，：3e2+2e-'：'3=0,e=或e=-，：'3（舍去）.3故选B.【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力

8、.7.（5分）（2009江西）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为（）Aa=2,b=-1,n=5Ba=-2,b=-1,n=6Ca=-1,b=2,n=6Da=1,b=2,n=5【考点】二项式系数的性质.【分析】据（1+ax+by）n展开式中不含x的项是n个（1+ax+by）都不出ax即（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是（1+by）n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得【解答】解：不含x的项的系数的绝对值为（1+lbl）243=35，不含y的项的系数

9、的绝对值为（1+lal）n=32=25,n=5,，将各选项的参数取值代入验证知，a=1,b=2,n=5U+|a|=2故选D.【点评】利用分步乘法原理得展开式中各项的情况.8.（5分）（2009江西）数列an的通项an=n2（cos2门？-sin）,其前n项和为Sn,则S30为（）A.470B.490C.495D.510【考点】数列的求和.【专题】计算题.【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3,可化简S30,求出值即可.【解答】解：由于cos号牛-sin2门以3为周期，12+22+52232+22故S30=（-+32）+（-+62）+.+（-+302）=10k=l

10、-+（3k）习=書C.9X10X11=-25=4702故选A【点评】考查学生会求数列的和，掌握三角函数周期的计算方法.9. （5分）（2009江西）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射）直线AD与OB所成的角是45°D.二面角D-OB-A为45°【考点】空间点、线、面的位置.【专题】空间位置关系与距离.分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案.【解答】解：对于A,如图ABCD为正四面体，ABC为等边三角形，又:OA、OB、OC两两垂直，.OA丄面OBC,OA丄BC.过O作底面ABC的垂线，垂足为N,连接AN交BC于M

11、,由三垂线定理可知BC丄AM,M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,N为底面ABC中心，O-ABC是正三棱锥，故A正确.对于B,将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行.则答案B不正确.对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即/DAE=45°,故C正确.对于D,二面角D-OB-A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，故/FOA为二面角D-OB-A的平面角，显然ZFOA=45°，故D正确.综上，故选：B.C【点评】本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、二面角的定义和求法,结合图形分析答案，增强直观性，属

12、于中档题.10. （5分）（2009江西）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（）A.31313181D.5051【考点】等可能事件的概率.【专题】计算题.【分析】3种不同的卡片分别编号1、2、3,购买该食品5袋，能获奖的情况有两种（5张中有3张相同的）12311；12322；12333；（5张中有2张相同的）12312；12313；12323,且两事件互斥，根据概率的加法公式可求【解答】解析：获奖可能情况分两类：12311；12322；12333；12312；12313；12323.®P

13、1=，P2=-33P=P1+P2=AjA|-A355081故选D【点评】本题主要考查了古典概率的计算，在试验中，若事件的发生不只一种情况，且两事件不可能同时发生，求解概率时，利用互斥事件的概率求解还要熟练应用排列、组合的知识.11.（5分）（2009江西）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径",封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率"，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为t1，t2，t3，t4,则下列关系中正确的为（）A. t1>t4>t3>t2B.t3>t4>t1>t2C.t4>t2

14、>t3>t1D.t3>t2>t4>t1【考点】三角形的面积公式.【专题】计算题；压轴题.【分析】由题意设出边长，求出四个图形的直径，四个图形的周长，计算它们的比值，即可比较大小._【解答】解：由题意，设图形的边长或直径为a,则第一个图的直径为I迈a,后三个图形的直径都是a，第一个封闭区域边界曲线的长度为4a,所以t1=2，迈,第二个封闭区域边界曲线的长度涎x2,所以t2=n；忆:d.第三个封闭区域边界曲线的长度为a+2=3+2x2#a=3a，所以t3=3,第四个封闭区域边界曲线的长度为2立a,所以t4=2主，3所以T4>T2>T3>T1故选C.【

15、点评】本题是中档题，考查具体图形的周长的求法，考查计算能力，考查发现问题解决问题的能力.12.（5分）（2009江西）设函数的定义域为D,若所有点（s,f（t）（s,tGD）构成一个正方形区域，则a的值为（）A.-2B.-4C.-8D.不能确定【考点】二次函数的性质.【专题】常规题型；计算题；压轴题.【分析】此题考查的是二次函数的性质问题.在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数.至于方程的给出要充分利用好"构成一个正方形区域”的条件.【解答】解：由题意可知：所有点（s，f（t）（s，tGD）构成一个正方形区域，则对于函数f（x）,其定义域的x的长度和值域的长度

16、是相等的，f（X）的定义域为ax2+bx+c>0的解集，设X、X2是方程ax2+bx+c=0的根，且XVx2则定义域的长度为IX-X2l=：（屮二）_4厂而f（x）的值域为0,T且曰，一二，二a=-4故选B.【点评本题考查的是二次函数的性质问题.在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、解方程的思想以及运算的能力.值得同学们体会反思.二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上13.（4分）（2009江西）已知向量土（3,1）,b=（1,3）,c=（k,7）,若（：-匚）IIb,则k=5.【考点】平行向量与共线向量.【专题】平面向量及应用.【分析】由题意可得且-（

17、3-k,-6）,由（且-匚）IIb，可得（3-k,-6）=入（1,3）,解出k值.【解答】解：由题意可得且-（3-k,-6）,(且-c)1b，(3-k,-6)=X(1,3),3-k=X,-6=3入，解得k=5,故答案为5.【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（3-k,-6）=入（1,3），是解题的关键.14.（4分）（2009江西）正三棱柱ABC-ABCi内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为n,则正三棱柱的体积为8.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题.【分析】由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为n我们易

18、求出/AOB的大小，进而求出棱柱底面棱长，进而求出棱柱的高和底面面积,代入棱柱体积公式，即可求出答案.【解答】解：正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球又:A,B两点的球面距离为n故/AOB=90°,则O点到平面ABC又：OAB是等腰直角三角形，.AB=2'.：2,则厶ABC正三棱柱高h=，又ABC的面积S=23正三棱柱ABC-人屮&的体积V=Sh=8.故答案为：8卫8【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积公式，球内接多面体，其中根据已知条件计算出棱柱的底面面积和高是解答本题的关键.15.（4分）（2009江西）若不等式g-s2<k（x+2）-'辽

19、的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=一【考点】其他不等式的解法.【专题】压轴题.【分析】此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破.【解答】解：设1='：9-工2,y2=k（X+2）-I戈,则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示y1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半部分，y2图象为过定点A（-2,-T2）的直线.据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合.观察图形，结合题意知b=3,又b-a=2，所以a=1,即直线与半圆交点N的横坐标为1,代入yi=.：9-家=2：2,所以N(1,212)由直线过定点A知直线斜率k

20、=2.故答案为:.兀jb/L/,A,/0理期/$【点评】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系.基本思路是：构造函数f(x)(或f(x)与g(x),作出f(x)(或f(x)与g(x)的图象，找出满足题意的曲线(部分)，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点.16.(4分)(2009江西)设直线系M：xcose+(y-2)sin0=1(0<0<2n),对于下列四个命题：A. M中所有直线均经过一个定点B. 存在定点P不在M中的任一条直线上C. 对于任意整数n(n>3),存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D. M中的

21、直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是BC(写出所有真命题的代号).【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程.【专题】简易逻辑.【分析】验证发现，直线系M：xcos0+(y-2)sin0=1(0<0<2n)表示圆x2+(y-2)2=1的切线的集合，A. M中所有直线均经过一个定点(0,2)是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B. 存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标.C. 对于任意整数n(n>3),存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D. M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是

22、同一个圆的外切正三角形可判断出.【解答】解：因为点(0,2)到直线系M：XCOS0+(y-2)sin0=1(0<0<2n)中每条直线的距离d=1,直线系M：xcos0+(y-2)sin0=1(0<9<2n)表示圆x2+Vco£0+sin0(y-2)2=1的切线的集合，A. 由于直线系表示圆x2+(y-2)2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点(0,2)不可能，故A不正确；B. 存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M(0，2)即符合条件，故B正确；C. 由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(心3),存在正

23、n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D. 如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如ABB'型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如厶BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确.【点评】本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+(y-2)2=1的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性.本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径.三解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1

24、7.(12分)(2009江西)设函数f(x)一,(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若k>0,求不等式f(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.【考点】函数的单调性及单调区间；简单复合函数的导数；不等式.【分析(1)对函数f(x)进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间.(2) 将f(x)代入不等式即可求解.is【解答】解：(1)f(x)旦由f(x)=0,得x=l,因为当xVO时，f(x)V0；当OVxVl时，f(x)<0；当x>1时，f(x)>0；所以f(x)的单调增区间是：1,+伙)；单调减区间是：(-x,0),(0,

25、1k_1十kx-kg，”(k_1)(一kx+1)H(2)由f(x)+k(1-x)f(x)=>0,得：(x-1)(kx-1)<0,故：当0<k<1时，解集是:当k=1时，解集是：e；当k>1时，解集是：x<x<1.k【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题.当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减.18.（12分）（2009江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持"或“不支持"的概率都是*若某人获得两个“支持”，则给予10万元的

26、创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令E表示该公司的资助总额.（1）写出E的分布列；（2）求数学期望E&【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【专题】应用题.【分析（1）E的所有取值为0,5,10,15,20,25,30,然后根据相互独立事件的概率公式解之，得到分布列；（2）利用数学期望公式E=1xp1+2xP2+3XP3+nXPn直接解之即可-【解答】解：（1）E的所有取值为0,5,10,15,20,25,3011依此类推P22222264xc2><|x|x|x|x；P(E二15)64=10)2232卫

27、16；P所以其分布列为：-3；32'(1=30)二丄64051015202530s32数学期望E&15sinA+siriBcosA+cosB【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望以及分布列.同时考查了相互独立事件的概率以及计算能力，属于基础题.19.(12分)(2009江西)ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC二sin(B-A)=cosC.(1) 求A,C；_(2) 若Saabc=3+T3,求a,c.【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用.【专题】计算题.【分析(1)先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余

28、弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin(B-A)=cosC可求出答案.(2) 先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案.【解答】解：(1)因为tanC二cosA-1-cosB所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,所以sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C或C-A=n-(B-C)(不成立)即2C=A+B,C=60°,所以A+B=120°,又因为sin(B-A)=cosC=,所以B-A=30。或B-A=150°(舍),所以A=45°,C=60°

29、;.(2)由(1)知A=45°,C=60°.B=75°.sinB亠4根据正弦定理可得即：a=''sinAsinCy_2V322o1.12“Vi+Vi”S-acsinB=3+>22V34c2=12.°.c=23【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用.对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆.20.(12分)(2009江西)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N(1)求证：平面ABM丄

30、平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小;（3）求点N到平面ACM的距离.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【专题】空间向量及应用.【分析】法一：（1）要证平面ABM丄平面PCD,只需证明平面PCD内的直线PD,垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（2）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h,即可求直线PC与平面ABM所成的角；（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的g,设点P到平面ACM距离为h,再利用第二问的结论即可得到答案.法二：建立空间直角坐标系，（2）求出平面ACM的一个法向量；二（壯风

31、3;），结合CD然后求出（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的吕，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论.【解答】解：方法一：（1）图1依题设知，AC是所作球面的直径，则AM丄MC.又因为PA丄平面ABCD，贝yPA丄CD,又CD丄AD,所以CD丄平面PAD，贝CD丄AM,所以AM丄平面PCD,所以平面ABM丄平面PCD.（2）由（1）知,AM丄PD,又PA=AD,则M是PD的中点可得锻二?-:2,C=；M昭+C酹吨.再则，広设D到平面ACM的距离为h,由Vd_acm=Vm_acd即亦宙&设所求角为8,则吕二音0arcsin-pJp49(3)可求

32、得PC=6因为AN丄NC,由(7),得PN=(8)所以NC：PC=5：9(9).ritrC-:、故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的寻.又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为|h丄芬殳方法二：（1）同方法一；（2）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0）,C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量石二（兀y,z），r9-*由n_LAC,n_LAS可得:z=i,则2-lsD.设所求角为a，则Sin(I=|CD门._V&|CD|n|"3所以所求角的

33、大小为arcsin.-（3）由条件可得，AN丄NC.在RtAPAC中,PA2=PNPC,所以，则NC二FNC_i氏-g'所以所求距离等于点P到平面ACM距离的寻，设点P到平面ACM距离为h【点评】本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题.再用空间向量求线面角时，关键是求出平面的法向量以及直线的方向向量.2221.（12分）（2009江西）已知点P（x0,y0）为双曲线（b为正常数）上任8bb一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2.（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E

34、的方程；（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y10），直线QB，QD分别交y轴于M,N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.V辛X【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.【专题】综合题；压轴题.o3yn【分析（1）由已知得，则直线F2A的方程为：y=ix-由此能求出P的(x-3b),令x=0得P2(0，9y0)，设P(x，y)，y=n=5y轨迹E的方程.22(2)在中，令y=0得x2=2b2，设E一迈40),D(,2b,0),直2bz25bz线QB的方程为：沪（工+迈b）,直线QD的方程为:则M(0,V2bvi°，N°MN为直径的圆过两定点（-5b,0）,（5b,0）.【解答】