结构动力学课件5

1、1/86结构动力学结构动力学第第5 5章章动力反应数值分析方法动力反应数值分析方法2/86主要内容主要内容：q 数值算法中的基本问题数值算法中的基本问题q 分段解析法分段解析法q 中心差分法中心差分法q 一般时域逐步积分法的构造一般时域逐步积分法的构造q Newmark 法法q Wilson 法法q 时域逐步积分算法的新发展时域逐步积分算法的新发展q 结构非线性反应分析结构非线性反应分析3/865.1 数值算法中的基本问题数值算法中的基本问题4/865.1 数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法： 时域分析方法Duhamel积分法， 频域分析方法Fourier变换法。这两种方法

2、适用于处理线弹性结构的动力反应问题。当外荷载p(t)为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解，通过数值计算可以得到动力反应的数值解。这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性几何非线性，这时叠加原理将不再适用。此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。 5/865.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法Step-by-step methods结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法；（2）中心差分法；

3、（3）平均常加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark 法；（6）Wilson 法； 时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。 6/865.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel积分，Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时

4、间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。( ) ,( ) ,1, 2,iiiiuu tuu ti7/865.1 数值算法中的基本问题采用等时间步长离散时，ti=it，i=1, 2, 3,。体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满足。t离散时间步长离散时间步长8/865.1 数值算法中的基本问题 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：收 敛 性：当：当t0时，数值解是否收敛于精确解；时，数值解是否收敛于精确解；计算精度：截断误差与时间步长截断误差与时间步长t 的关系，若误差的关系，若误差 O(tn)，则称方法具有，则称方法具有n阶精度；阶精度；稳 定 性：随时间步数：随时间步数i的增

5、大，数值解是否变得无穷的增大，数值解是否变得无穷 大（远离精确解）；大（远离精确解）；计算效率：数值计算中所花费的计算时间的多少数值计算中所花费的计算时间的多少。一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度(例如2阶，满足工程要求)、良好的稳定性、较高的计算效率。在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，在实际中得不到应用和推广。 9/865.1 数值算法中的基本问题根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson法。显式方法：逐步积

6、分计算公式是解耦的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法(无阻尼时)。下面重点介绍两种常用的时域逐步积分法中心差分法和Newmark法，同时也介绍Wilson法，最后介绍非线性问题分析方法。10/865.3中心差分法中心差分法(Central Difference Method) 11/865.3 中心差分法 中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导(即速度和加速度)。如果采用等步长，ti=t，则i时刻速度和加速度的中心差分近似为：tuuuiii2112112tuuuuiiii iiiiiiipkutuuctuuum2211211)()()()(i

7、iiitptkutuctum )()()()(iiiiiiiitpptuutuutuu 11222222iiiimcmmcupkuuttttt12/865.3 中心差分法多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为：11222222iiiimcmmcupkuuttttt ( )( )( )( )iiiiiiiiuu tuu tuu tpp t 112111212iiiiiiiuuutuuuut 212211122112iiiiMCuttpKMuMCuttt13/865.3 中心差分法 单步法和多步法的概念单步法单步法：采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时，仅需已知前一时刻的运动。多步法多步法：需要

8、前两个或两个以上时刻的运动。中心差分法在计算ti+1时刻的运动ui+1时，需要已知ti和ti-1两个时刻的运动ui和ui-1，因此，中心差分法属于两步法；而分段解析法仅需要已知ti时刻的运动，因此为单步法。11222222iiiimcmmcupkuuttttt1111iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu14/865.3 中心差分法 时域逐步积分法计算中起步的概念用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。在初始时刻需要建立两个起步时刻（即i0, -1）的位移值，这即是逐步积分的起步问题

9、。 11222222iiiimcmmcupkuuttttt15/86中心差分方法计算中的起步处理方法初始条件为 ：)0(),0(00uuuu tuuu2110210102tuuuu 020012utu tuu )(10000kuucpmu 11222222iiiimcmmcupkuuttttt16/86 中心差分法计算步骤：(1). 基本数据准备和初始计算 (2). 计算等效刚度和中心差分计算公式中的系数 (3). 根据i及i以前时刻的运动，计算i+1时刻的运动 (4). 下一步计算用i+1代替i，重复(2)至(3)中的计算步骤。已知和00uu)(20002001kuucpmtu tuu111

10、1222iiiiiiiuuutuuuut2222,22mcmmckakbttttt11 /iiiiiippaubuupk11222222iiiimcmmcupkuuttttt17/865.3 中心差分法 中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式具有如下特点： 是收敛的； 具有2阶精度，即误差 O(t2) ； 是有条件稳定，稳定条件tTn/； 具有较高的计算效率。18/86中心差分法的数值稳定性 (tTn/)稳定性的含义：当满足稳定性条件时，计算值稳定性的含义：当满足稳定性条件时，计算值u为有限值；为有限值；当不满足稳定性条件时，随着当不满足稳定性条件时，随着t，u。 19/8

11、6中心差分法的数值稳定性证明设体系为无阻尼，并设外荷载p=0 (算法的稳定性与外荷载无关),则中心差逐步积分法的递推公式可以写成如下形式： 令i时刻位移为：代入运动方程：得到：从ui=Ai 可直观看出，为保证 i（即t）时，ui有界，要求|1。仅当24时，|=1，其余情况均有|1。则稳定性条件要求：niiituuu,)2(121iiAu01)2(22)4(2212222iitstsiistAeAAetiuuAetu)()()(11222222iiiimcmmcupkuuttttt20/86中心差分法的数值稳定性证明中心差分法的数值稳定性证明 稳定性表达式为: 虽然中心差分逐步积分法是有条件稳定

12、的，但由于其所具有计算效率高的优点，在很多情况下得到广泛的应用。例如，大坝在地震作用下的动力反应分析，核电站和人防结构在冲击荷载下的动力反应问题计算等等。nt2nnTt221/86为构造有阻尼体系动力分析的显式中心差分法， Clough给出了如下形式的逐步积分计算格式，并不加证明地给出其稳定性条件为：Clough格式的实际稳定性条件如右图所示 2111()()22()iiiiiiiiiituutupcukumuuuutnnTt2 222111121122iiiiMCupKMuMCuttttt22/86中心差分法的数值稳定性证明中心差分法的数值稳定性证明一般情况下，逐步积分格式的稳定性分析采用如

13、下方法，将逐步积分格式写成下式： 则稳定性条件为 = (A) 1， 称为传递矩阵A的谱半径，即传递矩阵的最大特征值 。目前对显式中心差分逐步积分法格式的研究取得了进展，已发展了几种有阻尼体系的差分格式，可以在近几年的文献中找到。但普遍存在的问题是稳定条件要比一般的中心差分法的稳定条件 tTn/ 更严格。 iiiiipBuuAuu1123/86一般时域逐步积分法的构造一般时域逐步积分法的构造 24/86一般时域逐步积分法的构造 从前面介绍的中心差分法给出的逐步积分公式可以发现，所谓的时域逐步积分方法就是构造出根据某一时刻及其以前时刻的运动，推算下一时刻运动的递推计算公式。具体情况可表述为，设体系

14、在ti及ti以前时刻的运动已知，求ti1时刻的运动。 （tiit）体系在ti1时刻的运动包括：位移、速度和加速度，需要有三个方程(条件)求这三个量。因此，除体系的运动方程外，还需补充两个方程（条件） 。)()()()(tptkutuctum 25/86一般时域逐步积分法的构造 两个补充方程可以通过对运动状态的假设得到。例如可以假设在ti和ti1时刻，即t时间段内，体系的加速度为常数a，则积分(不定积分)得到体系的速度和位移为：其中, 为由ti时刻起算的局部时间坐标, c1和c2为积分常数。1212( )1( )2uacuacc26/86一般时域逐步积分法的构造 积分常数c1和c2可由0时的初值

15、条件确定，最后得：当t，即tti1时刻，体系得运动状态为：1212( )1( )2uacuacc(0)|,(0)it tiiuuuuu2( )1( )2iiiuauuauu12112iiiiiua tuua tutu 27/86一般时域逐步积分法的构造 如果假设：ti 和ti1时间段内的常加速度a=(i+1+i)/2，则得到：再加上ti1时刻的运动方程：可以求得ti1时刻的位移、速度和加速度。12112iiiiiua tuua tutu 11211()2()4iiiiiiiiituuuutuuuutu 1111iiiimucukup28/86一般时域逐步积分法的构造 以上方法也称为平均加速度法

16、。 即假设加速度为ti和ti1时间段内的平均值：也可以假设加速度a为其它形式的变化规律，例如为线性变化：则采用同样的分析步骤可以得到线性加速度法的时域逐步积分公式。11()2iiauu1()iiiauuut29/86平均加速度法和线性加速度法的基本假设和补充公式 平均加速度法 线性加速度法30/865.4Newmark 法法31/865.4 Newmark 法 Newmark 同样将时间离散化，运动方程仅要求在离散的时间点上满足。假设在ti时刻的运动均已求得, 然后计算 ti+1时刻的运动。 与中心差分法不同的是，它不是用差分对ti时刻的运动方程展开，得到外推计算ui+1的公式，而是通过对加速

17、度的假设，以ti时刻的运动量为初始值，通过积分得到计算ti+1时刻的运动公式。 与平均加速度法和线性加速度法不同的是，它用不同的加速度假设条件给出速度和位移的计算公式。32/865.4 Newmark 法tauuii1atu tuuiii2121Newmark 法假设在时间段ti，ti+1内，加速度为一常量，记为a 。经过简单积分计算可以得到速度、位移与a之间的关系式：2( )1( )2iiiuauuauu33/865.4 Newmark 法10,)1 (1iiuua 2/10,2)21 (1iiuua tauuii1atu tuuiii212111)1 (iiiiu tu tuu 1221)

18、21(iiiiiututu tuu 分别代入速度和位移中34/865.4 Newmark 法tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum 11iipuk122111)21()1 (iiiiiiiiiututu tuuu tu tuu 35/865.4 Newmark 法tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(11112111iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 36/865.4 Newm

19、ark 法多自由度体系Newmark 法的逐步积分公式 111121111211112iiiiiiiiiiiiKupuuuututuuuuutt 2211111112122iiiiiiiiKKMCttppMuuutttCuuut 37/865.4 Newmark 法在Newmark 法中，控制参数 和 的取值影响着算法的精度和稳定性，可以证明，只有当 取1/2时，这个方法才具有二阶精度。因此一般均取： =1/2, 0 1/4Newmark 法的稳定性条件：当=1/2, =1/4时，t，即成为无条件稳定的。nTt212138/865.4 Newmark 法通过对Newmark 法中控制参数 取不

20、同的值也可以得到其它时域逐步积分方法。下表给出了 取不同值时Newmark 法所对应的逐步积分法。参数取值 对应的逐步积分法 稳定性条件 41,21 平均常加速度法 无条件稳定 61,21 线性加速度法 nnTTt551. 03 0,21 中心差分法 nTt1 39/865.4 Newmark 法在动力问题研究中，常采用=1/2， =1/4的所谓无条件稳定的Newmark法，实际上就是平均(常)加速度方法。Newmark法为单步法不需要格外处理计算的“起步”问题，属于自起步方法。 40/865.5Wilson 法法41/865.5 Wilson 法 Wilson 法是基于线性加速度法的基础之上

21、发展的。 42/865.5 Wilson 法 当参数 1.37时， Wilson 法是无条件稳定的。初略分析，采用了线性加速度假设比平均常加速度法更精确，而且算法是无条件稳定的，应是一种优秀的逐步积分法。在时域逐步积分法发展的早期，Wilson 法曾得到广泛的推捧和应用。但随着对数值算法特性研究的深入，发现Wilson 法存在一系列弊病，特别是无条件稳定的Wilson 法。对于一些强冲击问题，Wilson 法可能无法完成计算。 43/86 不同方法的振幅衰减AD(Amplitued decay)和周期延长PE(Period elongation) 44/86不同方法的计算精度(单自由度体系无阻

22、尼自由振动, t/Tn=0.1)45/86Newmark 法，特别是=1/4的无条件稳定格式得到广泛应用。中心差分法，虽然稳定性略差，但因其所具有的简单、高效的特点也得到一系列的应用。Wilson 法，由于过高的算法阻尼，在实际中的使用越来越少。对于一些特殊的问题，计算精度的要求有时严于或等于稳定性条件，此时，中心差分法将具有更大的优势。46/865.6结构非线性反应分析结构非线性反应分析47/865.6 结构非线性反应分析非线性： 几何非线性 材料非线性 (物理非线性)恢复力： 非线性位移和抗力关系ukfS0)(uffSS 48/865.6 结构非线性反应分析采用中心差分法求解非线性反应 当

23、采用中心差分法进行时域逐步积分计算时，无需对计算格式和软件做大的变化，仅是对计算抗力的公式进行改动，其余的与线性反应分析的相同。)(0uffukfssS12212222iiiiutctmutmkputctm1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm49/865.6 结构非线性反应分析采用中心差分法求解非线性反应 稳定性条件稳定性条件：在用中心差分逐步积分法计算时，由于结构一般都是软化结构，即随变形的增加而变软，刚度k降低，但质量m不变，则结构的自振周期Tn变长，计算的稳定性变好。1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm2nmTknnTt250/86

24、5.6 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 全量型逐步积分计算公式：11iipukcutuutmuututppctmtkkiiiiiiii)2(2) 1() 121(1112112 51/865.6 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 用Newmark法进行结构非线性动力计算，采用增量平衡方程较合适。分别给出ti和ti+1时刻运动方程：由ti+1减去ti时刻的运动方程得运动的增量平衡方程：1111iiiiiiiimucukupmucukupiiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, 52

25、/865.6 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量运动平衡方程：当时间步长t取得足够小，可以认为在titi+1区间内结构的本构关系是线性的，则：kis ti, ti+1点之间的割线刚度。 iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, isiiSukf)( 53/865.6 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量运动平衡方程：但由于ui+1未知，因此kis不能预先准确估计，这是可以采用切线刚度ki代替割线刚度kis iisiiipukucum iiiiipukucum 54/865.6

26、 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量运动平衡方程：是一个线性运动方程，系数m、c、ki和外荷载pi均为已知。增量形式的Newmark法逐步积分方程为： iiiiipukucum cutumuutppctmtkkpukiiiiiiiiiii)2(221112 55/865.6 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量形式的Newmark法逐步积分方程： 求得ui后，则可以计算ti+1时刻的总位移，再利用Newmark 法中的两个基本公式 ：得到ti+1时刻体系的全部运动量。 iiipukiiiuuu1121111(1)2(1)(1)2iiiiiiiiuuuu

27、ttuuuutt1iiiuuu56/86采用采用Newmark求解非线性反应求解非线性反应 在用以上步骤计算时的主要误差，是用切线刚度代替割线刚度引起的，这是非线性分析中的共性。注意到方程从形式上看与静力问题的方程完全一样。可以用静力问题中的非线性分析方法进行迭代求解，例如采用NewtonRaphson或修正的NewtonRaphson法求解。NewtonRaphson方法在每一迭代步中，刚度是变化的，而修正的NewtonRaphson法，在不同迭代步中的刚度不变，因此，也常称： NewtonRaphson法为变刚度迭代法变刚度迭代法； 修正的NewtonRaphson方法为常刚度迭代法常刚度

28、迭代法。57/865.6 结构非线性反应分析NewtonRaphson法（变刚度迭代法）iiipukpuu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kT(1)p123(b)kT(2)kT(3)58/865.6 结构非线性反应分析修正的NewtonRaphson方法（常刚度迭代法）puu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kTp123(a)59/865.6 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 用以上迭代方法求得ui(1), ui(2)，以后，叠加得， 收敛条件：当进行了l 次迭代计算后，令： 如果，则认为迭

29、代收敛，达到要求的精度，停止迭代计算。 为一个给定的小量，例0.001等。一般情况下，经过有限次的迭代计算都可以收敛。 (1)(2)iiiuuu ljjiuu1)(uuli)(puu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kT(1)p123(b)kT(2)kT(3)60/865.7时域逐步积分算法的新发展时域逐步积分算法的新发展61/865.7 时域逐步积分算法的新发展1、差分方法的发展1李算法李算法 2杜算法杜算法222111111111222222iiiiiiiiiitttum pm k utm c utttuumppkc ukc u 222111121

30、122iiiiMCupKMuMCuttttt22111121111111111(1)()22221111()()2222iiiiiiiiittttum pm km c um cutt m c uttum pm c um km c utt 62/865.7 时域逐步积分算法的新发展3张算法张算法4克拉夫克拉夫(Clough)算法算法 231211111111111112612()()iiiiiiiiiiiiiiiiiuutut ut uuutut uumpcukuumpcuku 22211111112222iiiiiiiitttum pm k utm c uuuuut 63/865.7 时域逐步

31、积分算法的新发展 算法的精度和稳定性010nnuuTTADPEuT：振幅衰率周期延率减长-u0 tuTnT数值解数值解精确解精确解ADu0064/8600.050.10.150.20.250.3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5AD(振振幅幅衰衰减减率率)文献文献1算法算法文献文献2算法算法 中心差分法中心差分法 线性加速度法线性加速度法 Newmark- 法法文献文献3算法算法文献文献4算法算法 t/TnWilson- 法法( =1.4) 65/8600.050.10.150.20.250.3-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150

32、.20.250.3 t/TnPE(周周期期延延长长率率)Wilson- 法法( =1.4) 文献文献4算法算法 Newmark- 法法 线性加速度法线性加速度法文献文献1算法算法文献文献2算法算法 中心差分法中心差分法文献文献3算法算法 66/86几种算法的稳定性0.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.53.03.54.0 = n t 文献 文献1算法算法 文献 文献2算法算法 文献 文献3算法算法 文献 文献4算法算法 中心差分法中心差分法 线性加速度法线性加速度法67/8605101520-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 解析解解析解 文献文献1算法算法 文献文献2算法算法 文献文献3算法算法 文献文献4算法算法 中心差分法 中心差分法 线性加速度法线性加速度法 Newmark- - 法 法 Wilson- - 法 法 ( ( =1.4) )ut(s)几种算法的精度u(0)=1，u (0)=0，=0，t=0.1Tn 68/8605