方程的根与函数的零点课件 (2)

1、主讲人：叶蕾实验中学一元二次方程一元二次方程) 0( 02acbxax的的根根与二次函数与二次函数)0(2acbxaxy的的图像图像有什么关系？有什么关系？思考：思考： 方程方程x22x+3=0 x22x3=0 x22x+1=0方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0) 无交点无交点函函数数的的图图象象xy01321121234xy0132112543yx012112 y= x22x3 y= x22x+1函数函数 y= x22x+3 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的求出表中一元二次方

2、程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x x轴的轴的交点坐标交点坐标问题问题2 方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2问题问题3 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元若将上面特殊的

3、一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与二次方程及相应的二次函数的图象与x x轴交点的关系，轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？上述结论是否仍然成立？ 结论：结论：二次函数的图像与二次函数的图像与X轴交点轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。实数根。 推广结论：推广结论：函数函数y=f(x)的图像与的图像与X轴交点的横坐标就是方程轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的的实数根。实数根。 对于函数对于函数y=f(x),使使f( (x)=0)=0的的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数

4、y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点代数法代数法图像法图像法例例1 求函数求函数) 1lg()(xxf的零点的零点解法一：（代数法） 令 lg(1) 0 x 2x 解得o12ylgxylg(x-1)解法二：（图像法）xy变式练习：变式练习：求下列函数的零点求下列函数的零点 (1) (2)65)(2xxxf12)(xxf解:(1)令 即( )0f x 2560 xx解得 或2x 3x （2）令 即( )0f x 210 x 解得0 x 65)(2xxxfoxy1234-1-212)(xxfxyo1-1 -15-4 3()观察右图中函数的图象观察右图中函数

5、的图象 在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； f(a) f(b)_0（或）（或） 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；f(b) f(c) _ 0（或）（或） 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；f(c) f(d) _ 0（或）（或）有 有有思考思考: :一般地，如果函数一般地，如果函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间aa，bb上的图象是连续不断的一条曲线，那么上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什在什么条件下么条件下，函数，函数y=y=f(xf(x) )在区间（在区间（a,ba,b）内一定）内一定有零点？有零点？ 如果函数如果函数y=

6、f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点.即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c )=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.零点存在性定理：零点存在性定理：定理辨析：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例。定理辨析：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例。（1 1）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 满足满足f(a)f(bf(a)f(b)0)0，则，则f(xf(x) )在区间在区

7、间( (a,ba,b) )内存在零点内存在零点. .（ ）（2 2）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(af(a) )f(bf(b) )0 0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内没有零点内没有零点. .（ ）（3 3）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续上连续, ,且且f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有零点，则内有零点，则f(a)f(bf(a)f(b)0 )0 . . （ ） (4) (4)已知函数已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区

8、间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(a)f(bf(a)f(b) ) 0 0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点. .（ ) )解：解：（1 1）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 满足满足f(a)f(bf(a)f(b)0)0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内存在零点内存在零点. . （ ）abOxy如图如图, ,（2 2）已知函数已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(a)f(bf(a)f(b) )0 0，则，则f(

9、xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内没有零点内没有零点. . （ ） a ab bO Ox xy y如图如图, , (3)(3)已知函数已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续上连续, ,且且f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有零点，则内有零点，则f(a)f(bf(a)f(b)0 .)0 .（ ）如图如图, ,a ab bO Ox xy y（4 4）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，上连续，f(a)f(a)f(bf(b)0)0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b)

10、 )内有且仅有一内有且仅有一个零点个零点. .（ ）abOxy如图如图, , 思考：在什么条件下， 解法一：估算解法一：估算f(x)在各整数处的值的正负在各整数处的值的正负 x 1234f(x) -+例例2 判断函数判断函数f(x)=lnx+2x6是否有零点，若有，求零点个是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间。数及零点所在的大致区间。 由表得由表得f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点，由于函数内有零点，由于函数f(x)在在定义域定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点，这内是增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区

11、间是（个零点所在的大致区间是（2，3）。）。由表得由表得f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点，这个增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（零点所在的大致区间是（2，3）解法二：用计算器或计算机作出解法二：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象 4 1.3069 1.09863.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972123456789x0246105y241086121

12、487643219 解法三解法三: 通过数形结合，把原函数的零通过数形结合，把原函数的零点个数问题，点个数问题， 转化为讨论方程的根个数问题，转化为讨论方程的根个数问题， 再转化为两个简单函数的图象再转化为两个简单函数的图象交点个数问题交点个数问题. 6Ox1 2 3 4yy= lnxy=2x +6拓展提升：拓展提升： 你还有其它办法来确定函数你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2x6零点所在的大致区间？零点所在的大致区间？ x0练习练习： 1.(2010天津理，2)函数 的零点所在的一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)( )23xf xx 2.函数在 区间(0,2)内有零点，那么（ ）A. B.C.在区间（0,2）内，存在D.以上说法都不正确( )f x(0)0,(2)0ff(0)(2)0ff1212,()()0 x xf xf x使BDxy022.反例如图:代数法代数法图像