第3章_基于虚位移原理变分法(1)

1、 在前述有限元的直接刚度法里，我们采用材料力学中在前述有限元的直接刚度法里，我们采用材料力学中的叠加原理来求解直梁和刚架的单元刚度矩阵。但对于的叠加原理来求解直梁和刚架的单元刚度矩阵。但对于复杂的二维平面甚至三维立体的力学问题，就无法采用复杂的二维平面甚至三维立体的力学问题，就无法采用直接刚度法来求解单元刚度矩阵，此时我们可以采用基直接刚度法来求解单元刚度矩阵，此时我们可以采用基于虚位移原理的变分法。于虚位移原理的变分法。1 1、背景、背景2 2、基本概念、基本概念2.1 2.1 虚位移原理（虚功原理）虚位移原理（虚功原理） 在材料力学中，虚功原理表述为：在虚位移中，外力在材料力学中，虚功原理

2、表述为：在虚位移中，外力所做虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功（虚应所做虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功（虚应变能）。变能）。2.1 2.1 虚位移原理（虚功原理）虚位移原理（虚功原理）在材料力学中，虚功原理在材料力学中，虚功原理表述为：在虚位移中，外表述为：在虚位移中，外力所做虚功等于内力在相力所做虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功应的虚变形上所做的虚功（虚应变能）。（虚应变能）。2.2 2.2 虚位移和变分虚位移和变分 在材料力学中，我们规定实位移是在材料力学中，我们规定实位移是v，对应的虚位移，对应的虚位移就是就是v*。但严格来讲，虚位移应该用变分符号表示为但严格来讲，虚位

3、移应该用变分符号表示为v。变分与微分有相似的地方，都具有无限小变化的意思。但变分与微分有相似的地方，都具有无限小变化的意思。但严格来讲，二者是两个完全不同的数学概念。严格来讲，二者是两个完全不同的数学概念。3 3、应用基于虚位移原理的变分法求解直梁、应用基于虚位移原理的变分法求解直梁的单元刚度矩阵的单元刚度矩阵3.1 3.1 位移函数位移函数假设图示直梁单元的位移函数假设图示直梁单元的位移函数v(x)（插值函数）为：（插值函数）为：332210)(xaxaxaaxv 已知单元在两个节点的边界条件：已知单元在两个节点的边界条件：0 xifv )0(iv )0(lx jlv )(jflv )(实际

4、上对于直梁单元，实际上对于直梁单元，v(x) 就是在其上各点的挠度就是在其上各点的挠度f 。)()(xvx 根据材料力学可知，截面转角和挠度之间的关系是根据材料力学可知，截面转角和挠度之间的关系是 。 将上述将上述v(x)的表达式（位移函数）代入四个边界条件得到如的表达式（位移函数）代入四个边界条件得到如下四个方程式。下四个方程式。 jjiilalaaflalalaaafa 23213322101032将所有的将所有的ai代入前述代入前述v(x)的表达式得到插值形式的位移函数。的表达式得到插值形式的位移函数。解得解得写成矩阵形式写成矩阵形式 jjiijjiiiilfllflalfllflaaf

5、a 232332221012121323jjiixlxlfxlxlxlxlxfxlxlxv 32233223223322112312231)(T4321)(jjiiffNNNNxv 式中式中33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 上述位移函数可进一步缩写成上述位移函数可进一步缩写成eNxv )(式中式中 ； 4321NNNNN Tjjiieff 3.2 3.2 形状函数形状函数上式中的上式中的Ni（i = 1, 2, 3, 4) )叫做形状函数，有时简称为形函数叫做形状函数，有时简称为形函数。在梁单元中。在梁单元中, ,它表示一个

6、两端固定的梁只产生一个单位位移它表示一个两端固定的梁只产生一个单位位移时梁弯曲成的形状（如下图所示）。其性质将在下一章讲解。时梁弯曲成的形状（如下图所示）。其性质将在下一章讲解。33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 232166xlxlN 222341xlxlN 232366xlxlN 22432xlxlN 3.3 3.3 用虚位移原理求单元刚度矩阵用虚位移原理求单元刚度矩阵 ljjjjiiiixMmfqmfq)(d)( i 在平衡状态下，梁单元有挠曲线在平衡状态下，梁单元有挠曲线v(x)，其节点位移分别为，其节点位移分别为fi

7、、i、fj、j 。给该单元的节点任意虚位移。给该单元的节点任意虚位移fi 、 、 、 ，由此由此在挠曲线各点上产生相应的虚位移在挠曲线各点上产生相应的虚位移 和虚转角和虚转角 （即（即虚功原理中的虚变形）。根据虚功原理得到以下方程式。虚功原理中的虚变形）。根据虚功原理得到以下方程式。j )(x jf)(xv由挠曲线的近似微分方程，弯矩可写成由挠曲线的近似微分方程，弯矩可写成 ljjjjiiiixMmfqmfq)(d)( 22dd)(xvEIxM xxvxxvxxxdddddddddddd22 因为虚位移具有和实位移相同的性质，因为虚位移具有和实位移相同的性质，因此以上方程也适用于虚位移。故因此

8、以上方程也适用于虚位移。故xxvdd)(d)d(22 上述虚功原理方程式变为上述虚功原理方程式变为 leexxvEIxvPdddd)(d2222T 式中单元节点虚位移列阵式中单元节点虚位移列阵单元节点力列阵单元节点力列阵Tjjiieff TjjiiemqmqP 位移函数位移函数TT)(NNxvee 其变分为其变分为 TT)(Nxve leexxvEIxvPdddd)(d2222T 将以上两式代入将以上两式代入 得到得到 leeeexNEINPdTTT eleeexNEINP dTTTelexNEINP dTeeeKP 将上式与将上式与 相比较，得到单元刚度矩阵的表达式。相比较，得到单元刚度矩阵

9、的表达式。 lexNEINKdT33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 232166xlxlN 222341xlxlN 232366xlxlN 22432xlxlN 3.4 3.4 通过积分计算单元刚度矩阵通过积分计算单元刚度矩阵 llexNNNNNNNNEIxNEINKdd4321T4321T llllllllllllllllexNxNNxNNxNNxNNxNxNNxNNxNNxNNxNxNNxNNxNNxNNxNEIKd)(ddddd)(ddddd)(ddddd)(2434241443232313423222124131212

10、1xllN321126 xllN2264 xllN323126 xllN2462 代入所有的代入所有的 （i = 1, 2, 3, 4) )，通过积分计算得到如下单元，通过积分计算得到如下单元刚度矩阵。刚度矩阵。iN lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIke46266126122646612612222323222323这与第二章直接刚度法通过材料力学叠加原理得到的这与第二章直接刚度法通过材料力学叠加原理得到的单元刚度矩阵完全相同。单元刚度矩阵完全相同。1 1、在后面研究更复杂的弹性力学平面问题时，我们不再、在后面研究更复杂的弹性力学平面问题时，我们不再采用直接刚度法，而采用基于虚位移原理的变分法。采用直接刚度法，而采用基于虚位移原理的变分法。4 4、两点说明、两点说明2 2、基于虚位移原理的变分法并不是求解复杂力学问题的、基于虚位移原理的变分法并不是求解复杂力学问题的有限元方程的唯一方法。其他著名的方法还有伽辽金法有限元方程的唯一方法。其他著名的方