复变函数的级数44467学习教案

1、会计学1复变函数复变函数(hnsh)的级数的级数44467第一页，共111页。2 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可(bk)割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽Play1 复数(fsh)项级数第1页/共110页第二页，共111页。3A1A2A3A1表示(biosh)圆内接正6边形面积,A2表示(biosh)圆内接正12边形面积,A3表示(biosh)圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 第2页/共110页第三页，共111页。4“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周(yu

2、nzhu)合体而无所失矣”刘徽第3页/共110页第四页，共111页。5“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周(yunzhu)合体而无所失矣”刘徽第4页/共110页第五页，共111页。6“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可(bk)割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽第5页/共110页第六页，共111页。7“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可(bk)割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽第6页/共110页第七页，共111页。8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周(yunzhu)合体而无所失矣”刘徽第7页/共110页第八页，共111页。9“割之弥细，所失弥少，割之

3、又割，以至于不可割，则与圆周(yunzhu)合体而无所失矣”刘徽第8页/共110页第九页，共111页。10“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可(bk)割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽第9页/共110页第十页，共111页。11“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周(yunzhu)合体而无所失矣”刘徽第10页/共110页第十一页，共111页。12“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可(bk)割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽第11页/共110页第十二页，共111页。13极限(jxin)：数列(shli)：.lim0zznn记作第12页/共110页第十三页，共111页。14复

4、数列收敛与实数(shsh)列收敛的关系：证明(zhngmng)第13页/共110页第十四页，共111页。15定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别 两个(lin )实数列的敛散性。第14页/共110页第十五页，共111页。16例1 下列(xili)数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.ninizn11解：(1)所以0lim , 1limnnnnyx第15页/共110页第十六页，共111页。17而该极限(jxin)不存在，故该极限(jxin)不存在。表达式称为复数项级数.第16页/共110页第十七页，共111页。18前 n 项的和称为级数(j sh)的前 n 项部分和.级数收敛(shulin)

5、与发散的概念的敛散性。的敛散性。判断级数判断级数)1(0zznn例2第17页/共110页第十八页，共111页。191)(z 111-12，部分和部分和zzzzzsnnn解：复数(fsh)项级数与实数项级数收敛的关系： : )( 11收敛的充要条件是收敛的充要条件是级数级数nnnnniyxz. 11都收敛都收敛和和nnnnyx第18页/共110页第十九页，共111页。20证明：因为nnzzzS21根据复数(fsh)列收敛定理 . 11nnnnyx都收敛都收敛和和 1收敛的充要条件是收敛的充要条件是即，即，nnz第19页/共110页第二十页，共111页。21所以原级数(j sh)发散. )1(1

6、1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin例3; 1 11发散发散因为因为 nnnna解级数收敛(shulin)的必要条件：第20页/共110页第二十一页，共111页。22重要结论:.0lim发散发散级数级数1nnnnzz证明：收收敛敛，级级数数 1nnz收敛，收敛，和和则级数则级数11 nnnnyx称为(chn wi)条件收敛.如果 收敛, 称级数 为绝对收敛.1nnz1nnz定义：如果 收敛, 而 不收敛的级数1nnz1nnz第21页/共110页第二十二页，共111页。23绝对收敛级数(j sh)的性质：证明：由于,1221nnnnnyxz而,2222nnnnnnyxyyxx根据(gnj)实

7、数项级数的绝对收敛性, 知第22页/共110页第二十三页，共111页。24.sin)11(nnyn ,cos)11(nnxn所以所以而0lim,1limnnnnyxninenz)11( 因为因为解 数列 是否收敛？ninenz )11( 例4第23页/共110页第二十四页，共111页。25例5 1 112是否收敛？是否收敛？级数级数 nnni解：级数(j sh)满足必要条件, 而 1112)1(11nnnnnini 11nn 11)1(nnni故原级数(j sh)发散。第24页/共110页第二十五页，共111页。26例6故原级数(j sh)收敛, 且为绝对收敛.所以(suy)由正项级数的比值判

8、别法知:,!8!)8(nninn 因为解r1时收敛, r1时发散r 1时可能收敛或发散r rnnnuu1lim018)!1(8!81nnnnn第25页/共110页第二十六页，共111页。27称为复变函数(hnsh)项级数。 )()()(21zfzfzfn 1)(nnzf称为该级数(j sh)前n项的部分和.级数前n项的和2 复变函数项级数第26页/共110页第二十七页，共111页。28称为(chn wi)该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D内处处收敛, 那么它的和)( zSz的一个函数的一个函数是是收敛(shulin)：和函数(hnsh)：且第27页/共110页第二十八页，共111页。29

9、当101)()(nnnzzczf时，幂级数(j sh)是函数项级数(j sh)的特殊情形20)()()(020100zzczzcczzcnnnnnzzc)(0得到的级数(j sh)称为其中Cn(n=0,1,2,)及z0为常数幂级数，即第28页/共110页第二十九页，共111页。30定理：00)(nnnzzc如果级数)(011zzzz010zzzz在收敛, 那么当时,级数绝对收敛。Abel(阿贝尔)推论：，都使级数发散。，都使级数发散。的点的点满足满足发散，则发散，则在点在点如果级数如果级数zzzzzzzzc nnn02020)(lim 4.收敛(shulin)圆与收敛(shulin)半径对于一

10、个幂级数, 其收敛(shulin)的情况有三种:第29页/共110页第三十页，共111页。31证明： , 收敛收敛因为级数因为级数001)(nnnzzc因而存在(cnzi)正数M,使对所有的n, 0)(lim01nnnzzc有有由级数收敛的必要条件，nnnnnzzzzzzczzc010010)()( 故由正项级数的比较判别法得:,)(0收收敛敛级级数数nnzzc第30页/共110页第三十一页，共111页。32证明：内内的的任任一一点点，为为范范围围设设020zzzzz则由Abel定理, , 收敛收敛级数级数002)(nnnzzc而这与推论(tuln)矛盾，发散发散级数级数 001)(nnnzz

11、c(得证)第31页/共110页第三十二页，共111页。33(1) 对任意(rny)的复数都收敛.由Abel定理:级数在复平面内绝对收敛.例如, 级数 nnnzzz2221对任意给定的 z , 则从某个n开始, 有,21nz于是,21nnnnz该级数对任意的实数 z 均收敛.该级数在复平面内绝对(judu)收敛.(2) 对任意(rny)的复数(除 z = z 0外) 都发散.第32页/共110页第三十三页，共111页。34(3) 既存在使级数发散(fsn)的复数, 也存在使级数收敛的复数(fsh)., 0 时时当当 z通项nnzn不趋于零, 例如, 级数 nnznzz2221级数发散.由函数收敛

12、的必要条件,由Abel定理，级数在内内收收敛敛。 0zz第33页/共110页第三十四页，共111页。35.收敛(shulin)圆收敛(shulin)半径.由Abel定理的推论，级数在内收敛。内收敛。 0zz第34页/共110页第三十五页，共111页。36在收敛圆上是收敛还是发散, 要对具体级数(j sh)进行具体分析.级数对于任意复数(fsh)都发散时, R=0级数对于(duy)任意复数都收敛时, R=定义：注意：约定：5. 收敛半径的计算方法第35页/共110页第三十六页，共111页。37方法(fngf)1 (比值法)方法(fngf)2 (根值法)例1 试求幂级数 1npnnz(p为正整数)

13、的收敛半径.解，因为因为pnnc1 =1第36页/共110页第三十七页，共111页。38例2 级数 的收敛半径， 0020,nnnnnnnznzz并讨论它们在收敛圆上的敛散性。解：根据比值法，三个级数都有1lim1nnnCC由于(yuy)令z=cosj+isinj, 则第37页/共110页第三十八页，共111页。39故 在收敛圆周上无收敛点; 0nnz故 在收敛圆上处处收敛； 02nnnz第38页/共110页第三十九页，共111页。40第39页/共110页第四十页，共111页。41则Rzz 0在在内解析. 00)()(nnnzzczf 00)(nnnzzc设幂级数的收敛半径为R,时，时，当当R

14、zz 0.)()(11 nnnaznczf内内的的光光滑滑曲曲线线，则则为为设设RzzC 0 0d)(d )(ncnnczazczzf第40页/共110页第四十一页，共111页。42例3 求 nnnzzzz201的和函数.解)1( ,11112 zzzzzzSnnn1 zzsnn 11lim收敛范围为一单位圆域, 1 z且有.1112 nzzzz在此圆域内, 绝对收敛, 收敛半径为1, 0nnz1 z0lim nnz级数 0nnz收敛, 0nnz级数发散.第41页/共110页第四十二页，共111页。43nnnnnnc31limlim (2)解(1)11limlim1nnccnnnn例4求下列幂

15、级数的收敛半径:(1) 13nnnz(2) 1)1(nnnz 0)(cosnnzin 0)1(nnnzi(3)(4). 1 R即即第42页/共110页第四十三页，共111页。44故.1eR (3)incncos ),(21nnee 所以.2221 Rnnn)2()2(lim1 .2 nnic)1( ;)2(4inne (4)第43页/共110页第四十四页，共111页。45解:把函数bz 1写成如下的形式: bz1)()(1abaz 其中(qzhng)，a与b是不相等的复常数 .例5把函数bz 1表成形如 0)(nnnazc的幂级数第44页/共110页第四十五页，共111页。46,Rab 设设,

16、时时那那么么当当Raz 级数收敛,且其和为.1bz z = b时，级数(j sh)发散由Abel定理，级数在内内发发散散。Rabaz 故级数的收敛半径为Rab 例6 求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数.解12limlim 1 nnccnnnn因为因为第45页/共110页第四十六页，共111页。47利用(lyng)逐项积分, 得:所以)1()1(0 zzznnn例7 求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数.解1212limlim11 nnnnnncc 因为因为,21时时当当 z,1111zznn 第46页/共110页第四十七页，共111页。48第47页/共110页第四十八页，共1

17、11页。49定理z0到边界上各点的最短距离为d, 设f(z)在区域D内解析，z0为D内一点，dzz 0时,f(z)可以展开成幂级数当)(!10)(zfncnn 其中, 2, 1, 0 n.d3 Taylor(泰勒(ti l)级数第48页/共110页第四十九页，共111页。d.C内任意点证明：, )( 内解析内解析在区域在区域设函数设函数DzfrC. 在D内任取一点(y din)z0， z0到边界的最短距离为d， dr 0r为半径作一圆周，以z0为圆心，由Cauchy积分(jfn)公式 , 有第49页/共110页第五十页，共111页。51 Cdzfizf,)(21)( 其中C取正方向.00011

18、11zzzzz 则 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 )()()()(21)(10010zRdzzzfizfNCNnnn 于是第50页/共110页第五十一页，共111页。52 CNnnnNdzzzfizR )()()(21)(010其中由于(yuy)f(z)在D内解析，由连续函数的性质，存在 CNnnnNdszzzfzR010)(21)( 故0)(lim zRNN所以从而(cng r)f(z)在C内收敛，第51页/共110页第五十二页，共111页。53由高阶导数(do sh)公式, 上式可写成由 0 r z由第86页/共110页第八十七页，共111页。88且仍有)( z

19、f于是于是 21111zzz 2222121zz2112121zz nnzzz22212122第87页/共110页第八十八页，共111页。892oxy2 z由仍有zzz111111 21111zzz)(zf故故 21111zzz此时 z21第88页/共110页第八十九页，共111页。90解： 例3第89页/共110页第九十页，共111页。91例2内的Laurent展开式. 解： 2iixyo第90页/共110页第九十一页，共111页。921221)(2 zzzf2iixyo第91页/共110页第九十二页，共111页。93第92页/共110页第九十三页，共111页。94例3解： 2xy0第93页

20、/共110页第九十四页，共111页。95作 业P101 T5(2)(3)(6) T7(1)(2)(4) T8(1)(3)(4)第94页/共110页第九十五页，共111页。961802.8.5生于挪威(nu wi)；1829.4.6在挪威(nu wi)去世。1821秋进入大学；1822发表(fbio)了函数方程和积分方程两篇论文；1823考虑五次方程求通解；1824将小册子自费出版；1825开始海外之旅；1827在朋友的赞助下回国；“穷得就象教堂里的老鼠”开创群论，由此研究代数；在分析方面有许多工作，并由此开创了椭圆函数论。第95页/共110页第九十六页，共111页。97复数(fsh)项级数函数(hnsh)项级数充要条件必要条件幂级数收敛(shulin)半径R复 变 函 数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算Taylor 级数Laurent级数第96页/共110页第九十七页，共111页。985. 将下列各函数展开(zhn ki)为z的幂级数，并指出 收敛区域。解：ab时第97页/共110页第九十八页，共111页。99a=b时，则比值(bzh)法、根值法第98页/共110页第九十九页，共111页。100解2： 02)1()1(nnnzn第99页/共110页第一百页，共111页。101解3：第100