复合函数的导数学习教案

1、会计学1复合复合(fh)函数的导数函数的导数第一页，共34页。复合函数复合函数(hnsh)的微分法和隐函数的微分法和隐函数(hnsh)的微分法呢？的微分法呢？这主要是对于没有具体这主要是对于没有具体(jt)给出式子的所谓抽象给出式子的所谓抽象函数函数如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及复合而成的复合而成的由于由于(yuy) f 没有具没有具体给出体给出时时在求在求yzxz , 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。第1页

2、/共33页第二页，共34页。一、链式法则一、链式法则证证第2页/共33页第三页，共34页。第3页/共33页第四页，共34页。上定理的结论可推广到中间变量多于上定理的结论可推广到中间变量多于(du y)两个两个的情况的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量上定理还可推广到中间变量(binling)不是一不是一元函数而是多元函数的情况：元函数而是多元函数的情况：第4页/共33页第五页，共34页。链式法则如图示链式法则如图示第5页/共33页第六页，共34页。 uz vz称为标准称为标准(biozhn)法则或法则或 这个公式这个公式(gngsh)的特征：

3、的特征：函数函数(hnsh)有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式；两个公式；第6页/共33页第七页，共34页。由于在复合过程中有两个中间由于在复合过程中有两个中间(zhngjin)变量变量 u 和和 v故法则故法则(fz)中每一个公式都是两项之和中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有，这两项分别含有 每一项的构成与一元每一项的构成与一元(y yun)复合函数的链导法则类似，复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：

4、“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘” 第7页/共33页第八页，共34页。zwvuyx第8页/共33页第九页，共34页。特殊特殊(tsh)地地其其中中(qzhng)即即令令两者的区别两者的区别(qbi)区别类区别类似似第9页/共33页第十页，共34页。注注 此公式此公式(gngsh)可以推广到任意多个中间可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形变量和任意多个自变量的情形如如则则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间乘积的项数等于中间(zhngjin)变量的个数，而与变量的个数，而与自变量的个数无关自变量的个数无关第10页/

5、共33页第十一页，共34页。关于多元关于多元(du yun)复合函数复合函数求偏导问题求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底实做到彻底(chd)理解。注意以下几点将会有助于领会理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式和理解公式，在解题时自如地运用公式用图示法表示出函数的复合用图示法表示出函数的复合(fh)关关系系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及

6、项的构成）第11页/共33页第十二页，共34页。 的结构是求抽象的复的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键合函数的二阶偏导数的关键 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是复合函数仍是复合函数且复合结构且复合结构(jigu)与原来的与原来的 f ( u , v ) 完完全相同全相同即仍是以即仍是以 u , v 为中间为中间(zhngjin)变量，以变量，以 x , y 为自为自变量的复合函数变量的复合函数因此因此(ync)求它们关于求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式的偏导数时必须使链式法则法则第12页/共33页第十三页，共34页。在具体计算中最容易出

7、错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对 ),( vufu再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f ( u , v ) 具有相同结构的复合函数易被误认为仅是具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉的函数，从而导致漏掉),(vufu这这一一项项uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间求抽象函数的偏导数时，一定要设中间(zhngjin)变量变量注意引用这些公式注意引用这些公式(gngsh)的条件的条件外层函数可微（偏导数外层函数可微（偏导数(do sh)连续）连续）内层函数可导内层函数可导 vuuvff ,的合并问题的合并问题视题设条件

8、视题设条件第13页/共33页第十四页，共34页。解解 xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 第14页/共33页第十五页，共34页。解解例例3 设设),(),(),(),(),( ryyrxxyxvvyxuuvufw 均满足复合函数求偏导数的条件均满足复合函数求偏导数的条件 计算计算 wrw,（两重复合问题）（两重复合问题）解解由链式法则由链式法则第15页/共33页第十六页，共34页。故故同理可得同理可得第16页/共33页第十七页，共34页。解解令令记记同理有同理有第17页/共33页第十八页，共34页。于是于是(ysh)二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性第18页/共33页第十

9、九页，共34页。全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、第19页/共33页第二十页，共34页。 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为和区分，而一律作为(zuwi)自变量来处理自变量来处理且作微分且作微分(wi fn)运算的结果对自变运算的结果对自变量的微分量的微分(wi fn) 来说是线

10、性的来说是线性的从而为解题带来很多方便从而为解题带来很多方便(fngbin)，而且，而且也不易出错也不易出错第20页/共33页第二十一页，共34页。例例5 设设各函数满足各函数满足(mnz)求求导条件导条件求求解一解一变量间的关系变量间的关系(gun x)如下如下图所示图所示第21页/共33页第二十二页，共34页。这里变量间的关系比较这里变量间的关系比较(bjio)混乱混乱用全微分用全微分(wi fn)来解来解由全微分由全微分(wi fn)定理定理注意到注意到 x , z 是独立自变量是独立自变量 解二解二第22页/共33页第二十三页，共34页。由全微分由全微分(wi fn)定义定义注注解法二

11、在实际解法二在实际(shj)计算中显得十分灵便且不易出计算中显得十分灵便且不易出错错故故 第23页/共33页第二十四页，共34页。三、小结三、小结(xioji)1、链式法则（分三种、链式法则（分三种(sn zhn)情况）情况）（特别（特别(tbi)要注意课中所讲的特殊情况）要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（理解其实质）（理解其实质）第24页/共33页第二十五页，共34页。思考题思考题第25页/共33页第二十六页，共34页。思考题解答思考题解答(jid)第26页/共33页第二十七页，共34页。练练 习习 题题一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzco

12、scos , ,则则 xz_； yz_. . 2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._. 二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 第27页/共33页第二十八页，共34页。第28页/共33页第二十九页，共34页。第29页/共33页第三十页，共34页。练习题答案练习题答案(d n)第30页/共33页第三十一页，共34页。第31页/共33页第三十二页，共34页。第32页/共33页第三十三页，共34页。NoImage内容(nirng)总结会计学。上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.