工程力学材料力学第五章弯曲内力

1、1工程力学Engineering Mechanics2第五章 弯曲内力3 51 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 弯曲弯曲(bending): 杆受垂直于轴线的外力（即横向力）或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁梁(beam)：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。43. 3. 工程实例工程实例5车削工件车削工件火车轮轴火车轮轴64. 4. 平面弯曲平面弯曲: :具有纵向对称面具有纵向对称面: 横截面的对称面与轴线（直线）所在的平面 受力特点：外力都作用在此面内受力特点：外力都作用在此面内 变形特点：轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面

2、曲线。变形特点：轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。在在轴线所在的平面内（直梁）（纵向对称面）受到横向力或力偶的作用。7 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。一一. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 52 梁的的常见支架与反力梁的的常见支架与反力8 二、二、 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。集中力集中力：力作用于某一微小的梁段上。（N,KN). 集中力集中力P集中力偶集中力偶：往往是力系简化的结果M 集中力偶集中力偶分布载荷分布载荷：分为线分布和面分布

3、q 线分布9固定铰支座固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。三. 常见支座10固定端固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA11四四. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁(simple beam)M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力悬臂梁(cantilever beam)外伸梁(overhanging beam) 集中力集中力Pq 均布力均布力12五五. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁静定梁(statically dete

4、rminate beam)：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁超静定梁(statically indeterminate beam) ：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。1353 梁的内力：剪力与弯矩梁的内力：剪力与弯矩一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例 已知：如图，P，a l。 求：距A端x处截面上内力。PYAXARBABPalAB解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 014ABPYAXARBmmx求内力截面法xYMmlalPYQYACA , 0)( , 0AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩CC1.

5、 剪力剪力(shear force)：Q构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。15 3. .内力的正负规定内力的正负规定:剪力剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成上凹形的为正弯矩；使梁变成上凸形的为负弯矩。即使梁下侧受拉的弯矩为正弯矩；使梁上侧受拉的弯矩为负弯矩。Q()Q()Q(+)Q(+)M(+)M(+)M()M()2. 弯矩弯矩(bending moment)：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。16例例：求图求图（a）所）所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。qLQQqLY11 0解：解：截面法求内力。 1-1截面处

6、截取的分离体 如图（b）示。图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例题二、例题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x117 qLaxq Q 22 axqMqLxFmiB0)(21, 0)(2222 2-2截面处截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c） axqQqLY022 )(2222)(21qLxaxqM qqLab1122图（a）qLQ2BM2x2图（c）形形心心顺顺时时针针为为正正。面面的的力力的的代代数数和和。外外力力对对截截向向外外剪剪力力等等于于梁梁保保留留一一侧侧横横力力矩矩左左顺顺，右右逆逆为为正正。数数和和。力力对对截截面面形形心心取取矩矩的的代代有有

7、外外弯弯矩矩等等于于梁梁保保留留一一侧侧所所 181. 1. 内力方程：内力方程：内力与截面位置坐标（内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。）间的函数关系式。2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程)(xMM 弯矩方程)(xQQ 剪力图的图线表示)(xMM 弯矩图的图线表示5-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图19 例例 求下列各图示梁的内力方程并画力图。PY)x(QO求支反力求支反力)Lx(PMxY)x(MOO 写出内力方程写出内力方程PL MPYOO ; L根据方程画内力图根据方程画内力图YOM(x)xQ(x)MOPQ(x)xP

8、M(x)xPL20 BAlFAYFBY例例图示简支梁图示简支梁C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyFb/l FByFa/l2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxQ110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxQ22/ lxalxlFaxM222/3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab21 BAl例例 图示简支梁图示简支梁C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出

9、剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy - M / l2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxQ110/ axlMxxM1110/CBbxlMxQ220/bxlMxxM2220/3. 依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。lM /lMb/CMab22 32/32ql32/32qlBAl例例简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1确定约束力确定约束力

10、00，BAMMFAy FBy ql/22写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxQ02/ lxqxqlxxM02/2/23. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 23一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系对dx 段进行平衡分析，有：0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd 5-5 弯矩弯矩M、剪力、剪力Q与集度与集度q之间的关系及应用之间的关系及应用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力

11、图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。 240)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxMq(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：25载荷集度、剪力和弯矩关系载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdQdxxMd1. q0，Q =常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线；M

12、(x) 为为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2. q常数，常数，Q(x) 为为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（分布载荷向下（q 0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM下凸xM上凸M图上有折角与m同xM MxM1M2mMM211 1、几何关系、几何关系2 2、突变规律、突变规律27三、微

13、分关系绘制剪力图与弯矩图的方法三、微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法根据载荷及约束力的作用位置，确定根据载荷及约束力的作用位置，确定控控制面制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。数值。建立建立Q一一x和和M一一x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。弯矩图。 28BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例例 简支梁受

14、力的大小和方向如图示。简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。试画出其剪力图和弯矩图。 解解：1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面内侧截面均为控制面。即。即A、C、D、E、F、B截面。截面。 29(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3建立坐标系建立坐标系建立建立 Qx 和和 Mx 坐标坐标系系 5根据

15、微分关系连图线根据微分关系连图线4应用截面法确定控制应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并面上的剪力和弯矩值，并将其标在将其标在 Q x和和 Mx 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN30例例 作图示梁的剪力图和弯矩图。作图示梁的剪力图和弯矩图。 qABCl/2l解解1.求支座反力FBFAMB(F)=0MA(F)=0FA=81qlFB=83ql2.建立坐标系、分区段:AC 、CB3.逐段绘图线AC段：无荷载，剪力图为水平线弯矩图为斜直线xQxM+ql/8+ql2/169ql2/128CB段：剪力图为斜直线

16、线弯矩图为向正方向上凸的抛物线-3ql/8x4. 标值、单位、正负号、纵标线（剪力图）（弯矩图）31例例 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的Q-M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判断各段、判断各段Q、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，Q图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0， Q图为向下斜直线，图为向下斜直线， M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的先确定各分段点的Q 、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的

17、线条连接。Q+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.81.4132.2_+32333435yxd 4. 4. 几何方程：几何方程：(1) . yx y d ddy ) 1 11111OO ABOOB A ABB A x 几何方程表明几何方程表明：纯弯时梁横截面上各点的纵向正应变沿截面高度线性分布；中性轴处正应变为零；中性轴两侧分别为拉应变和压应变；距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。A36二、物理关系：二、物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。(2) . EyExx 物理方程表明物理方程表明：纯弯时梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布；在中性轴处

18、正应力为零；在距中性轴最远的截面边缘，分别受有最大拉应力与最大压应力；截面上同一高度的各点正应力相同。37三、静力学关系：三、静力学关系： AAxdAEy dAN 0 zAESydAE 0AzydAS由于由于：横截面只有一个内力分量Mz 对y轴的弯矩My=0；轴力Nx=0轴过形心中性)( z 0,y Sz 称为整个横截面对中性轴的静矩静矩；静矩是对于一定轴一定轴而言的，同一截面对于不同轴的静矩不同。静矩量纲为：长度338MEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(3) . 1zZEIM 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。zEI 弯曲变形公式弯曲变形公式0 )(yzAAAyEIyzdAEdAEy

19、zzdAM对称面AyAzdAzIdAyI2239(4) . zxIM y (3) . 1 zZEI M杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。zEI 其中：其中：M：梁横截面上的弯矩；：梁横截面上的弯矩；Iz：梁的整个横截面对于中性轴：梁的整个横截面对于中性轴(z)的的惯性矩；惯性矩；y: 所求应力点到中性轴的垂直距离，所求应力点到中性轴的垂直距离，即该点的即该点的y坐标，中性轴通过截面形坐标，中性轴通过截面形心，垂直于加载面。心，垂直于加载面。zOdA梁在纯弯曲时梁在纯弯曲时横截横截面上任意一点正应面上任意一点正应力公式力公式y(2) . EyExx 40(5) . zm a xWM 最大正应力：最大正

20、应力：maxyI Wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。41DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圆环bhd6212 23maxbhhbhyIWzz矩形322/64/ 34maxdddyIWzz圆形常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ42 横力弯曲(横弯)：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有剪应力。四、四、 纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广zWxM)(maxhlhl 对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。 梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假

21、设不再成立。435-7 5-7 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1、两点假设： 切应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，切应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；0)(112dxbNNXdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图图a图图bz 1 1xy 2 2 1 1 b图图c在微段上取一块如图c，平衡44dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图图a图图bzzAzAIMSAyIMANdd11zzISMMN)d(:2同理zzzzbIQSbISxMdx

22、bNNdd)(121由切应力互等由切应力互等zzbIQSy1)(z 1 1xy 2 2 1 1 b图图c横力弯曲时横力弯曲时, ,横截面上切应力横截面上切应力的计算公式的计算公式. .45)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzyS Sz z* *为面积为面积A A* *对横截面对横截面中性轴的静矩中性轴的静矩. .式中式中: Q-: Q-所求切应力面上的剪力所求切应力面上的剪力. .I IZ Z-整个截面对中性轴的惯性矩整个截面对中性轴的惯性矩. .S Sz z* *-过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩. .b-b-所求应力

23、点处截面宽度所求应力点处截面宽度. .,:即随高度变化变化只随则一般也不变定，、则如截面确定公式中注意zzzSbIzQbIQSyA*yc*465 . 123maxAQ)()4(222为二次抛物线矩yhIQzQ 方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号不考虑正负号)； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力中性轴上有最大切应力. . 为平均切应力的为平均切应力的1.51.5倍。倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的切应力横截面上的切应力研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：zzbIQS1其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下部分面积对中性轴之静矩；475-

24、8 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Q M 一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件482 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。 zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax MQ 494 4、需要校核剪应力的几种特殊情

25、况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷： ;maxmaxmaxMWz)( ;maxmaxMfPWMz3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：50y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力【例例】 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2

26、=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM51A3A4校核强度MPa2 .2810763885 . 2822zCtAIyMMPa2 .2710763524813zBtAIyMMPa2 .4610763884824zBcAIyM lt2 .28maxyc2 .46max T字头在下，则最大拉应力为46.2MPa，不能满足强度条件，因此T字头在上面合理Mx2.5kNm

27、-4k N mA1A2y 2y 1C CzA3A452解：画内力图求危面内力例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x53求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa

28、18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAQ54二、提高梁强度的主要措施二、提高梁强度的主要措施1. 1. 改善梁的受力情况，降低改善梁的受力情况，降低 M Mmaxmax 合理合理布置布置支座支座合理合理安排安排载荷载荷ZmaxmaxWM55（1）合理布置支座）合理布置支座FFF56（2 2）合理布置载荷）合理布置载荷F572. 2. 增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面ZmaxmaxWM使用变截面梁使用变截面梁根据材料特性选择截面形状根据材料特性选择截面形状58矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式

29、一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhbh59AQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD时当强度：正应力：剪应力：在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 zWM zzbIQS* zDzaa(1)(1)合理设计截面合理设计截面60m2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWm5 . 1maxzD0.8Da12a1z61)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z62 选择合理截面的基本原则是尽可能地增大截面的选择合理截面的基本原则是尽可能地增大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较