中考专题复习——最短路径问题有答案

1、中考专题复习一一路径最短问题、具体内容包括:蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题;线段（之和）最短问题;二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。它要沿着木DCAB如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处,块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。例2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。李庄B张村AL如图，直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直

2、距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km,则所用水管最短长度为李庄张村.四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计）圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为

3、3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为4、正方形ABCD最小值为的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，DN+MN的A图图5、在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60，点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为6、如图，在9BC中，AC=BC=2,CB=90,D是BC边的中点，E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为7、AB是。的直径，AB=2,OC是。的半径，OC1AB,点D在AC上，AD=2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最

4、小值为(二)8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=18cm,则4PMN的周长为9、已知，如图DE是MBC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则EC的周长为10、已知，如图，在4ABC中，ABAC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,AABE的周长为14,则AB的长O11、如图，在锐角4ABC中，AB=4A,ZBAC=45,ZBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.12、在平面直角坐标系中，有A(3,2),B(4,2)两点，现另取一点C(1

5、,n),当n=时，AC+BC的值最小.第11题第14题第15题13、zABC中，/C=90,AB=10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE1AC于E,PFXBC于F,E、F是垂足，则EF的最小值等于.14、如图，菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=600，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，贝UPE+PF的最小值为.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点

6、，设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.设OB上16、如图，已知/AOB内有一点P,试分别在边OA和各找一点E、F,使得4PEF的周长最小。试画出图形，并说明17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(2,5)关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B归纳与发现:(2)结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平的对称点P的坐标为;运用与拓广：(3)已知两点D(1,3)、E(1

7、,4),直线l上确定一点Q,使点Q至ID、E两点的之和最小，并求出Q点坐标.18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点.问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线1的对称点A：连结AB交1于点P,则PA+PB=AB的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是(2)如图2,。的半径为2,点AB、C在。上，OA1OB,/AOC=60。，P是OB上一动点，求PA.PC的最小值；(3)如图3,OB=45尸

8、是OB内一点，PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点，求zTQR周长的最小值.(1)如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm,E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC.PE的最小值；(2)如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm,jABC=45。，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；问题解决(3)如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的BECBC20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120,得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物

9、线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使zBOC的周长最小？若存在，求出点C解：(1)过点B作BD上轴于点D,由已知可得:的坐标；若不存在，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号)OB=OA=2,ZBOD=60.在RtgBD中，JDDB=90,OBD=30.OD=1,DB=&.点B的坐标是(1,73).(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得:c=0a+b+c=逐4a2b+c=0解得：a=3,b=*,c=0.33所求抛物线解析式为y=-x22x.33(3)存在.由广条+李配方后得：丫=*+1$-与,抛物线的对称轴为x=1.(也写用顶点坐标公式求出).

10、OB=2,要使ABOC的周长最小，必须BC+CO最小.点O与点A关于直线x=1对称，有CO=CA.BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时BOC的周长最小.设直线AB的解析式为ykb二也=kx+b,则有:4-2kb=0解得：k二史,b=,*直线AB的解析式为y=叵内正33当x=-1时，y=3所求点C的坐标为（T,名21、如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为1,交x轴于A、B两点，交y*yxECP_4杂轴于点C（0,-点）.（1）求抛物线的表达式.（2）把BC绕AB的中点E旋转180,得到四边

11、形ADBC.一判断四边形ADBC的形状，并说明理由.（3）试问在线段AC上是否存在一点F,使得4FBD的周长最小,若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知rb=12a4口白一射4aLK一手2.33（列出方程组给1分，解出给2分）抛物线的解析式为y=3o2.3一(2)设点A(x1,0),B(x2,0),则xx-石=0,33解得Xi=-1,x2=3OAI=1,IOBI=3.又.tan/OCBMiOBJ=73|OC|OCB=60,同理可求QCA=30.ACB=906分由旋转性质可知AC=BD,BC=AD四边形ADBC是平行四边形7分又.ACB=90.二四边型DBC是矩形8分

12、(3)延长BC至N,使CN=CB.假设存在一点F,使BD的周长最小.即FD+FB+DB最小.DB固定长.只要FD+FB最小.又CAJBN.FD+FB=FD+FN.当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小.10分又C为BN的中点，/.FC=1AC(即F为AC的中点).又二A(1,0),C(0,.点F的坐标为F(，-)22存在这样的点F(，使得4FBD的周长最小.-12分221122.已知：直线y=-x+1与y轴父于A,与x轴父于D,抛物线y=-x+bx+c与直线父于A、22E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当4PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标.答案：(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y=1x2+bx+c得21)cb3(1解得(20=2bcc=1抛物线的解折式为y=1x2_3x1.(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为1 23.、贝UE(m,mm+1).2 21一又丁点E在直线y=-x+1上,2解得m1=0(舍去)，m2=4.E的坐标为(4,3).过E作EFx轴于F,设P(b,0).31由ZQPA+ZFPE=90,得/OPA=2FEP.