二次函数相似三角形存在性问题(教师)

1、二次函数相似三角形存在性问题参考答案与试题解析一.解答题(共7小题)1. (2014秋？江东区校级月考)如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(2, 3),与x轴交于点A (- 1, 0).(1)求二次函数的解析式；(2)连结BC、OC,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以P、B、C为顶点的三角形与OBC相似？若存在点 巳 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13【分析】(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；(2)求得B (5, 0),如图，设对称轴与x轴交点为D,贝U CD=BD=3 ,得至ij/ DCB=/DBC=45 °求得BC=3设P (2, t),

2、当PCBsobc时，则更，=1 ,求得t= 2得到P (2,OB BC_一， q 2); 当BCPsobc时，列比例式求得 t=-金，即可得到 P (2,5a= W,:i【解答】解：(1)二.二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(2, 3), 设二次函数的解析式为：y=a (x-2) 2+3,将(-1, 0)点代入得：故二次函数的解析式为：y= - (x-2) 2+3 -y= - ¥+劣+|；33 3(2)存在，在 y= -x2+x ；3,令 y=0,贝U -x2+-x+-|=0,解得：x1 = - 1, x2=5,J J z.B (5, 0), .抛物线的对称轴方程为：x=

3、2 ,如图，设对称轴与 x轴交点为D,则CD=BD=3 ,/ DCB= / DBC=45 °BC=3 二设 P (2, t),PC PR 当PCBsobc时，则后七二1, Ud DL，PC=OB,即 3 - t=5 ,. .t= - 2,P (2, - 2); 当BCPsobc时，则理f ,即刍匡上,OB-BC 5 队历.P (2, T), 5综上所述：存在点 P,使得以P、B、C为顶点的三角形与 OBC相似，点P的坐标为(2,-2）, （2,-卫）.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，找准三角形相似是解题的关键.2. (

4、2012?!州区校级模拟)在直角坐标系 XOY中，二次函数图象的顶点坐标为C (4, E 泥)，且与x轴的两个交点间的距离为 6.(1)求二次函数解析式；(2)在x轴上方的抛物线上， 是否存在点Q,使得以点Q、A、B为顶点的三角形与 4ABC 相似？如果存在，请求出 Q点的坐标，如果不存在，请说明理由.I VC【考点】二次函数综合题.【专题】开放型.【分析】(1)已知顶点，就已知对称轴，又 AB=6,可求A、B两点坐标了，可设抛物线交 点式求解；(2)根据点的坐标先研究 4ABC的特殊性，AC=BC , /A=/B=30°,故4ABQ也是等腰 三角形，AB为腰，且/ A=30

5、6;或者/ B=30 °,通过解直角三角形可求 Q点坐标，再判断 Q 点是否在抛物线上.【解答】 解：(1)二.顶点坐标为 C (4,-无)，且与x轴的两个交点间的距离为 6,，对称轴 x=4, A (1, 0), B (7, 0),设抛物线解析式y=a (x-1) (x-7),将C点坐标代入可得2=岸，所求解析式为y=gx2-华 x+华；999(2)在x轴上方的抛物线上存在点 Q,使得以点Q、A、B为顶点的三角形与 4ABC相似,因为4ABC为等腰三角形， 当 AB=BQ , . AB=6 ,BQ=6 ,过点 C 作 CDx 轴于 D,则 AD=3 , CD=正 ./ BAC= /

6、 ABC=30 °, ./ ACB=120 °,ABQ=120 °,过点 Q 作 QEx 轴于 E,则/ QBE=60 °, .QE=BQsin60 =6 避=3历 .BE=3 ,. E (10, 0), Q(10，3五),当 x=10 时，y=M02 _§1m0+Z=3、”;，点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，还存在一点Q' (-2. 3al，使AEQ's CAB故存在点Q (10, 3Ml或 (- 2. 3M1 .C【点评】本题考查了点的坐标及抛物线解析式的求法，在抛物线上寻找三角形相似的条件的方法.3. (2012秋？昌平

7、区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C(-4, 小,且在x轴上截得的线段 AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在y轴上确定一点 M,使MA+MC的值最小，求出点 M的坐标；(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在点N ,使得以N、A、B三点为顶点的三角形与 4ABC 相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.备用图【考点】二次函数综合题.【专题】综合题.【分析】(1)根据顶点坐标可得出抛物线的对称轴，结合 AB=6,可得出点A及点B的坐 标，设处抛物线的顶点式，代入点A的坐标即可得出抛物线的解析式；M,此时AB=BN 2,(2)作点A关于y轴的对

8、称点A ,可得A' (1.0),连接A'C交y轴于一点即点 MC+MA的值最小，求出直线 A'C的解析式，继而可确定点M的坐标.(3)首先判断出 ABC是等腰三角形，且顶角为120°,然后讨论，AB=AN 1,N3A=N 3B,依次求出点 N的坐标即可.【解答】 解：(1) ;抛物线的顶点坐标为 C (-4,加)，抛物线的对称轴为直线x= - 4. 抛物线在x轴上截得的线段 AB的长为6,.A (-1, 0), B (-7, 0 ),设抛物线解析式为 y=a (x+4) 2+-/s,代入点A坐标可得：0=a ( - 1+4) ?+M,解得：a=-全，9故二次函

9、数的解析式为：y=-Y5 (x+4) 2+J5.g(2)作点A关于y轴的对称点A',可得A' (1.0), 连接A'C交y轴于一点即点 M,此时MC+MA的值最小, 设直线CA'的解析式为y=kx+b ( kO),代入点A'、点C的坐标可得:则直线CA'的解析式为y=-W5x+立,55故点M的坐标为(0,(3)由(1)可知，C ( - 4,如)，设对称轴交x轴于点D,则AD=3 .在 RtAADC 中， tan/CAD=亚，AD 3 ./ CAD=30 °, . AC=BC , ./ ABC= / CAB=30 °. ./ A

10、CB=120 °, 如果AB=AN 1=6,过N1作E N1Xx轴于 巳 由 ABC ba N1 得/ BA N 1=120 °, 则/ EA N1=60°. N1E=3-/S, AE=3 . . A (T, 0 ), .OE=2 . 点N在x轴下方， 点 Ni (2, - 33), 如果AB=BN 2,由对称性可知 N2 ( - 10, 一又介)， 如果N3A=N3B,那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点 N.经检验，点Ni 一班)与N2 (T0,一又石)都在抛物线上.综上所述，存在这样的点N,使NABsabc,点N

11、的坐标为(2, 一国毒)或(-10,一 .【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及相似三角形的判定，综合考察的知识点较多，像此类综合题，要求同学们一步一步的来， 找准突破口，将所学的知识融会贯通.4. (2012?常德)如图，已知二次函数 尸。(k+2) (ax+b)的图象过点A (-4, 3), B 48(4, 4).(1)求二次函数的解析式：(2)求证：4ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点 P作PH垂直x轴于点H,是否存 在以P、H、D为顶点的三角形与 4ABC相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说 明理

12、由.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题；压轴题.【分析】(1)将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出 a、b的值，继而可得出函数解析 式；(2)根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出 AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；(3)分两种情况进行讨论，DHPsbca,PHDsbca,然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标.【解答】 解：(1)由题意得，函数图象经过点A ( - 4, 3), B (4, 4),(-4a+b)(4a+b)故二次函数关系式为：y= （x+2） （13x-20）.48(2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为(-2, 0),点

13、D坐标为(竺 0),13又点 A ( 4, 3), B (4, 4),AB=J (4+4) ?+(4-3) 2=V，AC=y( - 2+4) 4 (0-3)=V13,bc=7(4+2)4(40)2=2值，满足 ab2=ac2+bc2,. ACB是直角三角形.（3）存在点P的坐标，点P的坐标为（-瑞普或（-詈鬻设点 P 坐标为(x, (x+2) (13x20),贝 U PH= (x+2) (13x 20), HD=x+理,434813若DHPsbca,则正=更即AC BC-7T (x+2) (13X-20) 48解得：x=-且或x=25（因为点p在第二象限，故舍去）1313代入可得PH=,即Pi

14、坐标为（-13却选13 13若PHDsbca,则典=黑即BC AC4- (rl-2) (13x-20)48解得：x=-挈或x=段 （因为点P在第二象限，故舍去）.1313代入可得PH=3",即P2坐标为：（-2孕，里）.131313综上所述，满足条件的点P有两个，即Pi （-且!，/）、P2（-这，幽）.1I: I:I:I:【点评】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、 待定系数法求二次 函数解析式，同时还让学生探究存在性问题， 本题的第三问计算量比较大， 同学们要注意细 心求解.5. (2015怙海)如图，二次函数 y=ax2+bx-3的图象与x轴交于 A ( -

15、 1, 0), B (3, 0) 两点，与y轴交于点C.该抛物线的顶点为 M.(1)求该抛物线的解析式；(2)判断4BCM的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与 4BCM相似？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；(2)根据B、C、M的坐标，可求得 4BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾 股定理即可；(3)假设存在符合条件的 P点；首先连接AC,根据A、C的坐标及(2)题所得4BDC三 边的比例关系，即

16、可判断出点。符合P点的要求，因此以 P、A、C为顶点的三角形也必与 COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得 OP的长，也就得到了点 P的坐标.：(1).二次函数 y=ax2+bx 3的图象与x轴交于A (1, 0), B (3, 0)两点,a - b - 3=09a+3b 3-0解得：，声1b=- 2则抛物线解析式为y=x2- 2x - 3;(2) ABCM为直角三角形，理由为：对于抛物线解析式 y=x2-2x-3= (x-1) 2-4,即顶点M坐标为(1, -4),令 x=0 ,得到 y= - 3,即

17、C (0, - 3),根据勾股定理得：BC=3“2, BM=2加，CM=V2,- BM 2=BC2+CM2,. BCM为直角三角形；连接AC,. / AOC= / MCB=90 °,且aq aCO-BM，RtAAOCRtAMCB ,，此时P点坐标为(0, 0) .如图2,过A作APi± AC交y轴正半轴于 Pi ,图2 Rt CAP 1 Rt COA RtA BCM , ,OA OP1OC。卜1 OP即二一3 1，点 Pi (0, 1).3若P点在x轴上，则/ PCA=90 °,如图3,过C作CP2±AC交x轴正半轴于 P2,图3 Rt P2CAsRt

18、COA G/DRtA BCM ,A0= ACAC AP/日口 1国即；：,AP2=10,，点 P2 (9, 0).，符合条件的点有三个：O (0, 0), Pi (0,弓)，P2 (9, 0).,:l【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，(3)题中能够发现点 O是符合要求的P点，是解决此题的突破口.6. (2014?西宁)如图，抛物线y= -1x2+ex-2交x轴于A, B两点(点A在点B的左侧)， 4 2交y轴于点C,分别过点B, C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D,将4BDC绕点C逆时针旋转，使点 D旋转

19、到y轴上得到FEC,连接BF.(1)求点B, C所在直线的函数解析式；(2)求4BCF的面积；【分析】相似三角形的应用.(3)在线段BC上是否存在点P,使得以点P, A, B为顶点的三角形与 BOC相似？若存(1)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B,C的坐标，再根据待定系数法可得点 B,C所在直线的函数解析式；(2)根据勾股定理可得 BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；(3)存在.分两种情况讨论：过A作APix轴交线段BC于点Pi,则ABAPis BOC； 过A作AP2，BC,垂足点P2,过点P2作P2Q，x轴于点Q.则ABAP2sBC。；依此 讨论即可求解.【解答】解：(1)当y

20、=0时，-工2+2-2=0,42解得 x1=2, x2=4,.点A, B的坐标分别为(2, 0), (4, 0),当 x=0 时，y= - 2, .C点的坐标分别为(0, - 2),设直线BC的解析式为y=kx+b (kO),n t f b= - 2则*,l4k+b=0解得，2 .b=- 2,直线BC的解析式为y=，x-2;7(2) CD /x 轴，BD /y 轴， ./ ECD=90 °,点B, C的坐标分别为(4, 0), (0, -2),BC= VoB2+OC2=V42+22=2 ', FEC是由ABDC绕点C逆时针旋转得到， BCF 的面积=1bC?FC=1>2

21、V5>2/5=10;22(3)存在.分两种情况讨论：过A作APjx轴交线段BC于点Pi,则BAPisbOC,点A的坐标为(2, 0),点Pi的横坐标是2,点Pi在点BC所在直线上，y= L - 2= >2 - 2= - 1,22 点Pi的坐标为(2, - 1); 过A作AP2，BC,垂足点P2,过点P2作P2Q，x轴于点Q. . BAP2A bco ,，色迪色=也CO CB CO OB'-?-=-2 2言解得AP2=5AP2.COOBlAP2?BP=CO?BP2,/X=2BP2,5解得 BP2=-5-AB ?QP2=-AP2?BP2,224解得QP2=,5，点P2的纵坐标是

22、-, 5 点P2在BC所在直线上, 点P2的坐标为(卫，-), 55，满足条件的P点坐标为(2, - 1)或(型，-4).55【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点为：坐标轴上点的坐标特征，待定系数法可 求直线的函数解析式，勾股定理可，旋转的性质，三角形面积，分类思想，相似三角形的性 质，综合性较强，有一定的难度.7. (2015?鄂州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点 A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-W且经过A、C两点，与x轴的另一交点为2点B.(1) 直接写出点B的坐标； 求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点

23、，连接 PA, PC.求APAC的面积的最大值, 并求出此时点P的坐标.(3)抛物线上是否存在点 M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点 的三角形与ABC相似？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)先求的直线y=Jx+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为 y=y=a (x+4) (x- 1),然后将点C的坐标代入即可求 得a的值；(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-4m2-2m,然后利用三角形的面积公式可求得$ pac>PQ

24、>4,然后利用配方法可求得 APAC的面积的最大值以及此时 m的值，从而可求得点 P的坐标；(3)首先可证明 ABCs ACOsCBO ,然后分以下几种情况分类讨论即可：当M点与C点重合，即M (0, 2)时，/MAN BAC; 根据抛物线的对称性，当 M ( - 3, 2)时，MANABC ;当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系.【解答】 解：(1)y=2K+2当x=0时，y=2,当y=0时，x= -4,乙.C (0, 2), A (- 4, 0),由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-卫对称，2.点B的坐标为1,0). :抛物线 y=ax2+bx+c 过 A (-4, 0), B (1, 0),，可设抛物线解析式为 y=a (x+4) (x-1),又抛物线过点 C ( 0, 2),2= 4a一-