第六章 机械波 习题课选讲例题

1、例例 已知已知t = 0时的波形曲线为时的波形曲线为，波沿，波沿Ox 方向传播，方向传播，经经t =1/2 s 后波形变为曲线后波形变为曲线。已知波的周期。已知波的周期T 1 s，试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求A点的点的振动方程振动方程。解：解：m01. 0Am04. 011sm02. 02101. 0 txxuO波速：波速：s202. 004. 0uT1s2Ty/cmx/cm1 2345 61cmAO方法一：原点振动方程：原点振动方程：)cos(tAyO2)2cos(01. 0tyOy/cmx/cm1 2345 61cmAO)2cos(01.

2、 0tyO2)02. 0(cos01. 0 xty波动方程：波动方程：A点振动方程：点振动方程：2)02. 001. 0(cos01. 0tyAtyAcos01. 0y/cmx/cm1 2345 61cmAOA点振动表达式：点振动表达式：)cos(tAyAcosAA 初始条件：初始条件：0ttAyAcos01. 0cos)02. 001. 0(cos01. 0 xty波动表达式：波动表达式：2)02. 0(cos01. 0 xty方法二：y/cmx/cm1 2345 61cmAO机械波机械波机械波习题课选讲例题机械波习题课选讲例题m200)200250(cosxt2Ay 例例 一平面简谐波在一

3、平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图如图，设时刻的波形图如图，设频率频率 250 Hz，且此时，且此时 P 点的运动方向向点的运动方向向下下， 求求 ：( (1) )该波的波函数；该波的波函数；0Pv0220, 0vAyxt4解解x波向波向 轴轴负负向传播向传播Hz250yAO22A22Am100m/yAmx/OAP机械波机械波机械波习题课选讲例题机械波习题课选讲例题4)200250(cosxt2Ay)4500(cos,m100t5Ayx)4500(sin500ddt5Atyv （2）求）求在距原点在距原点 O 为为100 m 处质点的振动方程与处质点的振动方程与振动速度表达式振动速度表达式

4、.m200Hz25022Am100m/yAmx/OAP首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 解：解： *由图可看出由图可看出O点的点的振动超前于振动超前于B点点udt O O点的振动方程为点的振动方程为 00)(2cosudtAy 而这列波沿而这列波沿x轴正向传播轴正向传播0)(2cosuxudtAyouBxyd例例 设有一平面简谐波频率为设有一平面简谐波频率为 ，振幅为，振幅为A A以波速以波速u u沿沿x x轴正向传播，轴正向传播，已知波线上距原点为已知波线上距原点为d d的的B B点的振动方程为点的振动方程为)2cos(0tAyB试写出其波动方程。试写出其波动方程。首首 页页 上

5、上 页页 下下 页页退退 出出 波动方程为波动方程为 0)(2cosuxudtAyOO点的振动方程为点的振动方程为00)(2cosudtAy *若若B点在原点左边，即如下图，点在原点左边，即如下图，udt 此时此时O O点的振动落后于点的振动落后于B B点点ouBxyd首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出*若这列波沿若这列波沿x轴负向传播，且轴负向传播，且B点在原点的右方，点在原点的右方，0)(2cosuxudtAy则则* 若这列波沿若这列波沿x轴负向传播轴负向传播B点在原点的左方点在原点的左方0)(2cosuxudtAy则则oudBxyoudBxy 机械波机械波 平面简谐波平面简谐波

6、( (1) )以以 A 为坐标原点，写出波函数为坐标原点，写出波函数m10 uTm1032As5 . 0T0m)105 . 0(2cos1032xty)(2cosxTtAyuABCD5 m9 mxO8 m 例例 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播沿直线传播, 波波线上点线上点 A 的简谐运动方程的简谐运动方程 .s/m20um)4cos(1032tyA 机械波机械波 平面简谐波平面简谐波ABABxx 21052Bm)4cos(1032tyBm)105 . 0(2cos1032xty( (2) )以以 B 为坐标原点，写出波函数为坐标原点，写出波函数.uABCD5 m9 mxO8

7、mm)4cos(1032tyA 机械波机械波 平面简谐波平面简谐波( (3) )写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐运动方程的简谐运动方程.uABCD5 m9 mxO8 m点点 C 的相位比点的相位比点 A 超前超前m)24cos(1032ACtyCm)5134cos(1032t点点 D 的相位落后于点的相位落后于点 A m)594cos(1032tm10m)4cos(1032tyAm)24cos(1032ADtyD 机械波机械波 平面简谐波平面简谐波uABCD5 m9 mxO8 m( (4) )分别求出分别求出 B、C ，C、D 两点间的相位差两点间的相位差.4 . 41022

8、22DCDCxx6 . 110822CBCBxxm10m)4cos(1032tyA机械波机械波机械波习题课选讲例题机械波习题课选讲例题uttyAxOA)2cos(tAyO 例例 一简谐波沿一简谐波沿 Ox 轴轴正正向传播，已知振幅、频率向传播，已知振幅、频率和速度分别为和速度分别为A, , u，设，设 t = t 时的波形曲线如图所示，时的波形曲线如图所示，求求 ：( (1) ) x 0 处质点振动方程；处质点振动方程；( (2) )该波的波函数该波的波函数. t2222t000,vyxtt2)(2costtAyO2)(2cosuxttAy（2）波）波函数函数v解（解（1）机械波机械波机械波习

9、题课选讲例题机械波习题课选讲例题 例例 一简谐波沿一简谐波沿 Ox 轴轴正正向传播，向传播， = 4 m，T = 4 s， 已知已知 x = 0 点振动曲线如图所示，点振动曲线如图所示，求求: : （1） x = 0 点振点振动方程；动方程；（2）波函数波函数 .2m10/2y222s/ tO)42cos(1022tyO3)44(2cos1022xty波函数波函数020,0vAyxtyoA32A机械波机械波机械波习题课选讲例题机械波习题课选讲例题 例例 S1、S2 为两相干波源，它们的振动方向均垂直为两相干波源，它们的振动方向均垂直于画面并发出波长为于画面并发出波长为 的简谐波，的简谐波，P

10、点是两列波相遇区点是两列波相遇区域中的一点，距离如图，域中的一点，距离如图，P 点发生相消干涉，点发生相消干涉， S1 的振动的振动方程为方程为 . 求求 S2 的振动方程的振动方程.)22cos(1tAy)2cos(2tAy)4212cos(1tAyP)4 . 42cos(2tAyP)5 . 3()4 . 4()1 . 02cos(2tAy)9 . 12cos(2tAy9 . 11 . 0解解*22 . 2P*S1S2机械波机械波机械波习题课选讲例题机械波习题课选讲例题 例例 两相干波源位于同一介质中的两相干波源位于同一介质中的 A、B 两点两点, 其其振幅相同振幅相同, 频率皆为频率皆为

11、100 Hz, B 比比 A 的相位超前的相位超前 ，若若 A、B 相距相距 30.0 m , 波速为波速为 400 m/s , 试求试求 AB 连线连线上因干涉而静止的点的位置上因干涉而静止的点的位置 .解解 （1）A 点左侧点左侧142ABABrr全部加强全部加强（2）B 点右侧点右侧162ABABrr全部加强全部加强（3）A、B 两点间两点间) 12()30(2kxxABABm4u)7,2, 1,0( m)215(kkx*ABxm30 xx30o例例 AB为两相干波源，振幅均为为两相干波源，振幅均为5 cm，频率为，频率为100 Hz，波速为，波速为10 m/s。A点为波峰时，点为波峰时

12、，B点恰为波谷，点恰为波谷，试确定两列波在试确定两列波在P点干涉的结果。点干涉的结果。解：解：m25m152022BPm1 . 0u设设A比比B超前超前 BA1 . 0152522APBPAB201反相位反相位P点静止点静止15mABP20m0A振幅振幅首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例 s1 、s2是两相干波源，相距是两相干波源，相距，s比比s的周相超前的周相超前，设，设两波源在两波源在s、s的连线上的强度相同且不随距离变化，问的连线上的强度相同且不随距离变化，问s1 、s2的连线上，的连线上，s1外侧各点的合成强度如何？外侧各点的合成强度如何？s2外侧各点的强度又如何？外侧各

13、点的强度又如何？解：解：1 1、设设p p为为 外侧的一点，且有外侧的一点，且有1s221421 rr21212rr 则则422（干涉相消）（干涉相消）4x1s2sP1r2r首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出P P点的合点的合振幅为零，振幅为零，0pI2 2、设、设Q Q为为外侧的一点，外侧的一点，2s4/2/1 rr则则/2/1212rr 042204IIQ4x1s2sQ/2r/1r首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解：（解：（1） 1 = 2 ，在，在BC间取一间取一P点点(如图如图)BP = r1 = x CP = r2 = 30 x 例例 B、C为处在同一媒质中相距

14、为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们的两个相干波源，它们产生的相干波波长都为产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下，且振幅相同。求下列两种情况下，BC 连线上因干涉而静止的各点的位置：连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C 两波源的两波源的初相位角初相位角 1 = 2 ；（2）B 点为波峰时，点为波峰时，C点恰为波谷。点恰为波谷。xCBPx30 x2)12(21krr由题意，应有由题意，应有代入数值代入数值2424) 12()30(kkxx首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 x = 2k +16 k = 0, 1, 2, x = 0, 2, 4, ,

15、30m为静止点为静止点(x = 0, 30为波源为波源)（2）B点为波峰时，点为波峰时，C点恰为波谷，说明点恰为波谷，说明 1 2 = )()(1222121krr)()(12302kxx x = 1, 3, 5, , 29m为静止点为静止点。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例 如图所示，两列相干平面简谐横波，在两种不同的媒质中传如图所示，两列相干平面简谐横波，在两种不同的媒质中传播，并在分界面上的点相遇频率播，并在分界面上的点相遇频率v100 ，振幅，振幅AB1.00102，的位相比的位相比B的位相超前的位相超前 2在媒质在媒质中波速中波速400 /， 在媒质中的波速在媒质中的

16、波速500 /，4.00，BB3.75，求点的合振幅。，求点的合振幅。 rArBPSASBAAAAurv20解：解：BBBBurv20)2()2(00AAABBBABurvurv)(22BBAAururv0)50075. 340000. 4(10022首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 B2.00102 12122122212cos2rrAAAAA例例 两相干波源两相干波源S1和和S2的间距为的间距为d = 30 m，且都在，且都在x轴轴上，上，S1位于原点位于原点O。设由两波源分别发出两列波沿。设由两波源分别发出两列波沿x 轴传播，强度保持不变。轴传播，强度保持不变。x1 = 9

17、m和和 x2= 12 m处的两处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波长和两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波长和两波源间最小相位差。波源间最小相位差。解：解：设设S1和和S2的振动相位分别为：的振动相位分别为：12) 12(2)(21112kxxdx1点的振动相位差：点的振动相位差：OS1S2x1x2dx（1）)32(2)(22122kxxdx2点的振动相位差：点的振动相位差：（2）-（1）2)(412 xxm6m)912(2)(212xx由（由（1）式）式)2(2) 12(112xdk)52(kk = -2，-3时相位差最小时相位差最小12OS1S2x1x2dx（2）例例 在弦线上

18、有一简谐波，其表达式为：在弦线上有一简谐波，其表达式为：)SI(3)2002. 01(2cos100 . 221xy 为了在此弦线上形成驻波，并且在为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。解：解：)2002. 0(2cos100 . 222xty反向波反向波)302. 04(21cos)3202(21cos100 . 4221txyyy因为因为x = 0处为波节处为波节 2)3(213434)2002. 0(2cos100 . 222xty)302. 04(21cos)3202(21cos100 . 4

19、221txyyy物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波* 6 6 多普勒效应多普勒效应 例例 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为为 的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为为 . 已知空气中的声速为已知空气中的声速为 ， 求求车速车速 . kHz100kHz1101ms330u0v解解 （1）车为接收器车为接收器uu0v（2）车为波源车为波源svuus0vvuu车速车速1s0hkm8 .56

20、uvv例例 火车以火车以20 m/s的速度行驶，若机车汽笛的频率为的速度行驶，若机车汽笛的频率为500 Hz，问：（，问：（1）一静止观察者在机车前和机车后）一静止观察者在机车前和机车后所听到的声音频率各为多少？（所听到的声音频率各为多少？（2）设另有一列火车）设另有一列火车上有乘客，当该列火车以上有乘客，当该列火车以10 m/s 的速度驶近或驶离的速度驶近或驶离第一列火车，乘客听到的声音频率各为多少？（已第一列火车，乘客听到的声音频率各为多少？（已知空气中声波的速率为知空气中声波的速率为340 m/s。）。）解：解：Hz531Hz20340500340svuu前Hz472Hz20340500

21、340svuu后s0vvuu Hz547Hz5002034010340s0vvuu近Hz458Hz5002034010340s0vvuu远机械波机械波机械波习题课选讲例题机械波习题课选讲例题 例例 一平面机械波沿一平面机械波沿 x 轴轴负负方向传播方向传播, 已知已知 x 1 m 处质点的振动方程为处质点的振动方程为 ，若波速为，若波速为u 求求此波的此波的波函数波函数.)cos(tAy)cos(tAym1xtut)1(u)(cosuuxtAy)(cosuxtAy波函数波函数解解首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出)2cos(tAy例例 一列平面简谐波以波速一列平面简谐波以波速 u 沿沿 x 轴正方向传播，波长为轴正方向传播，波长为 。已知在已知在x0处的质元振动表达式处的质元振动表达式为为 试写出波动方程。试写出波动方程。2)(cosuxudtAy222cosxdtA将将 代入，有代入，有20 xd2222cosxtAy解：解：或者由原点的位相超前为或者由原点的位相超前为d2所以向正方向的波动方程为所以向正方向的波动方程为