一元二次不等式恒成立问题

1、一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 恒成立问题恒成立问题 学习目标学习目标1 能运用三个能运用三个“二次二次”的关系解决的关系解决与不等式与不等式有关的问题有关的问题； ；2掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法。 。判别式判别式=b2- 4acy=ax2+bx+c(a0)的图象的图象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集0有两相异实有两相异实根根x1, x2 (x1x2)x|xx2x|x1 x x2 =02时，则0，有2a6；(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-

2、6)当a2时，则a的值不存在；综上，所求综上，所求a的取值范围为的取值范围为a|2a6. 若不等式若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 的解集是全体实数的解集是全体实数(或恒成立或恒成立)的等的等价条件是价条件是；2、不等式不等式 ax2bxc0 的解集是全体实数的解集是全体实数(或恒成立或恒成立)的等价条件的等价条件是是；3、一元二次、一元二次不等式不等式 ax2bxc0 的解集是全体实数的解集是全体实数(或恒成立或恒成立)的等的等价条件是价条件是；4、不等式不等式 ax2bxc0 的解集是全体实数的解集是全体实数(或恒成立或恒成立)的等价条件的等价条件是是；通

3、过对上述问题的探究，我们可得到以下结论：通过对上述问题的探究，我们可得到以下结论：达标检测达标检测 A1.若关于若关于x的不等式的不等式(a2)x22(a2)x40的解为一的解为一切实数，则切实数，则a的取值范围为的取值范围为()A(2,2 B2,2 C(，2)2，) D(，2)(2，)2.不等式不等式 ax22ax(a2)0 的解集是的解集是，则实数，则实数 a 的取值范围的取值范围是是_( -1 ,0 则问题转化为则问题转化为mg(x)min解：解：m- -2x2+9x在区间在区间2，3上恒成立，上恒成立，（1）变量分离法）变量分离法(分离参数分离参数)例例5. 关于关于x的不等式的不等式

4、 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m2( )29 ,2,3,g xxx x 记min( )(3)9,gxg 9.m 【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题为解关于参数的不等式的问题问题等价于问题等价于f(x)max0,解：构

5、造函数解：构造函数2( )29,2,3,f xxxm x 2981( ) 2(),2,3,48f xxmx max( )(3)90,fxfm 9.m23y.xo（2）转换求函数的最值）转换求函数的最值例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m(2)0(3)0ff 则则10090mm 解：构造函数解：构造函数2( )29,2,3,f xxxm x9.m23y.xo例例5. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9

6、m（）数形结合思想（）数形结合思想二、例题探究二、例题探究2( )1, ( )0f xaxaxxR f xa例1、已知二次函数且对于任意的恒成立求 的取值范围2( )1, ( )0f xaxaxxR f xa变式1、已知二次函数且对于任意的恒成立求 的取值范围2( )2,( )1f xaxaxxR f xa变式2、已知且对于任意的恒成立求 的取值范围二、例题变形2( )1,( )2f xaxaxxRf xa变式3、已知且对于存在一个使得成立，求 的取值范围2( )(2)1, ( )( )f xaxaxxR f xg xa变式4、已知g(x)=2x且对于任意的恒成立,求 的取值范围1、 若 对

7、于 任 意 的 xM,均 有f(x)m恒 成 立 ， 则 只 需 ：2、若对于任意的xM,均有f(x)m恒成立，则只需：max( )f xmmin( )f xmmax( )f xmmin( )f xm3、若存在xM,使得f(x)m成立，则只需：4、若存在xM,使得f(x)m成立，则只需：三、知识小结四、知识拓展基础知识点复习2( )2(1)0,1(2)2,3(3)0,5f xxxaxxxx若，求 在以下区间时，f(x)的最值22( )2,0,5 ,( )4 ,1,3f xxxa xg xxx x若12120,5 ,1,3( )( )xxf xg xa1、若对任意的任意的均有，求的取值范围121

8、20,5 ,1,3( )()xxf xg xa2、若对任意的存在使得，求 的取值范围五、代表例题12120,5 ,1,3( )( )xxf xg xa3、若存在对任意的都有，求的取值范围12120,5 ,1,3( )()xxf xg xa4、若存在存在使得，求 的取值范围22( )2,0,5 ,( )4 ,1,3f xxxa xg xxx x若 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于m - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数x 的取值范围是的取值范围是_.2( )2)2(2)4(g mmxmx22(2 )244xx mxx( 1)0(1)0

9、gg13xx 或或2( )(2)44g axaxx( 1)0(1)0gg 此题若把它看成关于此题若把它看成关于x的二次函数的二次函数,由于由于a, x都要都要变变,则函数的最小值很难求出则函数的最小值很难求出,思路受阻思路受阻.若视若视a为主元为主元,则给解题带来转机则给解题带来转机.（三）逆向问题（三）逆向问题题型与解法题型与解法220axbx1 1(,2,3)例例2.已知不等式的解集为求求a-b 的值的值.220axbx1 1(,2,3)解法一：解法一：不等式不等式的解集为的解集为220axbx1 1,2 3方程方程的两根为的两根为1120,42120.93abab12,2.ab 得10.

10、ab （三）逆向问题（三）逆向问题题型与解法题型与解法220axbx1 1(,2,3)例例2.已知不等式的解集为求求a-b 的值的值.220axbx1 1(,2,3)解法二：解法二：不等式不等式的解集为的解集为220axbx1 1,2 3方程方程的两根为的两根为11,23112()( ),23baa 12,2.ab 得10.ab 由韦达定理得由韦达定理得（三）逆向问题（三）逆向问题题型与解法题型与解法220axbx1 1(,2,3)例例2.已知不等式的解集为求求a-b 的值的值.（三）逆向问题（三）逆向问题题型与解法题型与解法220axbx1 1(,2,3)例例2.已知不等式的解集为求求a-b

11、 的值的值.220axbx1 1(,2,3)解法三：解法三：不等式不等式的解集为的解集为12,2.ab 10.ab 211(2)()()23axbxa xx2,6,6aab由待定系数法得由待定系数法得2,66aaaxx （三）逆向问题（三）逆向问题题型与解法题型与解法变式训练变式训练21 | 32xx 1.下列不等式中，解集为实数集下列不等式中，解集为实数集R的是（的是（ ）2(1)0 x (B)| 0 x 3|8| 0 x 0322 xx(A)(C)(D)012,022aaxxa不等式时2.当当的解是（的解是（ ）axax43或axa43axa34(A)(B)(C)(D)axa43DC课堂练习课堂练习3.（1）不等式）不等式ax2+bx+20的解集是的解集是x|-1/2x1/3，则，则a+b= . （2）关于）关于x不等式不等式ax2+bx+c0的解集是的解集是x|x-2或或x1/2，则关于，则关于x的不等式的不等式ax2-bx+c0的解集为的解集为 . 对于任意实数对于任意实数x，ax2+4x-1-2x2-a，对，对于任意实数