牛顿与莱布尼茨

1、牛顿与莱布尼茨伊萨克.牛顿，1643年1月4日生与英格兰的乌兰索普镇，在牛顿诞生前不久他的父亲就离开了人间。1660年，17岁的牛顿进入剑桥大学，1665年毕业与该校并获得学士学位，1668年获得硕士学位，1669年他继承了巴罗的职位，同时计划出一本关于导数和级数的论著，其中包括微积分基本定理，但是这份手稿一直没有发表，到他去世之后才付印。后来以流数理论著称，牛顿把导数考虑为一种速度，称之为流数，1687年，他的主要著作自然哲学的数学原理（以下简称原理）出版。在这本名著中，牛顿证明了：天体的运动可以由运动定律（力等于动量对时间的导数）和引力定律推导出来。原理在物理和数学的结合方面取得了首次巨大

2、的成就，其后被许多人继承，几乎有三百年之久。牛顿在16651666年写出了曲线求积论，而在1670年写出了题为流数术和无穷级数方法及其对几何曲线的应用的论文，这两部著作相当迟才出版，前者在1704年出版，后者在牛顿去世后，于1736年出版。牛顿在这两部著作中叙述了数学分析的方法。在这两部著作中和牛顿同时代人莱布尼茨的著作中，建立和完善了无穷小量的经典分析，也就是完成了微积分学。牛顿的数学分析的基本概念是力学概念的反映。连最简单的几何图形线、角、体，都被牛顿看作是力学位移的结果。线是点运动的结果，角是它的边旋转的结果，体是表面运动的结果。牛顿认为变量是运动着的点。牛顿把任何量都叫做流动量。至今我

3、们还用术语“流动点”表示坐标连续变化的点，即运动着的点。因为任何运动都离不开时间，所以牛顿总是将时间作为自变量。运动的速度，对我们说来是导数，牛顿把它叫做流数，并用一个点表示，如果流动量为x，那么流数是流动量对时间的导数，现在我们用dx / d t表示。牛顿考虑了两种类型的问题：在第一种类型的问题中，给出联系一些流动量的关系式，要求找出联系。这些流动量和它们的流数的关系式。这自然等价于微分；在第二中类型的问题中，给出联系一些流动量和它们的流数的关系式，要求找出仅仅联系这些流动量的关系式。这是逆问题，等价于解微分方程。牛顿完全明白这两种运算的互逆性，解决了正问题和逆问题，并把它们的解用到大量的几

4、何问题与力学问题上去。牛顿还研究了函数的极大值和极小值，曲线的切线，曲线的曲率、拐点、凹凸性等问题，他还给出了对代数方程和超越方程都适用的方程实根的近似值求法，这方法现在称为牛顿法。牛顿最伟大的著作是他的原理，在原理中第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的力学体系和完整的数学公式，这是科学史上最有影响、享誉最高的著作。在爱因斯坦的相对论出现之前，这部著作是整个物理学和天文学的基础。牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一，像莱布尼茨这样作出了杰出贡献的人也评价道：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”拉格朗日称他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人，因为宇宙体系只能被发

5、现一次。英国著名诗人波普（Pope）是这样描述这位伟大的科学家的：自然和自然的规律，沉浸在一片混沌之中，上帝说，生出牛顿，一切都变得明朗。但是，牛顿本人却很谦虚，他说：“我不知道世间把我看成什么人，但是对我自己来说，就像一个海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而我前面是未被发现的真理的大海。”戈特弗里德?威廉?莱布尼茨（16461716），1646年6月21日出生在德国莱比锡，他的父亲是莱比锡大学的道德哲学教授。莱布尼茨15岁进入莱比锡大学，学习法律。在答辩了关于逻辑的论文之后，得到哲学学士学位。1666年他写了论文论组合的艺术，这就完成了他在阿尔特道央大学的

6、博士论文，并使他获得教授席位。1670年和1671年他写了第一篇力学论文。1672年他出差到巴黎，使他接触到数学家和自然学家，激起了他对数学的兴趣。他自己说过，直到1672年他还基本上不懂数学。莱布尼茨研究了巴罗的著作之后，意识到微分和积分的互逆关系。他认识到，求曲线的切线依赖于纵坐标和差值与横坐标的差值之比（当这些差值变成无限小时），而求面积则依赖于横坐标的无限小区间上的无限窄的矩形面积之和。并且这种求差与求和的运算是互逆的。莱布尼茨的微分学是把微分看作变量相邻二值的无限小的差，而积分概念是以变量分成无穷多个微分之和的形式出现。莱布尼茨从1684年起发表微积分论文。在1684年的博学学报上他

7、发表了一篇题为一种求极大值与极小值和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。这是历史上最早公开发表的关于微分学的贡献。在这篇论文中，他简明地解释了他的微分学。文中给出了微分的定义，函数的加、减、乘、除以及关于乘幂的微分法则，关于二阶微分的概念，以及关于微分学对于研究极值、作切线、求曲率及拐点的应用。他所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到今天。它使得微分运算几乎是机械的，而在这以前人们还不得不对每一个个别情况采用取极限的步骤。值得庆幸的另一点是，莱布尼茨引入了一套设计得很好的，令人满意的符号。莱布尼茨的符号具有独到之处。他不但为我们提供了今天还在使用

8、的一套非常灵巧的微分学符号，而且还在1675年引入了现代的积分符号，用拉丁字Summa（求和）的第一个字母S拉长了表示积分。但是“积分”的名称出现得比较迟，它是由J?伯努利提出的。莱布尼茨关于积分的第一篇论文发表于1686年。他得到的积分法有：变量替换法、分部积分法、利用部分分式求有理式的积分法等莱布尼茨是数学史上最伟大的符号学者。他在创造微积分的过程中，花了很多时间去选择精巧的符号。他认识到，好的符号可以精确、深刻地表述概念、方法和逻辑关系。、他曾说：“要发明就得挑选恰当的符号。要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表示或比较忠实的描绘事物的内在的本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。”现在微积分学的基本符号基本都是他创造的。这些优越的符号为以后分析学的发展带来了极大的方便。另外，莱布尼茨对中国的科学文化和哲学思想十分重视。1696年他编辑出版了中国新事萃编一书。在该书的序言中，他说：“中国和欧洲各居世界大陆的东西两端，是人类伟大的教化和灿烂的文明的集中点。”他主张东西方应在文化，科学方面互相学习，平等交流。他曾写了一封长达4万字的信，专门讨论中国的哲学。信的最后说到伏曦的符号，易经中的64个图形与他的二进制，他说中国许多伟大的哲学家“都曾在这64个图形中寻找过哲学的秘密，这恰恰是二进制算术。这种算术是这位伟大的创造者（伏曦）所掌握而几千