第三节微积分基本公式

1、第三节微积分基本公式积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题，我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题如果我们要按定积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键我们知道，不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念但是，牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系即所谓的“微积分基本定理”，并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径一一牛顿-莱布尼茨公式从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科一一微积分学牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册分布

2、图示牛顿-莱布尼兹公式的几何解释引言引例积分上限函数的导数例2-3例6原函数存在定理积分上限函数例1例4例5例7牛顿-莱布尼兹公式例8-9例10例11例12例13例14例15例16例17内容小结课堂练习习题5-2返回内容要点一、引例x二、积分上限的函数及其导数：:(x)二f(t)dta定理2若函数f(x)在区间a，b上连续，则函数xG(x)=f(t)dtba就是f(x)在a,b上的一个原函数.三、牛顿一莱布尼兹公式定理3若函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则bf(x)dx=F(b)-F(a).(3.6)a公式(3.4)称为牛顿一莱布尼茨公式例题选讲积分上限的函数及其导数

3、例1(E01)求右图中阴影区域的面积解由题意，得到阴影区域的面积二2-sec?xdx亠I2-：；1-x2dx_4阴影区域的面积二2-sec?xdx亠I2-：；1-x2dx_4002-2dx-secxdx'T-4112°dx亠ixdxjr=_tanx2_43x+3例2(E02)求'cos'tdt.dx解cos2tdt=cosx.dx2例2(E02)求'cos'tdt.dx解cos2tdt=cosx.dx2例3(E03)求例3(E03)求ALecBn里这ALecBn里这x3的函数，因而是x的复合函数，令u2x3=u,则沪(u)etdt,根据复合函数

4、求导公式，有dx3dx3e'dtu2e3x2=3x2ex例4设f(x)是连续函数，试求以下函数的导数sinxf(t)xx(1)F(x)=Cosxedt；(2)F(x)=J0xf(t)dt；(3)F(x)=f(xt)dt.解(1)F(x)-ef(sinx)cosxef(cosx)sinx.xx因为F(x)=x°f(t)dt,所以F(x)二xf(x)of(t)dt.x0x因为F(x)=of(xt)dtu=x-t-%f(u)du=of(u)du.，所以，F(x)=f(x).例5(E05)设函数y=f(x)由方程y20dyetdt亠isintdt=0所确定.求翌.0xdx解在方程两边

5、同时对x求导:解在方程两边同时对x求导:2：12水+2)7丽tdt=OdxJ0丿dAx丿于是_±y2et2dt色Fsintdt=Odyi0丿dxdx丿4ey(2y).少-(_sinx)=0dxdxA2yey例6(E04)求limx_1e丄2dtcosxx2分析:这是0型不定式0，应用洛必达法则dxcosxft1ed"dtcoxsximx2dcosx+2dx12_cosx-e_t2dedt(cosx)-co2x2x设f(x)在(_：,；)内连续，且=sinx2e"ej2d2_cosxeu-c0)6f(x)0.证明函数(cox)xtf(t)dtF(x)二xf(t)dt

6、在(0,；)内为单调增加函数x证因为dx0tf(t)dt=xf(x),x证因为dx0tf(t)dt=xf(x),dx0x(t)dt二f(x),xxf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt所以F(x)0亠X0f(t)dtX0f(t)dtXf(t)dtf(x)0(x0),x.Qf(t)dt0,(x-t)f(t)0,F(x)0(x0).故F(x)在(0,：)内为单调增加函数.牛顿一莱布尼兹公式12例8(E06)求定积分x2dx.L0是x2的一个原函数，由牛顿31（E07）求dx.bx当x:：0时，1的一个原函数是x10设f(x)=«'2x-莱布尼茨公式得：1ln|x|，以dx=l

7、n2仁X/求0f(x)dx.12dx3xdx=一|x_13_2二In1-In2-In2.f（x）=5,则由定积分性质得：如图（见系统演示），在1,2上规定:当x=1时,212°f(x)dx=of(x)dx亠if(x)dx212°f(x)dx=of(x)dx亠if(x)dx1212xdx亠i5dx二6.011例11(E08)计算°|2x-1|dx.1-2x,解因为|2x-1|=2x-1,XJ21x-2所以1|2x-1|dx二01/212(12x)dx+(2x1)dx=(xx)1勺/21/220+(xx)1/27732.1-cosxdx.-：2二/321-cosxdx

8、例12求定积分解/2：-:/3-二/22二/30二/3sinxdx=|sinx0x-sinxdx亠isinxdx2./2./2-0二cos二/3022求maxx,xdx.-2解由图形（见系统演示）可知例13(E09)x2,f(x)=maxx,x2=x,?2,-2_x：00_x：11_x-22202122Imaxx,xdx二xdx亠ixdx亠ixdx01112例14（E10）计算由曲线y=sinx在x=0,解如图（见系统演示）,根据定积分的几何意义，所求面积A为A=sinxdx二-cosx*0x二-：之间及x轴所围成的图形的面积A.3T0二-cosM(-cos0)二2.:=-5m/s刹车问从开始

9、刹车到停车,汽车驶过了多少距离？解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间设开始刹车的时刻为t=0,此时汽车速度为vo=36km/h二361000m/s=10m/s.3600刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)=v0+at=10_5t.当汽车停住时，速度v(t)=O,故由v(t)=105t=0=t=10/5=2(s).于是这段时间内，汽车所驶过的距离为22t22s=(v(t)dt=(105t)dt=0t5汉一=10(m).002卫即在刹车后，汽车需驶过10m才能停住.例16(E11)设函数f(x)在闭区间a，b上连续，证明在开区间(a，b)内至少存在一点'，b使f(x)dx=f()(b-a)(a.；："；：b).a证因f(x)连续，故它的原函数存在，设为F(x),即设在a,b上F'(x)=f(x).b根据牛顿-莱布尼茨公式，有af(x)dx=F(b)-F(a).因此按微分中值定理，在开区显然函数F(x)在区间a,b上满足微分中值定理的条件间(a,b)内至少存在一点',使F(b)-F(a)=F'()(b-a),(a,b),b故f(x)dx=f()(b-a