第5章 卡方检验 73

1、第第五章五章2 检验检验本章介绍本章介绍对对分类次数资料分类次数资料进行进行适合适合 性检验性检验和和独立性检验独立性检验的的 2检验法。检验法。ni=1第一第一节节 2分布分布及及 2统计数统计数一、一、 2（chi-square）分布）分布若若n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量X1，X2，Xn ，均服，均服从标准正态分布，则这从标准正态分布，则这n个服从标准正态分布的随个服从标准正态分布的随机变量的平方机变量的平方和和 Y= Xi2构成一新的随机变量，构成一新的随机变量，其分布规律称为其分布规律称为 2分布（分布（chi-square distribution），），其中参数其中参

2、数 n 称为自由度，自由度不同就是不同的称为自由度，自由度不同就是不同的 2分布。分布。卡方分布是一种卡方分布是一种连续连续型型分布：按分布的密度函分布：按分布的密度函 数可给出自由度数可给出自由度=1=1，2 2，33的一簇分布曲线的一簇分布曲线卡方分布的特征卡方分布形状依赖于自由度卡方分布形状依赖于自由度n；当自由度当自由度n2时，曲线呈时，曲线呈L型；型；随着随着n的增加，曲线逐渐对称；的增加，曲线逐渐对称；当自由度当自由度n时，曲线逼近于正态曲线；时，曲线逼近于正态曲线；卡方分布曲线下右侧尾部的面积为卡方分布曲线下右侧尾部的面积为 时，横时，横 轴上相应的卡方值，记为轴上相应的卡方值，

3、记为 n，如果如果 n，曲线下面积小于，曲线下面积小于 ；反之则大于；反之则大于 2022-5-55医 学 统 计 学00.10.20.30.40.5024681012141622()f1610 2检验是现代统计学的创始人之一，检验是现代统计学的创始人之一，英国人英国人 Karl . Pearson于于1900年提出的年提出的一种具有广泛用途的统计方法一种具有广泛用途的统计方法。卡方检验卡方检验(chi-square test)(chi-square test)二二、统计数的意义统计数的意义2豌豆花色遗传中，红花和白花是受一豌豆花色遗传中，红花和白花是受一 对等位基因控制的一对相对性状，杂对等

4、位基因控制的一对相对性状，杂交交F F2 2植植 株的理论比例为株的理论比例为红红: :白白=3:1=3:1。孟德尔（孟德尔（18651865）在杂交在杂交F2F2群体中随机调群体中随机调 查了查了929929株，其中株，其中705705株为红花，株为红花，224224株为白株为白花花。这一结果是否符合。这一结果是否符合3:13:1的理论比例。的理论比例。若符合理论比例若符合理论比例（红（红: :白白= =3:13:1）， 929929株中株中的红花株数应为的红花株数应为：9299293/4=3/4=696.75696.75株株（实际（实际705705株）株）白花株数应为白花株数应为：9299

5、291/4=1/4=232.25232.25株株（实际实际224224株株）实际观察次数与理论次数有差异实际观察次数与理论次数有差异，各相差各相差8.258.25株株产生这种情况有两种可能：一种是红花植株产生这种情况有两种可能：一种是红花植株 与白花植株的比例不符合与白花植株的比例不符合3:13:1；另一种是符合；另一种是符合3:13:1， 实际出现的实际出现的705:224705:224是抽样误差造成的。是抽样误差造成的。到底属于哪种情况到底属于哪种情况 ，需寻求合适的统计数，需寻求合适的统计数 进行统计分析，即进行显著性检验。进行统计分析，即进行显著性检验。表表6-16-1豌豆杂交豌豆杂交

6、F F2 2花色分离的实际观察次数与理论次数花色分离的实际观察次数与理论次数从表中可见，从表中可见，理论数与实际数存在差别理论数与实际数存在差别。 如果如果原原假设成立的假设成立的话话，这种差别属于抽样误差，应该不会很大，这种差别属于抽样误差，应该不会很大； 反之反之，如果这，如果这种差别很悬殊，种差别很悬殊，则因该怀疑原假设不成立则因该怀疑原假设不成立。 如何评价如何评价“悬殊悬殊”与与“不悬殊不悬殊”？ 卡方检验卡方检验花花色色实际观察次数实际观察次数（A A）理论次数理论次数（T T）A AT T( (A AT T) )2 2/ /T T红红色色705(705(A A1 1) )696.

7、75(696.75(T T1 1) )8.258.250.09770.0977白白色色224(224(A A2 2) )232.25(232.25(T T2 2) )8.258.250.29310.2931合合计计9299299299290 00.39080.3908先将先将A A1 1T T1 1、A A2 2T T2 2平方，然后再求和，即平方，然后再求和，即。数值的大小可用来表示实际观数值的大小可用来表示实际观察次数与理论次数的相差程度察次数与理论次数的相差程度 。计算计算 ( A T )2( A T )2用用 ( A T )2 来表示实际观察次数与理论次数来表示实际观察次数与理论次数

8、的相差程度还存在一个问题的相差程度还存在一个问题。例如例如，上述两组的，上述两组的实际观察次数与理实际观察次数与理 论次数的差数的绝对值都是论次数的差数的绝对值都是8.258.25， ( A T )2 都是都是68.062568.0625，但二者显然不能，但二者显然不能相提并论。相提并论。 红花组是相对于理论次数红花组是相对于理论次数696.75696.75，相差相差8.258.25；白花组是相对于理论次数白花组是相对于理论次数232.25232.25，相，相差差 8.258.25。2= =2i iTi( A T )ki122统计学家统计学家K. Pearson（1900）发现，对于间断型次）

9、发现，对于间断型次 数资料由下式定义的数资料由下式定义的 ，近似地服从自由度，近似地服从自由度为为 df k 1的连续型随机变量的连续型随机变量 分布。分布。（6-16-1）i表示每一个分类都进行求和2 是度量实际观察次数与理论次数偏离程是度量实际观察次数与理论次数偏离程 度的一个统计数。度的一个统计数。如果如果原原假设成立假设成立，实际数与理论数的差距应该，实际数与理论数的差距应该较小较小，按照上式计算的卡方值因该接近，按照上式计算的卡方值因该接近0 0，如果如果卡方值远离卡方值远离0 0则应该拒绝原假设；则应该拒绝原假设； 可见卡方检验的基本原理就是分析可见卡方检验的基本原理就是分析实际频

10、数实际频数与与根据假设构建的根据假设构建的理论频数理论频数间的间的吻合程度吻合程度（拟合（拟合度度）。对于上述豌豆花色的调查结对于上述豌豆花色的调查结果果可计算得可计算得：2696.75232.25Tii1( A T )2(705 696.75)2(224 232.25)20.39082 ii花花色色实际观察次数实际观察次数（A A）理论次数理论次数（T T）A AT T( (A AT T) )2 2/ /T T红红色色705(705(A A1 1) )696.75(696.75(T T1 1) )8.258.250.09770.0977白白色色224(224(A A2 2) )232.25(

11、232.25(T T2 2) )8.258.250.29310.2931合合计计9299299299290 00.39080.3908三三、连续性矫正连续性矫正2近似地服从自由度近似地服从自由度的的 2，即，即对于间断型次数资料由（对于间断型次数资料由（6-16-1）式定义）式定义kii ii1( A T )2T为为 df k 1的连续型随机变量的连续型随机变量 2 分布。由间分布。由间 断型次数资料按上式算得的断型次数资料按上式算得的 2值均有偏大的趋值均有偏大的趋 势，尤其是当势，尤其是当 df 1 时，偏差较大时，偏差较大。F. Yates（1934）提出对）提出对 2 进行连续性矫正。

12、进行连续性矫正。，即即方进行计算。矫正后的方进行计算。矫正后的 2 记为记为矫正方法是，先将各组实际观察次数与理矫正方法是，先将各组实际观察次数与理 论次数的差数的绝对值分别减去论次数的差数的绝对值分别减去0.50.5，然后再平，然后再平2c2iicTii1A T 0.52k（6-26-2） 当自由度为当自由度为1 1时，时，需要进行校正需要进行校正当当dfdf22时，（时，（6-16-1）式计算的）式计算的2 与连与连续型随机变量续型随机变量 2 相近，这时，可不作连续性相近，这时，可不作连续性 矫正，但要求各组内的矫正，但要求各组内的理论次数不小于理论次数不小于5 5。如。如 果某一组的理

13、论次数小于果某一组的理论次数小于5 5，则应把它与其相，则应把它与其相 邻的一组或几组合并邻的一组或几组合并 ，直到合并组的理论次，直到合并组的理论次 数大于数大于5 5为止。为止。四、四、 2 检测的基本方法检测的基本方法kTii1( A T )22i icTiA T 0.52 ki12 = = iid f =1d f 1Ai:观察次数；Ti:理论次数；k:组数；d f = k-122统计推断的一般方法：统计推断的一般方法：1、如果、如果2、如果、如果可得。可得。22或或c 大于大于 ，则拒绝则拒绝无效假设无效假设Ho或或c 小于小于 ，则不拒绝则不拒绝无效假设无效假设H022是显著水平与自

14、由度两个因子的函数，查表是显著水平与自由度两个因子的函数，查表2第二第二节节适合性检验适合性检验一、适合性检验的意义一、适合性检验的意义对于分类次数资料，判断实际观察的属性对于分类次数资料，判断实际观察的属性 类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学 说的假设检验称为说的假设检验称为适合性检验适合性检验 。察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说；论或学说；备择假备择假设设：实际观察的属性类：实际观察的属性类别分配不符合已知属性类别分配的理论或学说。别分配不符合已知属性类别分配的理论或学说。0在适合性检验中

15、在适合性检验中，无效假无效假设设 H：实际观：实际观AH适合性检验的自由度等于属性类别数减适合性检验的自由度等于属性类别数减1 1。 若属性类别数为若属性类别数为k k，则适合性检验的自由度为，则适合性检验的自由度为k k-1-1然后根据然后根据（6-16-1）或（）或（6-26-2）式计算）式计算出出或或。将所计算得的将所计算得的比比较较：在假设无效假设成立的条件下，在假设无效假设成立的条件下，按已知属性类别按已知属性类别 分配的理论或学说计算各属性类别的理论次数分配的理论或学说计算各属性类别的理论次数。22cc2 或或 2值与根据自由度值与根据自由度k k1 1查查0.05值表（值表（附表

16、附表4 4）所得的临界所得的临界 2值：值： 20.01或或 2，0.010.01p p0.050.05，表，表明实际观察次数与理论次数明实际观察次数与理论次数差异显差异显著著，实际观察，实际观察 的属性类别分配显著不符合已知属性类别分配的的属性类别分配显著不符合已知属性类别分配的 理论或学说理论或学说。，p p0.050.05，表明实际观察，表明实际观察若若 2（或或2）c次数与理论次数次数与理论次数差异不显差异不显著著，可以认为实际观察，可以认为实际观察 的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或 学说；学说；20.0120.050.05若若 2

17、（2c或或 2），p p 0.010.01，表明实际，表明实际观察次数与理论次数差观察次数与理论次数差异异极显极显著著，实际观察的，实际观察的 属性类别分配极显著不符合已知属性类别分配属性类别分配极显著不符合已知属性类别分配 的理论或学说。的理论或学说。0.01c若若 2（或（或 2） 2二、适合性检验的方法二、适合性检验的方法【例【例6161】紫花大豆与白花大豆杂紫花大豆与白花大豆杂交交F F1 1全全为紫花，为紫花，F F2 2出现分离，在出现分离，在F F2 2中共观察中共观察16501650株，其株，其 中紫花中紫花12601260株，白花株，白花390390株。问这一结果是否符株。问

18、这一结果是否符 合孟德尔遗传分离定律的合孟德尔遗传分离定律的3:13:1比例？比例？1 1、提出假设、提出假设H0：大豆花色：大豆花色F F2 2分离符合分离符合3:13:1的理论比例的理论比例；：大豆花色：大豆花色F F2 2分离不符合分离不符合3:13:1的理论比例的理论比例。HA2 2、计算理论次数、计算理论次数 在无效假设成立的条件在无效假设成立的条件 下，计算理论次数，即根据理论比例下，计算理论次数，即根据理论比例3:13:1计算理计算理 论次数：论次数：紫花理论次数：紫花理论次数：T T1 1=1650=16503/4=1237.53/4=1237.5； 白花理论次数：白花理论次数

19、：T T2 2=1650=16501/4=412.51/4=412.5，或或T T2 2=1650-1237.5=412.5=1650-1237.5=412.5。表表6-26-2计算表计算表2c性状性状实际观察次数实际观察次数（A A）理论次数理论次数（T T）紫花紫花126012601237.51237.5白花白花390390412.5412.5总总 和和16501650165016503 3、计算、计算2c21237.5412.5cT( A T 0.5)2(1260 1237.5 0.5)2( 390 412.5 0.5)21.5644性状性状实际观察次数实际观察次数（A A）理论次数理论

20、次数（T T）紫花紫花126012601237.51237.5白花白花390390412.5412.5总总 和和16501650165016504 4、统计推断、统计推断表明实际观察次数与理论次数差异不显著。表明实际观察次数与理论次数差异不显著。可可 以认为大豆花色在以认为大豆花色在F F2 2的这一结果是符合的这一结果是符合3:13:1的理的理 论比例，即大豆紫花与白花这一相对性状在论比例，即大豆紫花与白花这一相对性状在F F2 2 的分离比例符合一对等位基因的遗传规律的分离比例符合一对等位基因的遗传规律。20.05(1)3.84,c实际计算的实际计算的 2 =1.5644=1.56440.

21、05(1) 2 3.84 ，故故p p0.050.05，不能否，不能否定定，H0【例【例6262】两对等位基因控制的两对相两对等位基因控制的两对相 对性状遗传对性状遗传。如果两对等位基因完全显性且无。如果两对等位基因完全显性且无 连锁，则连锁，则F F2 2的四种表现型在理论上应有的四种表现型在理论上应有9:3:3:1 9:3:3:1 的比例。有一水稻遗传试验，的比例。有一水稻遗传试验， 以以稃尖有色稃尖有色非糯非糯 品种与品种与稃尖无色稃尖无色糯性糯性品种杂交，品种杂交， 其其F F2 2的观察结的观察结 果为果为稃尖有色非糯稃尖有色非糯491491株（株（A A1 1），），稃尖有色糯稻稃

22、尖有色糯稻 7676株（株（A A2 2），），稃尖无色非糯稃尖无色非糯9090株（株（A A3 3），）， 稃尖稃尖 无色糯稻无色糯稻8686株（株（A A4 4）。）。 试检验实际观察结果是试检验实际观察结果是 否符合否符合9:3:3:19:3:3:1的理论比例。的理论比例。1 1、提出假设、提出假设H0 ：实际观察次数之比符合：实际观察次数之比符合9:3:3:19:3:3:1的的 理论比例；理论比例；HA ：实际观察次数之比不符合：实际观察次数之比不符合9:3:3:19:3:3:1的理论比例。的理论比例。2 2、计算理论次数、计算理论次数稃尖有色非糯稃尖有色非糯的理论次数：的理论次数：T

23、 T1 1=743=7439/16=417.949/16=417.94；稃尖有色糯稻稃尖有色糯稻的理论次数：的理论次数：T T2 2=743=7433/16=139.313/16=139.31；稃尖无色非稃尖无色非糯糯的理论次数：的理论次数：T T3 3=743=7433/16=139.313/16=139.31；稃尖无色糯稻稃尖无色糯稻的理论次数：的理论次数：T T4 4=743=7431/16=46.441/16=46.44，或或T T4 4=743-417.94-139.31-139.31=46.44=743-417.94-139.31-139.31=46.44。3 3、计算、计算 22

24、2139.3146.44(AT)T(491417.94)2(76139.31)2417.94(90139.31)2139.31(8646.44)292.69614 4、统计推断、统计推断因因 20.01(3)=92.6961 =92.6961 2 11.34，故，故p p0.010.01，否定，否定 H0 ，接受，接受 HA ，表明该水稻稃尖和，表明该水稻稃尖和 糯性性状在糯性性状在F F2 2的实际观察次数之比的实际观察次数之比极显著极显著不符不符 合合9:3:3:19:3:3:1的理论比例。的理论比例。这一结果表明，这一结果表明，该两对等位基因并非完全该两对等位基因并非完全 显性、无连锁显

25、性、无连锁。当属性类别数大于当属性类别数大于2 2时，可利用下面时，可利用下面简化简化公式公式计算计算2：22ipiT 1AT（6-36-3）其中，其中，A Ai i为第为第i i组的实际观察次数组的实际观察次数，p pi i为为第第i i组的理论比例组的理论比例， 为总观察次数：为总观察次数：iAT T（不作要求，考试使用四步法即可）将将【例【例6262】按（按（6-36-3）式计算）式计算：222227629028627439332iApi2T149127437439 163 163 161 16 1649176908674392.7063 1T用（用（6-36-3）式计算的）式计算的 2

26、与用（与用（6-16-1）式计）式计 算的算的2因舍入误差略有不同。因舍入误差略有不同。用（用（6-36-3）式计算）式计算2不需计算理论次数，不需计算理论次数， 且舍入误差小。且舍入误差小。第三第三节节独立性检验独立性检验一、独立性检验的意义一、独立性检验的意义对于分类次数资料，判断两类因子是相互对于分类次数资料，判断两类因子是相互 独立还是彼此相关的假设检验称为独立还是彼此相关的假设检验称为独立性检独立性检验验 。例如，研究例如，研究玉米种子灭菌与否玉米种子灭菌与否和和果穗是否果穗是否 发病发病两类因子之间的关系，两类因子之间的关系，若相互独立，表示若相互独立，表示 种子灭菌与否和果穗是否

27、发病无关，灭菌处理种子灭菌与否和果穗是否发病无关，灭菌处理 对防止果穗发病无对防止果穗发病无效效；若彼此相关，则表示种若彼此相关，则表示种 子灭菌与否和果穗是否发病有关，灭菌处理对子灭菌与否和果穗是否发病有关，灭菌处理对 防止果穗发病有效。防止果穗发病有效。（1 1）独立性检验的次数资料是按两因子）独立性检验的次数资料是按两因子 属性类别进行归组。根据两因子属性类别数的属性类别进行归组。根据两因子属性类别数的 不同而构成不同而构成2 22 2、2 2c c、r rc c列联表（列联表（r r为行为行 因因子的属性类别数子的属性类别数 ，c c 为列因子的属性类别为列因子的属性类别数）。数）。（

28、2 2）独立性检验的）独立性检验的理论次理论次数数是在两因子是在两因子 相互独立的假设下计算。相互独立的假设下计算。行是一个因子，列是另一个因子。（3 3）在）在r rc c列联表的独立性检验中列联表的独立性检验中 ，共有，共有rcrc个理论次数，但受到以下条件的约束：个理论次数，但受到以下条件的约束： rcrc个理论次数的总和等于个理论次数的总和等于rcrc个实际次数的个实际次数的总总 和；和； r r个横行中的每一横行理论次数总和等于该个横行中的每一横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和；行实际次数的总和； 自由度自由度 = =（横行属性类别数（横行属性类别数1 1）（直列（直列 属性类

29、别数属性类别数1 1）。二、独立性检验的方法二、独立性检验的方法（一）（一）2 22 2列联表的独立性检验列联表的独立性检验需作连续性矫正，应计算需作连续性矫正，应计算2 值。值。c两个因子，各有两种情况表表6-46-42 22 2列联表的一般形式列联表的一般形式其中其中A Aijij为实际观察次数，为实际观察次数，T Tijij为理论次数。为理论次数。1 12 2行总和行总和 Ti 1 1A A1111( (T T1111) )A A1212( (T T1212) )T1 = =A A1111+ + A A12122 2A A2121( (T T2121) )A A2222( (T T222

30、2) )T2 = =A A2121+ + A A 2222列总和列总和 TjT = =A A1111+ + A A 2121 1T = =A A1212+ + A A 22222T = =A A1111+ + A A1212+A+A2121+ + A A 2222【例【例6464】 为防治小麦散黑穗病，播种为防治小麦散黑穗病，播种 前用某种药剂对小麦种子进行灭菌处理前用某种药剂对小麦种子进行灭菌处理 ，以未，以未 经灭菌处理的小麦种子为对照经灭菌处理的小麦种子为对照 ，观察结果为：，观察结果为： 种子灭菌的种子灭菌的7676株中有株中有2626株发病株发病 ，5050株未发病；株未发病； 种子

31、未灭菌的种子未灭菌的384384株中有株中有184184株发病，株发病，200200株未发株未发 病病 。试分析。试分析种子灭菌对防止小麦散黑穗病是否种子灭菌对防止小麦散黑穗病是否 有效有效？表表6-56-5防止小麦散黑穗病的观察结果防止小麦散黑穗病的观察结果处理项目处理项目发病穗数发病穗数未发病穗数未发病穗数行总和行总和 Ti 种子灭菌种子灭菌262650507676种子未灭菌种子未灭菌184184200200384384列总和列总和 Tj210210250250T460460：种子灭菌对防止小麦散黑穗病无效，：种子灭菌对防止小麦散黑穗病无效，即种子灭菌与否与散黑穗病发病穗多少无关，即种子灭

32、菌与否与散黑穗病发病穗多少无关，二者相互独立；二者相互独立；1 1、 提出假设提出假设H0：种子灭菌对防止小麦散黑穗病有效，：种子灭菌对防止小麦散黑穗病有效，即种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少有关，即种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少有关， 二者彼此相关。二者彼此相关。HA2 2、 计算理论次数计算理论次数在无效假设成立的条件下，计算各个理在无效假设成立的条件下，计算各个理 论次数论次数 。假设种子灭菌对防止小麦散黑穗病。假设种子灭菌对防止小麦散黑穗病 无效，即种子灭菌与否与散黑穗病发病穗多无效，即种子灭菌与否与散黑穗病发病穗多 少无关，也就是说少无关，也就是说种子灭菌与种子未灭菌的种子灭菌与种

33、子未灭菌的 理论发病率相同理论发病率相同，依此计算出各个理论次数，依此计算出各个理论次数 如下：如下：种子灭菌的理论发病穗数：种子灭菌的理论发病穗数：T T1111=76=76210/460=34.70210/460=34.70种子灭菌的理论未发病穗数：种子灭菌的理论未发病穗数：T T1212=76=76250/460=41.30 250/460=41.30 或或T T1212=76-34.70=41.30=76-34.70=41.30处理项目处理项目发病穗数发病穗数未发病穗数未发病穗数行总和行总和 Ti 种子灭菌种子灭菌2626（34.7034.70）5050（41.3041.30）7676

34、种子未灭菌种子未灭菌184184（175.30175.30）200200（208.70208.70）384384列总和列总和 Tj210210250250T460460种子未灭的理论发病穗数：种子未灭的理论发病穗数： T T2121=384=384210/460=175.30210/460=175.30或或T T2121=210-34.70=175.30=210-34.70=175.30种子未灭菌的理论未发病穗数：种子未灭菌的理论未发病穗数：T T2222=384=384250/460=208.70 250/460=208.70 或或 T T2222=250-41.30=208.70=250-

35、41.30=208.703 3、计算、计算2c234.7041.30175.30208.70cT( A T 0.5)2( 26 34.70 0.5)2( 50 41.30 0.5)2(184 175.30 0.5)2( 200 208.70 0.5)24.274 4、统计推断、统计推断和和之间，之间，接受，接受， 表表明种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少显著明种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少显著 有关，这里表现为种子灭菌发病率显著低于有关，这里表现为种子灭菌发病率显著低于 种子未灭菌，说明小麦种子用该药剂灭菌对种子未灭菌，说明小麦种子用该药剂灭菌对 防止小麦散黑穗病是有效的防止小麦散黑穗病是有效

36、的。0.05(1)因为因为 20.01(1)3.84， 2 6.63而实而实c故故0.010.01p p0.050.05，否定，否定0.05(1)际计算的际计算的 2 4.27 介于介于 220.01(1)H0HA在进行在进行22列联表独立性检验时，还可利列联表独立性检验时，还可利c用下述简化公式计用下述简化公式计算算 2:c2 2( A AA AT )2 T11221221T T T T1212 （6-46-4）和全部实际观察次数的总和全部实际观察次数的总和和计算，计算工作量计算，计算工作量小，累计舍入误差也小。小，累计舍入误差也小。c直接利用实际观察次数直接利用实际观察次数A Aijij，

37、列、行总和，列、行总和利用（利用（6-46-4）式计算）式计算 2，不需要先计算理论次数，不需要先计算理论次数，T、T、T、121T2T对于对于【例【例6464】，利用（，利用（6-46-4）式可得：）式可得：2 2c( A A A A( 26200 50184 460)2 460 24.2721025076384T )2T11221221T T T T1 212所得结果与前面计算的结果相同。所得结果与前面计算的结果相同。（二）（二）2 2c c列联表的独立性检验列联表的独立性检验表表6-66-62 2c c联列表一般形式联列表一般形式其中其中A Aijij为实际观察次数为实际观察次数, ,

38、T Tijij为理论次数为理论次数（i i=1=1，2 2；j j=1=1，2 2，c c）。）。一个因子有两个属性，另一个多个属性1 12 2c c行总和行总和 Ti 1 1A A1111( (T T1111) )A A1212( (T T1212) )A A1c1c( (T T1c1c) )T T1 1. .2 2A A2121( (T T2121) )A A2222( (T T2222) )A A2c2c( (T T2c2c) )T T2 2. .列总和列总和 TjT 1T2TcT【例【例6565】 检测甲、乙、丙检测甲、乙、丙3 3种农药对烟蚜种农药对烟蚜 的毒杀效果：用甲农药处理的毒

39、杀效果：用甲农药处理187187头烟蚜，其中头烟蚜，其中37 37 头死亡，头死亡，150150头未死亡；用乙农药处理头未死亡；用乙农药处理 149 149头烟头烟 蚜，其中蚜，其中4949头死亡，头死亡，100100头未死亡；用丙农药处头未死亡；用丙农药处 理理8080头烟蚜头烟蚜 ， 其中其中2323头死亡，头死亡，5757头未死亡。头未死亡。 分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致？：对烟蚜的毒杀效果与农药类型有关。：对烟蚜的毒杀效果与农药类型有关。：对烟蚜的毒杀效果与农药类型无关；：对烟蚜的毒杀效果与农药类型无关；AHH01 1、 提出假设提出假设

40、2 2、 计算理论次计算理论次数数 在无效假设为正确在无效假设为正确的条的条件下件下，计算各个理论次数，计算各个理论次数 。T T1111=109=109187/416=49.00 187/416=49.00 T T1212=109=109149/416=39.04 149/416=39.04 T T1313=109=10980/416=20.96 80/416=20.96 T T2121=307=307187/416=138.00 187/416=138.00 T T2222=307=307149/416=109.96 149/416=109.96 T T2323=307=30780/416

41、=59.0480/416=59.04甲甲乙乙丙丙行总和行总和 Ti 死亡数死亡数3737（49.0049.00）4949（39.0439.04）2323（20.9620.96）109109未死亡数未死亡数150150（138.00138.00）100100（109.96109.96）5757（59.0459.04）307307列总和列总和Tj1871871491498080T 4164163 3、计、计算算值值22249.0039.0459.04(A T )T(37 49.00)2(49 39.04)2(57 59.04)27.69因实际计算的因实际计算的介于介于与与 之间，之间， 故故 0.010.01p p0.050.05，否否定定，接受，接受，说明说明3 3种农药对烟蚜的毒杀种农药对烟蚜的毒杀效果不一致。效果不一致。4 4、 统计推断统计推断20.05 ( 2 )5.9920.01( 2 )9.2127.6920.05(2)20.01( 2 )H0HA在进行在进行2c列联表独立检验时也可不计算列联表独立检验时也可不计算 理论次数，直接代入下面简化公式（理论次数，直接代入下面简化公式（6- -5）计）计 算算 2值。值。2A 2TT 22 1 T1 T2 1 j