第7章 函数的导数和积分

1、第第7 7章章 函数的导数和积分函数的导数和积分n对于可导的函数的导数也是一个函数，称作的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导，反之已知导函数，也可以倒过来求原来的函数。n求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和（例如求曲边三角形的面积），这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 7.1 7.1 函数的导数函数的导数n7.1.1 7.1.1 函数导数的解析解函数导数的解析解n使用符号求导函数的调用

2、格式是：n diff(fun,x,n)n其中，fun是函数符号表达式；x是符号自变量；n是求导的阶数（n为1时可以省略）。n例例7-1 7-1 计算函数的一阶和二阶导数。n% 求函数导数解析解nsyms x % 定义表达式中的符号变量nf=sqrt(cos(x)-x*sin(x); % 定义函数表达式ndisp ( 函数的1阶导数：),f1=diff(f)ndisp ( 函数的2阶导数：),f2=diff(f,2)nM文件运行结果：n函数的1阶导数：nf1 =n-1/2/cos(x)(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x)n函数的2阶导数：nf2 =n-1/4/cos(x)(3

3、/2)*sin(x)2-1/2*cos(x)(1/2)-2*cos(x)+x*sin(x) 222sinsincos2 cossincos2cossin24coscosdf xxxxxdxxd f xxxxxxdxxx n7.1.2 7.1.2 二维函数和参数方程的偏导数二维函数和参数方程的偏导数n1、二维函数的偏导数n使用符号求二维函数fun(x,y)偏导数的函数调用格式是：n diff(diff(fun,x),y)n diff(diff(fun,y),x)n其中，fun是函数符号表达式；x和y是符号自变量n例例7-27-2 计算二维函数的2阶偏导数：23,x yf x yxyn% 求二维函

4、数2阶偏导数解析解nsyms x y % 定义表达式中的符号变量nf=x2*y/(x+y)3; % 定义二维函数表达式ndisp ( 对变量x的2阶偏导数：)nd2x=diff(f,x,2)ndisp ( 对变量y的2阶偏导数：)nd2y=diff(f,y,2)ndisp ( 函数的2阶偏导数：)ndxy=diff(diff(f,x),y)ndisp ( 函数的2阶偏导数的简化符号表达式：)nsdxy=simplify(dxy)nM文件运行结果：n对变量x的2阶偏导数：nd2x =n2*y/(x+y)3-12*x*y/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n对变量y的2阶偏导数：nd2y

5、=n-6*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n函数的2阶偏导数：ndxy =n2*x/(x+y)3-6*x*y/(x+y)4-3*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n函数的2阶偏导数的简化符号表达式：nsdxy =n-x*(x2-7*x*y+4*y2)/(x+y)5223452222452222345225,21212,612,2631274f x yyxyx yxxyxyxyf x yxx yyxyxyf x yxxyxx yx yxyxyxyx xxyyxy n2、参数方程的偏导数n设参数方程为 和 ，计算参数方程k阶导数 的函数调用格式是：n diff(f,t

6、,k) / diff(g,t,k)n例例7-37-3 计算参数方程导数 解析解，并计算当 时的数值解。n% 求参数方程导数的解析解nsyms t % 定义参数方程中的符号变量nx=log(cos(t); % 定义参数方程1ny=cos(t)-t*sin(t); % 定义参数方程2 xg t yf t/kkd y dxln coscossinxtxttt/3tndydx1=diff(y,t)/diff(x,t);ndisp(参数方程的1阶导数的简化符号表达式：)nsdydx1=simplify(dydx1)ndydx2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2);ndisp(参数方程的2阶导

7、数的简化符号表达式：)nsdydx2=simplify(dydx2)n% 计算t=pi/3时的二阶导数值(有效数字6位)ns2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6);ndisp( t=pi/3时的二阶导数值：),s2nM文件运行后得到的计算结果：n参数方程的1阶导数的简化符号表达式：nsdydx1 =n(2*sin(t)+t*cos(t)*cos(t)/sin(t)n参数方程的2阶导数的简化符号表达式：nsdydx2 =n-(-3*cos(t)+t*sin(t)*cos(t)2nt=pi/3时的二阶导数值：ns2 =n.148275n因此，参数方程一阶和二阶导数的解析解是：222

8、2sincoscos2sincoscotsin3cossincosttttdxttttdttd xttttdtn7.1.3 n7.1.3 n维函数的偏导数维函数的偏导数n1、n维隐函数的偏导数n设n维隐函数为 ，由于变量之间偏导数的关系是n则计算变量 对变量 的偏导数的函数调用格式是：n -diff(f,xj) / diff(f,xi)12,nf x xx1212,/,/niijnjf x xxxxxf x xxx ixjxn例例7-47-4 计算二维隐函数n偏导数的解析解。n% 求二维隐函数偏导数的解析解nsyms x y % 定义函数表达式中的符号变量nf=(x2-2*x)*exp(-x2

9、-y2-x*y); % 定义二维隐函数表达式ndydx=-diff(f,x)/diff(f,y); % 计算二维隐函数的偏导数dy/dxndisp ( 二维隐函数偏导数的简化符号表达式)nsdydx=simplify(dydx)222,2xyxyf x yxx enM文件运行后得到的计算结果：n二维隐函数偏导数的简化符号表达式：nsdydx =n-(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y)/x/(x-2)/(2*y+x)n因此，二维隐函数偏导数的解析解是：322,2224222fx yxxx yxxyx yx xyx n2、jacobion矩阵n设有n个自变量 的m个函数n相应

10、的偏导数构成jacobion矩阵为11221212,nnmnfx xxfx xxfx xx111212122212/nnmmmnfxfxfxfxfxfxJfxfxfxn运用MATLAB符号工具箱函数可以直接求出jacobion矩阵n jacobion(f,x)n其中，f是n维函数，x是n维向量。n该函数用于计算n维函数f对n维向量x的jacobion矩阵，其第i行、第j列的值为。当f为数量时，所得的值为f的梯度。当v为数量时，该函数相当于diff(f,x)。n例例7-57-5 已知三维函数 试计算它的偏导数。1223fxyzfxyfxzn% 计算多维函数的导数nsyms x y znf1=x*

11、y*z;f2=x2-y;f3=x+z;ndisp( 多维函数表达式向量：)nf=f1;f2;f3ndisp( 多维函数的偏导数矩阵：)nJ=jacobian(f,x y z)nM文件运行结果：n多维函数表达式向量：nf = x*y*zn x2-yn x+zn多维函数的偏导数矩阵：nJ =n y*z, x*z, x*yn 2*x, -1, 0n 1, 0, 1n因此，三维函数的偏导数矩阵是：111222333/210/101fxfyfzyzxzxyJfxfyfzxfxfyfz n7.1.4 7.1.4 数值微分数值微分n根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或某高阶导数的近似值。通常用

12、差商代替微商，或用一能近似代替该函数的较简单的函数（如多项式、样条函数）的相应导数作为所求导数的近似值。针对实验数据X（向量或多维数组）数值微分，由于函数表达式是未知的，需要采用数值解法（中心差分方法的微分算法）。n例例7-67-6 已知一组实验数据如表7-1所示，试计算它的4阶微分。表7-1 实验数据xyx0.00000.20000.40000.60000.80001.0000y0.39270.56720.69820.79410.86140.9053n% 用中心差分方法的数值微分算法nfunction dy,dx=diff_ctr(y,dt,n)nyx1=y 0 0 0 0 0;yx2=0

13、y 0 0 0 0;yx3=0 0 y 0 0 0;nyx4=0 0 0 y 0 0;yx5=0 0 0 0 y 0;yx6=0 0 0 0 0 y;nswitch nn case 1n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)n+7*diff(yx3)-diff(yx4)/(12*dt);l0=3;n case 2n dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)-15*diff(yx3)+diff(yx4)/(12*dt2);l0=3;n case 3n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(

14、yx5)-diff(yx6)/(8*dt3);l0=5; n case 4n dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*dt3);l0=5; nEndndy=dy(l0+1:end-l0);ndx=(1:length(dy)+l0-2-(n2)*dt;n% 用中心差分方法的数值微分算法调用M文件nsx=0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000;nsy=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053;n

15、y=sy,sx;ndt=0.2;nn=4;ndy,dx=diff_ctr(y,dt,n)nM文件运行结果：ndy = 19.2187 -217.2292 581.9417 -611.7500 250.0458 -23.0271ndx = 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000n7.1.5 7.1.5 函数的梯度和梯度的模函数的梯度和梯度的模n在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向。梯度是一个向量，当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值，即函数在该点处沿方向变化最快，变化率最大，称为为

16、该梯度的模。nn维函数 ，在点 的梯度，是函数各维一阶偏导数组成的向量),()(21nxxxfXf()KX12,TKKKKnfXfXfXfXxxxn梯度的模是函数各维一阶偏导数平方和的开方n1、计算梯度的符号函数 jacobian(fun,X)n其中，fun是符号函数表达式，X是定义求导变量组成的向量（可以省略）。n2、计算矩阵或向量范数的符号函数n norm(fun,X)n其中，fun是符号型函数表达式，X是定义求导变量组成的符号型向量。22212KKKKnfXfXfXfXxxxn例例7-77-7 计算函数在 梯度和梯度模:n% 计算多维函数的梯度和梯度的模nsyms x1 x2 x3 %

17、定义符号变量nf=2*x12+5*x22+x32+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3ndisp( 三维函数的梯度：)ngf=jacobian(f)nxk=1,-1,2;ndisp( 函数在xk点的梯度值：)ngfk=subs(subs(subs(gf,xk(1),xk(2),xk(3)ndisp( 函数在xk点的梯度的模：)ngmk=norm(gfk)222123231 32252263fXxxxx xx xx1, 1,2TKXnM文件运行结果：n三维函数的梯度：ngf =n 4*x1+2*x3, 10*x2+2*x3-6, 2*x3+2*x2+2*x1n函数在xk点的梯度值：ngf

18、k = 8 -12 4n函数在xk点的梯度的模：ngmk = 14.9666n因此，三维函数的梯度，以及在的梯度和梯度的模是：1132233123123222123/42/1026/222/8/124/14.9666KKKKKKKKfXxxxfXfXxxxfXxxxxfXxfXfXxfXxfXfXxfXxfXx 7.2 7.2 函数的积分函数的积分n设 是函数 的一个原函数，则将函数 的所有原函数 （ C为任意常数）叫做函数的不定积分，记作 。n定积分 就是求函数 在区间a,b 中函数图线下包围的面积。 F x f x f x F xC fx dxF xC baSf x dx f xn7.2.

19、1 7.2.1 不定积分的解析解不定积分的解析解n计算不定积分解析解的函数调用格式是：n F=int(fun,x)n其中，fun是被积函数；x是自变量，如果只有一个变量，x可以省略。n应当指出，计算结果F(x)只是积分原函数，实际的不定积分应该是F(x)+C构成的曲线族，C是任意常数。n例例7-87-8 计算不定积分n% 计算不定积分nsyms x a b; % 定义表达式中的符号变量ny=sin(a*x)*cos(b*x); % 定义被积函数bxdxaxcossinndisp( 被积函数的不定积分：)nF=int(y,x)nM文件运行结果：n被积函数的不定积分：nF =n-1/2/(a+b)

20、*cos(a+b)*x)-1/2/(a-b)*cos(a-b)*x)n因此，不定积分 coscossincos22ab xab xaxbxdxabab n7.2.2 7.2.2 定积分定积分n计算定积分的函数调用格式是：n I=int(fun,x,a,b)n其中，fun是被积函数；x是自变量；(a,b)是定积分的积分区间，计算无穷积分时，需要将积分区间设置为(-inf,inf)。n例例7-97-9 计算定积分 和 的解析解和数值解。n% 计算定积分nsyms x; % 定义表达式中的符号变量ny1=x*exp(x)/(1+x)2; % 定义被积函数1dxxxex10210cosdxxxna1=

21、0;b1=1; % 定义积分区间1ndisp( 被积函数1定积分的解析解：)nF1=int(y1,x,a1,b1) % 计算y1的定积分ndisp( 被积函数1定积分的数值解：)nF1v=double(F1)ny2=cos(x)/sqrt(x); % 定义被积函数2na2=0;b2=inf; % 定义积分区间2ndisp( 被积函数2定积分的解析解：)nF2=int(y2,x,a2,b2)ndisp( 被积函数2定积分的数值解：)nF2v=double(F2)nM文件运行结果： n 被积函数1定积分的解析解：nF1 = 1/2*exp(1)-1n 被积函数1定积分的数值解：nF1v = .35

22、91n 被积函数2定积分的解析解：nF2 = 1/2*2(1/2)*pi(1/2)n 被积函数2定积分的数值解：nF2v = 1.2533n因此，两个定积分的解析解和数值解是： 12010.359121xxeedxx 0cos21.25332xdxxn7.2.3 7.2.3 数值积分数值积分n求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来；另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数。对这类函数只能使用数值积分计算函数的近似值。n1、梯形法求解数值积分n梯形法求解数值积分的：将积分区间分割成许多足够小的分区间，取各个矩形的面积分别代替积分函数的曲

23、线在各小段区间上围出来的曲边梯形的面积，再将所有这样的矩形面积加起来的总和，近似地等于函数在这个区间上的定积分。n梯形法求解数值积分的函数调用格式是：n s=trapz(x,y)n其中，x是向量；y的行数应该等于x向量的元素数 n例例7-10 7-10 用梯形法计算表7-2数据的定积分。n% 梯形法计算定积分nx=0:0.1:1.2;ny=0 2.2077 3.2058 3.4435 3.241 2.8164 2.311 1.8101 1.3602 0.9817 0.6791 0.4473 0.2768;ns=trapz(x,y)nM文件运行结果：ns =n 2.2642n2、变步长辛普生法求

24、解数值积分n变步长辛普生法求解数值积分的基本思想是：在梯形法的基础上，将积分区间逐次分半，计算出每个子区间的定积分近似值，并且求和。n变步长辛普生法求解数值积分的函数调用格式是n s ,n =quadl(fun,a,b,t0l)n其中，s是返回的定积分值；n n是返回被积函数调用次数；n fun是被积函数；n a和b分别是定积分的下限和上限;n tol是控制积分精度（默认 ）。n该函数适用于求解给定函数的数值积分。610en例例7-11 7-11 用变步长辛普生法计算定积分：n% 变步长辛普生法计算定积分nf=inline(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),x); % 定义被

25、积函数和自变量na=0;b=3*pi; % 定义积分区间nformat long; % 数值按长格式显示ns,n=quadl(f,a,b,1e-15) % 计算y的定积分nM文件运行结果：ns = 0.90084078781889nn = 82830.50sin6xexdxn% 绘制积分图形nfplot(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),a,b); % 符号函数绘图nhold on;nx=a:pi/100:b;ny=exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6);nfill(a,x,b,0,y,0,y); % 填充积分区域nxlabel(bfit x);ylabel(bfit y);ntitle(bf 变步长辛普生法计算定积分);ngtext(y=e-0.5xsin(x+pi/6);n输出图形（如图7-2所示） n7.2.4 7.2.4 函数的重积分函数的重积分n1 1、二维函数的数值积分、二维函数的数值积分（双重积分）n对于二维函数的双重定积分问题n可以直接使用函数进行求解矩形区域的数值积分，其调用格式是：n y=dblquad(fun,xm,xM,ym,yM,tol)n其中，输入参数fun是二维被积函数，可以用函数文件或函数inlin