第刚体的定轴转动PPT学习教案

1、会计学1第刚体第刚体(gngt)的定轴转动的定轴转动第一页，共34页。刚体刚体(gngt)的角量描述的角量描述 1.角坐标角坐标(zubio) oPxOPOP与极轴之间的夹角与极轴之间的夹角称为称为角坐标角坐标(zubio)(zubio)（或角位（或角位置）置）角坐标为标量，但可有正负。角坐标为标量，但可有正负。 刚体作刚体作定轴转动定轴转动时时, 刚体上各质点都作刚体上各质点都作圆周运动圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： = (t)，称为转动方程。称为转动方

2、程。第2页/共34页第1页/共34页第二页，共34页。角坐标角坐标(zubio)(zubio)的的增量增量 称为称为(chn(chn wi) wi)刚刚体的角位移体的角位移2.角位移角位移 平均平均(pngjn)(pngjn)角角速度速度t 3.角速度角速度 角速度角速度t 0tlimtdd 角速度方向：角速度方向：满足右手定则，沿刚满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。体转动方向右旋大拇指指向。第3页/共34页第2页/共34页第三页，共34页。4.角加速度角加速度 平均平均(pngjn)(pngjn)角加角加速度速度角加速度角加速度t t 0tlimtdd 22ddt 角速度和角加速度

3、都是矢量，但对于定轴转动的刚角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚体体(gngt(gngt) )，角速度和角加速度的方向只有两个，我，角速度和角加速度的方向只有两个，我们用正负表示角速度和角加速度的方向。们用正负表示角速度和角加速度的方向。第4页/共34页第3页/共34页第四页，共34页。5.角量与线量的关系角量与线量的关系(gun x) xosrpp路程路程(lchng)(lchng)与角位移与角位移的关系的关系 rs 线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系(gun (gun x)x) rv 圆周运动时加速度与角量的关系圆周运动时加速度与角量的关系dtdvat rva2n rdtdr

4、 r)r(2 2r 第5页/共34页第4页/共34页第五页，共34页。3.2 刚体刚体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律刚体刚体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律 1.力对转轴力对转轴(zhunzhu)的矩的矩 力对固定点的矩力对固定点的矩FrM 力对固定轴的矩力对固定轴的矩OPdrr FM把力分解为平行于转轴的分量和把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效果，平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。对轴的矩为零。 FrM第6页/共34页第5页/共34页第六页，共34页。【例【例1 1】一匀质细杆，长为】一匀质细杆，长为 l l 质量为质量

5、为 m m ，在摩擦系，在摩擦系数为数为 的水平桌面上转动的水平桌面上转动(zhun dng)(zhun dng)，求摩擦力，求摩擦力的力矩的力矩 M M阻。阻。【解】杆上各质元均受摩擦力作用【解】杆上各质元均受摩擦力作用(zuyng)(zuyng)，各质元所受，各质元所受的摩擦阻力矩不同。的摩擦阻力矩不同。mlodmdxxx细杆的质量细杆的质量(zhling)(zhling)密度密度lm 质元质量质元质量dxdm 质元受阻力矩质元受阻力矩dmgxdM 阻细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩 阻阻dMM2gl21 mgl21 l0gxdx 第7页/共34页第6页/共34页第七页，共34页。2. 刚体刚

6、体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律考虑刚体上某一质元考虑刚体上某一质元 ，其受力如图所示。对质元应用，其受力如图所示。对质元应用(yngyng)牛顿第二定律：牛顿第二定律：iiiiamfF 法向分力法向分力(fnl)的力矩为零，对切向的力矩为零，对切向力有力有itiititamfF iitiiitiitramrfrF 第8页/共34页第7页/共34页第八页，共34页。 )rm(ramrfrF2iiiitiiitiit 对所有质元求和对所有质元求和(qi h)，得到，得到左边左边(zu bian)第二项表示内力矩之和，等于零。第二项表示内力矩之和，等于零。左边第一项表示左边第一项表示(bio

7、sh)合外力矩，记作合外力矩，记作M。 只与刚体的质量和质量相对转轴的分布只与刚体的质量和质量相对转轴的分布有关，称为刚体对轴的有关，称为刚体对轴的转动惯量，记作转动惯量，记作J。 )rm(2ii 则上式可简写成则上式可简写成 JM 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律iitiiitiitramrfrF 第9页/共34页第8页/共34页第九页，共34页。定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的转动惯量的转动惯量 )rm(J2ii 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及质量的分布以及(yj)(yj)转轴的位置有关。转轴的位置有关。 对于对于(duy)(duy

8、)质量连续分布的刚质量连续分布的刚体体 V2V2VdrmdrJ S2S2SdrmdrJ （面质量分布）（面质量分布） L2L2l drmdrJ （线质量分布）（线质量分布）第10页/共34页第9页/共34页第十页，共34页。【例【例2】半径】半径(bnjng)为为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 M02dmRJ【解】分割质量【解】分割质量(zhling)元，环上各质元到轴的距离相等。元，环上各质元到轴的距离相等。 M02dmR2MR 【例【例3】在无质轻杆的】在无质轻杆的 b 处处 3b 处各系质量为处

9、各系质量为 2m 和和 m 的质点的质点(zhdin)，可绕，可绕 O轴转动，求质点轴转动，求质点(zhdin)系系的转动惯量的转动惯量J。【解解】 21i2iirmJ 22)b3(mmb2 2mb11 第11页/共34页第10页/共34页第十一页，共34页。oR【例【例4】一质量为】一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求对通过的均匀圆盘，求对通过盘中心盘中心(zhngxn)并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。【解解】rdr2md mdrJ2 rdr23 R03rdr2J 2mR212R 4 rdr第12页/共34页第11页/共34页第十二页，共34页。【例【例5】长为

10、】长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的匀质细杆，绕与杆垂直(chuzh)的质心轴转动，求转动惯量的质心轴转动，求转动惯量 J。xo【解】建立坐标系，分割【解】建立坐标系，分割(fng)质量质量元元dxx dmxJ22ml121 2l2l2dxlmx【例【例6】长为】长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端的匀质细杆，绕细杆一端(ydun)轴转动，求转动惯量轴转动，求转动惯量 J。【解解】xodxx dmxJ2 l02dxlmx2ml31 第13页/共34页第12页/共34页第十三页，共34页。 计算转动惯量计算转动惯量J 的三条有用的三条有用(yu yn)的定理的

11、定理 （2）平行）平行(pngxng)轴定理轴定理: iJJ2mdJJ cA所以所以(suy) Jc 总是最小的。总是最小的。mJACdJC平行平行 （1）叠加定理）叠加定理: 对同一转轴对同一转轴 J 有可叠加性有可叠加性第14页/共34页第13页/共34页第十四页，共34页。（3）垂直轴定理）垂直轴定理(dngl):（对薄平板刚体）（对薄平板刚体） myxmrdd222yxzJJJ 【例【例7】求对薄圆盘】求对薄圆盘(yun pn)的一条直径的转动惯量的一条直径的转动惯量221mRJz 224121mRJJmRJJJyxzyx yx z yi xiOim ir0rxzxyy第15页/共34

12、页第14页/共34页第十五页，共34页。【例【例8】 计算钟摆计算钟摆(zhngbi)的转动惯量（已知：摆锤质的转动惯量（已知：摆锤质量为量为m，半径为，半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）。）。rO【解解】摆杆转动惯量：摆杆转动惯量： 221mr34r2m31J 摆锤转动惯量：摆锤转动惯量： 2222C2mr219r3mmr21mdJJ 22221mr665mr219mr34JJJ 钟摆钟摆(zhngbi)的转动惯量：的转动惯量：第16页/共34页第15页/共34页第十六页，共34页。 已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1 ) 滑轮滑轮 m、R, 可看成质

13、量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘, 轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且（设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对与滑轮无相对(xingdu)滑动）。滑动）。求求:物体物体(wt)的加速度及绳中张的加速度及绳中张力。力。【例例8】m1m2mR刚体刚体(gngt)定轴转动定律的应用定轴转动定律的应用 【解解】分别对分别对m1, m2, m分析分析第17页/共34页第16页/共34页第十七页，共34页。因绳不伸长因绳不伸长(shn chn)，有，有 a1= a2= a因绳轻，有因绳轻，有2211TT,TT 对对m1有有对对 m2有有 m2g - T2= m2 a -（2）gm11T1a

14、gm22T2amg2T 1T fMNR T1- m1g - = m1 a -（1）对滑轮对滑轮 m 由转动由转动(zhun dng)方程方程-（3） 2f12mR21JMRTRT 再从运动学关系再从运动学关系(gun x)上有上有 Raat 联立四式解得：联立四式解得：- （4）第18页/共34页第17页/共34页第十八页，共34页。 mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmTf 第19页/共34页第18页/共34页第十九页，共34页。 当不计滑轮当不计滑轮(huln)质量和摩擦力矩时质量和摩擦力矩时:

15、 gmmmma1212 gmmmmTT2121212 m = 0, Mf = 0 ，有有讨论讨论(toln)第20页/共34页第19页/共34页第二十页，共34页。【解】【解】 （1）建立坐标系，分割）建立坐标系，分割(fng)质量元。重力矩为：质量元。重力矩为：【例【例9 9】质量为】质量为m,m,长为长为L L的均质细棒的均质细棒, ,转轴转轴(zhunzhu)(zhunzhu)在在O O点点, ,今使棒从静止开始由水平位置绕今使棒从静止开始由水平位置绕O O点转动点转动, ,求求: :（1 1）下摆到角）下摆到角时，细棒所受的重力矩时，细棒所受的重力矩; ;（2 2）水平位置的角速度和角

16、加速）水平位置的角速度和角加速度度; ;（2 2）垂直位置时的角速度和角加速度。）垂直位置时的角速度和角加速度。OxdmgdmCmgx xdmgxgdmMcmgxM 据质心据质心(zh xn)(zh xn)定义定义mxdmxC 得得 cos2lmgM 即即第21页/共34页第20页/共34页第二十一页，共34页。(2)(2)在水平在水平(shu(shupng)png)位置时位置时0 2LmgM L2g33/mlMJM2 (3)任意任意(rny)角度角度时时 cos2LmgM L2cosg3JM L2cosg3dddddtddtd 由由积分积分(jfn)(jfn) dL2cosg3d200 解得

17、解得垂直位置时垂直位置时Lg3 0 得到得到第22页/共34页第21页/共34页第二十二页，共34页。3.3 定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的功与能的功与能1.1.力矩力矩(l j)(l j)的功的功 oPFddsrz 0MdA刚体刚体(gngt(gngt) )在外力作用下绕轴转过微小角在外力作用下绕轴转过微小角位移位移 d d，外力作的微功为：，外力作的微功为：rdFdA |rd| )2cos(F dssinF dsinFr Md 刚体从刚体从 0位置转到位置转到 位置位置，外外力力作的功为：作的功为：第23页/共34页第22页/共34页第二十三页，共34页。注意：注意：1)1)力矩功

18、并不是新概念，只是力的功的另一种力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种(y zhn)(y zhn)表达方式。表达方式。2)2)内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。2.刚体刚体(gngt)的的动能动能 zmiiriv刚体刚体(gngt)中第中第i个质元的动个质元的动能：能： 22ii2iii krm21m21E v整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能： 22iiikkrm21EE 22ii)rm(21 2J21 第24页/共34页第23页/共34页第二十四页，共34页。3.定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的动能定的动能定理理 设在外力矩设在外力矩(l j)

19、M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功元功 dMAd 由转动定律由转动定律tddJM dJdtddJAd 有有 21dJA 2122J21J21 刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于所做的功等于(dngy)(dngy)刚体转动动能的增量。刚体转动动能的增量。 第25页/共34页第24页/共34页第二十五页，共34页。4.4.刚体刚体(gngt)(gngt)的重力势能的重力势能 iighmEp刚体刚体(gngt)是个质点系，其功能原理为是个质点系，其功能原理为cmgh mhmmgii mimchihc- -

20、 机械能守恒定律机械能守恒定律A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）5.定轴转动刚体的功能定轴转动刚体的功能(gngnng)定定理理 若若 A外外=A内非内非=o，则，则 Ek+Ep=常量常量第26页/共34页第25页/共34页第二十六页，共34页。【解】只有重力【解】只有重力(zhngl)作功，机械能守作功，机械能守恒。恒。22204874121mllmmlJ )(解得解得lg7sin62 【例例10】已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为，长为l，轴，轴o光光滑，滑， ，初始静止在水平位置。，初始静止在水平位置。求求: : 杆下杆下摆到摆到 角时角速度角时角速

21、度 ？ 4/ lAO 042120 sinlmgJ0CABl , ml /4第27页/共34页第26页/共34页第二十七页，共34页。3.4 定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量守恒定律的角动量守恒定律定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量定理的角动量定理 iiiimrLv 质元质元 对轴的角动量为对轴的角动量为 imirivim定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)(gngt)上的所有质元都作圆周运动上的所有质元都作圆周运动刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量为 i2iii2iiii)rm(rmLL 得得 JL 第28页/共34页第27页/共34页第二十八页，共34页。由刚体由刚体

22、(gngt(gngt) )定轴转动定律定轴转动定律 JM dtdJ dt)J(d dtdL dtdLM 0LLttLLdLMdt00 作用作用(zuyng)(zuyng)在刚体上的冲量矩等于作用在刚体上的冲量矩等于作用(zuyng)(zuyng)时间内角动量的增量时间内角动量的增量定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)角动量定理微分形式角动量定理微分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式得到得到第29页/共34页第28页/共34页第二十九页，共34页。定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量守恒定律的角动量守恒定律 恒量 JL当当 M=0 时，则时，则定轴转动刚体定

23、轴转动刚体(gngt)的角动量定理的角动量定理dtdLM 定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的合外力定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的合外力矩为零时矩为零时(ln sh)(ln sh)，刚体对转轴的角动量保持不变。，刚体对转轴的角动量保持不变。 该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。任意物体系统。 第30页/共34页第29页/共34页第三十页，共34页。【例例11】质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的水的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m

24、的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。ulm uvmo【解解】杆的角速度杆的角速度 肯定如图，假设小球碰后瞬时肯定如图，假设小球碰后瞬时的速度的速度 向上，如图所示。向上，如图所示。v系统：小球系统：小球+杆杆条件：条件：M=0 角动量守恒（轴角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰力无力矩；小球的重力矩与碰撞撞(pn zhun)的内力矩相比的内力矩相比可以忽略）可以忽略）第31页/共34页第30页/共34页第三十一页，共34页。)1(212122lvmmllum 因为弹性因为弹性(tnxng)碰撞碰撞, 动能守恒动能守恒)2(2112121212222vmmlum 解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 讨论讨论(toln)1. 0总是总是(zn sh)成立成立2. 当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上） 当当 m =3m 时时, v = 0（瞬时静止）（瞬时静止） 当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）第32页/共34页第31页/共34页第三十二页，共34页。oRm0Rmg32 【例【例1212】质量为