2022年二轮复习高考导数解答题专练八（数列不等式的证明)

1、高考导数解答题专练八(数列不等式的证明)在解题中常用的有关结论(需要熟记)：(1)曲线y 二在工=/处的切线的斜率等于广(豌切线方程为尸"%)&-/) + /(%)(2)若可导函数y = /Q)在 工=豌 处取得极值，则:(%)=0。反之,不成立.(3)对于可导函数不等式/(的>0(<0)的解集决定函数/(冷的递增(减)区间。函数/在区间I上递增(减)的充要条件是：Vxg/ f(x)>0於0)恒成立(5)函数幻在区间I上不单调等价于/(外在区间I上有极值，则可等价转化为方程(幻=0在区间I上有实根且为非二重根口(若尸")为二次函数且I=R,则有A&

2、gt;0).(6) /(1)在区间I上无极值等价于/(外在区间在上是单调函数，进而得到尸。)2 0或尸(力0 0在I 上恒成立(7)若 Br £ , fix) > 0 恒成立，则 /(x)min >0;若 Vxwf, f(x) < 0 恒成立，则 < 0 若三/£/,使得/(演)>0,则/皿>0；若后/，使得人/)<0,则/(处而口<0.(9)设/与月的定义域的交集为D若V xeD /(元)g(x)恒成立则有可0(10)若对V王士三4，/(占)>双超)恒成立，则/联.若对D玉£ /, 3 x2gI29使得/(巧

3、)> 冢/)，则/( > g(x)mi却若对行三/1, 3 X2 E /2，使得/(内)<取)，则/(8a < g(Anax (ID已知人刈在区间/上的值域为A,烈幻在区间外上值域为B,若对D王三/17巧G使得1)=烈)成立,则AqB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程尸(兀)=0有两个不等实根玉、马，且极大值大于0,极小值 小于0.(13)证题中常用的不等式: In 工 工工 一 1 (% > 0) In (无+1) <x (x> 1) 2 1 + 九L 已知函数/(£) = (cos/ 1) 一“nx + jcsin/*(1)若

4、q=1, b = 0f证明：/晨)在区间(09)内存在唯一零点；(2)若 口 =0, b = 7r,(I )证明：刀三(04)时，f(x) > 0 ；(II )证明：Vsin( + -) > 7ilnn +1) - In2(其中 n>l,且汽 £ N ).H汽 3 n2,已知函数#= (x + l)/zu(1)求曲线y = /)在点(1, 7 (1)处的切线方程；ln2 ln7 ln(n2 -2) 2 3 z 1 瓦产、(2) 求lit： + + * Hh' > r*2," £ N ) “16/一3 n 23” 设函数/(x)2)x

5、 - alnx(a e R).(1)若1=1,求/(x)的极值: (2)讨论函数,CO的单调性;123 n , 八齐+ ? + /十乐"S+D-4.已知函数 f(x) = /nr , (x) = x2 .(1)若不等式/(x),，ox-1对xe(O,a)恒成立，求实数的范围：(2)若正项数列仅“满足q=1,数列%的前项和为5.，求证:24(4 + 1)2es" >2"+1.5 .已知函数/(X)= lnx7ax-l +1 , a>0.(I )讨论/(x)的单调性；/ n、十口口 /nlln2Inn- 工 、.、(II ) 证明： H p + 4v2 +

6、 j2(eN ).3V3 4V45 + 2)J + 26 .函数/(x) = sin又一ar + 1 .(1),求/(x)的单调区间；(2)若f(x) N cosx在“£0,幻上恒成立，求实数的取值范围；(3)令函数冢力=/*) + 0¥-1,求证：g(£) + g(m + g(m+g(1)N7 .已知函数 f(x) = or-/nx.(1)若f(x) 2 0在(0,内)上恒成立，求实数。的取值范围.(2)证明：fnwN*,>(!产.8 .已知函数/(x) = 2/nx-a(x-l).(1)若f(x) 4 0,求实数。的值；求证：3”共31乩).9 .设 f

7、(x) = sinx x + .V(1)当x 2 0时，求证：f(x) > 0；(2)证明：对一切正整数"，都有sinl + sinZ + sin2 + sin3 + sin± 223242n210 .已知函数 f (x) = x- - sin x.(1)证明：x>0时，/(x)<0；(2)证明： 当 n>l 时，sin- + sin + . + sin.12n 2 3 n11 .已知函数 /(x) = x12.已知函数 / (x) = alnx -x + -.x(1)当a = 3时，求/。)的单调区间；(2)若f(x) <|-1恒成立，求”的

8、值；求证：对任意正整数n(n>l),都有(1 +袅1+中(1 +。)(l +，)<e (其中e为自然对 数的底数) + bvc(a g R,a w 0).(1)求函数/")在1, c上的最大值;(2)当 a = l时，求证：/，(x)n-/,(xn)>2n-2,其中 n>l 且 n 为整数.13.已知g(x) = px-g-2f(x),其中/(x) = /nx,且g (e) =qe-2 . xe(1)求与q的关系；(2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求的取值范围；(3)证明：f(l + x)Wx - l；空+空+ . +?<2九.2). 223- n

9、- 45 + 1)高考导数解答题专练八（数列不等式的证明）解析1.已知函数 f（x） = a（cosx-1） - bbix + xsin x.（1）若。=1, b = 0,证明：/（外在区间（0,为内存在唯一零点；（2）若 a=0, b = 7r 9 (I )证明：1£(0微)时，/(%) > 0 ；(II )证明：V-sin(+ )>7rln(n-) ln2 (其中 n>L 且 wN*). 占 3 n证明：(1)若 a = l, b = 0 ,则/(x) = cosx - 1 + xsinx , f,(x) = xcosx ,当工（0,9时,fx） >0 ,

10、当 方£（宗乃）时，r（x）0,/. /（x）在（0,-）上单调递增，在（工上单调递减，jr又 /（0） = 0,/（-）> 0./U） = -2<0,./（X）在区间（0,万）内存在唯一零点；(2)若a = 0, b = rt,则/(x) = ;z7nx + xsinx,/'(x) = + xcosx + sinx, X冗冗(I ) fr(x) <1- tan xcos x + sin x =b2sinx > g(x) = -二 + 2sinx,xe(0：),易知 g(x)在(0,工)上单调递增, x22g（x）< g（g=o，即 rM <

11、; o， ./(x)在(0)上单调递减，f(x) > /(y) = -TTln=即得证；(H)当.2, wN 时，+ g(0,) »3 n 2X + >1 + , Hi sin( + ) > sin( 1 + ), 则 71 + 1(上 + 1) > 十sin。+,3 n n 3 nn n 3 n n n由（I ）知,x g (0,)时，xsin x > 7rlnx，A Z + l, cr/ x =,k 2,3,4,kn + . n 1、 + 1 .八 1、. n + sin(F) >sin(l + ) > 7rlnn 3 n n n n +

12、 1 . ,n L . n + 1sin(F-) > 7rinn 3 n n3乃13 4tv4- sin(- + ->7vln- sin(- + )> 乃仇一,2322 3333以上各式相加得,3 .产 14 .7 1 + 1 .4 1、 3 , 4, + 1、sin(F) +sin(F)4-Hsin(F) 乃(/一 + /一 + In)，23 233 3n 3 n 23n即' +1 sin(I + ') > Trln ., 即 V-sin( + ) > 7rln(n +1) - In2, 即得证.匿 3 n 2*2 3 n2.已知函数，(x) =

13、 (x + l)/nr.(1)求曲线y = /(x)在点(1 , f (1)处的切线方程；/.、M2 Ini ln(n2 -2) 2 3 / _(2)求证：+ +. + 1- > (/?.2,77 G N ) 16n2-3 n 2解：(1)函数/(x) = (x+l)/nr , f (1) =0,v 4- 1fx) = lnx-, f' (1) =2,x/.曲线y = f(x)在x = l处的切线方程为：y-0 = 2(x-l),/. y = 2(x-l)；(2)证明：令(x) = (x+l)伍r-2(x-l), xe(0,+oo),y _1_ 1则 hr(x) = Inx +:

14、2 = Inx + 1 = w(x),xx，/、11X 1 cu (x) = = 丁 > 0 »X X X：.函数(x)在X(l,+oo)单调递增，"(x) = u(x) >u (1) =0,函数h(x)在x e (1, +00)单调递增，/.h(x) >h ( 1) =0 .当 x>l 时：(x + l)/nr>2(x l),令” = 22,则化为:加W-2)2 _ 11n2 -3 n2 -1 n- n + 1加2 1 历7、1 1 历14、1 1加("-2)、 211362 4123 5n-3 n2-l 一 1/2 Ini ln4

15、 /n(n2 -2)H11-+;1612/?一3>1 + 11、32n + 2 nln2 Ini ln(n2 - 2) 2 3 .尸、11-+ ；1 > 一 (. 2, w N ).162一3 23.设函数/(*) = / + (a-2)x- alnx(a e R).(1)若。=1,求/(x)的极值；(2)讨论函数/(x)的单调性；(3)若" N *，证明：HZ- H y </( +1).22 32 425 + 1)2解：(1) /(x)的定义域是(o,y),业 1 tn- f'l X O 11(2x + l)(x-l)当 a = l 时，/ (x) = 2

16、x-l =,XX令r(x)>o,解得：%>i,令r(x)<。，解得：o<x<i,在(0,1)递减,在(1,+oo)递增,，f(x)极小值=f (1) =0,无极大值.(2) fx) = 2x- + (a-2) = (2x+-)(1)(x>0), XX当 a.O 时，若/'(x)>0,则 x>l,若尸(x)<0,则 0<x<l,./(x)在(0,1)递减，在(1,+oo)递增；当即-2<。<0 时，若r(x)>0,则或x>l,若/'(x)<0,则一二 f(x)在, 1)递减，在(0,-

17、今,(1,+00)递增；当- = 1,即” =-2时，恒成立，/(x)在(0,-rto)上单调递增；当-1>1即a<-2时，若r(x)>0,则0<x<l或X>|,若r(x)<0,则Icxc-W，.J(X)在递减，在(0,1), (-|, +8)递增，综上：当2时，/(©在(0,1)递增，在(1,-9递减，在(4，+oo)递增,当a = -2时，f(x)在(0,田)递增，当一2<。<0时，/(x)在(0,-殳递增，在(-1，1)递减，在(L+O递增，当a.O时，f(x)在(0,1)递减，在(1,+oo)递增.(3)由(1)知/

18、9;(X)= f - X-/以在(0,1)递减，.,xw(O,l)时，x2 -x-bvc> f (1) =0, ,x2-x>lnx ,令一(n + 1)2("+1)2(" + 1)2Hn , n + 1B|1 In>n,1324 3n + 1/?2 > , In > , In >z- , , In>,2-2 3-3 42n (n + 1)2中 Ie 4曰.3 ,4. n + 1123系 口得：/ 2 + /一 + /一 + In> + + +H,23n 22 32 42 (n + l)2,/ i、 123/. Imn + 1)

19、> + + 4-+.22 32 42( + l)4 .已知函数/(x) = /nr , g(x) = V.(1)若不等式/(x), or-1对xe(0,+oo)恒成立，求实数”的范围；(2)若正项数列仅”满足a=-2a")-,数列他“的前”项和为5.，求证: 24(4+1)2es- > 2” +1 .解：(1) .不等式ar-1 对xe(0,+oo)恒成立，Z/7T + 1a.：对xw(O,+<»)恒成立，X设 F(x) = (x > 0),贝IJ 尸(x)=-空, XX"令9(x)>0,解得0vx<l,令尸(x)<0,解

20、得x>l,故尸(x)在(0,1)递增,在(1,+oo)递减， 二尸(x)“ =尸(1) =1 .二。的取值范围是口，+00)；(2)证明：取a = l,由(1)可知/肛,x-1对xe(0,+oo)恒成立,则/”(l + 戏,x,g(x) = x2 , a“+| =-2g(%)- , q=:，/(q+1) 2'%a(a+D a + .j_=_L._L+l, . J_=1(_), «,1+1 2 a” 2a,1+l2 an.2"+,(-1) = 2"(-1)，数列2"('一1)是常数列,2"(-1) = 2(-1) = 2,2

21、"-12 4-1an > ln( + a”)= ln(+ rp-j-j) = ln -i=历(2" +1) - ln(,2" ' +1),> 1 I./”>, 2eSn >2n+l ,原结论成立.25 .已知函数 f(x) = bvc-y/ax-l +1 , a>0.(I )讨论/(幻的单调性；/ tt、-ru 口加 2Inn八 rr. *、(II )证明： + 7= + +<2 +V2(ne N ).3x/3 4V45 + 2)J + 2解：(i)由于r(x)=一一岸一=-巫工£,o, x 2yJax- 2x

22、yJax-故/(X)在J,+8)上单调递减. a(II )证明：当 a = 2 时，/(x) = bvc-j2x-l +1 .由(I )知/(x)在g,+oo)上单调递减.注意到/ (1) =0,则当x>l时，恒有仇r<后二1-1.2ln( + -)即， <Jn + 2又 Inn(n + 2) n + 22lnn(Jn + 2 - J + l) + 2Inn Inn 、<2(-j 一一7)./ + 1 + 2取x = l+-(wN),有历(1 + )<J1+1因此ln Ini话+本+Ind ,+ j)-Vn + I-京4-兽 ><2+O4 + 1 V&

23、#171; + 2,Zn(1 + ) /n(l )Im < zL +2_( + 2h/” + 2耳a6 .函数/(x) = sinx-ar+l .(1) a = p求x)的单调区间；(2)若f(x) Z cosx在K£0,乃上恒成立，求实数。的取值范围；(3)令函数 g(x) = /(x) + ar-l ,求证：g偌)+ g偌)+ g索)+.+g愚 N 管.1 11解：(1) 6/ = , f ,x) sin x x +1, cosx ,jrtt当+ 2kjr < x < + 2kji, A e Z 时，f(x) > 0 ,rr57r当 q + 2&4

24、 < x < - ", Z e Z 时，/'(x) < 0 ,所以f(x)的单调递增区间是(+ 2kjr, + 2kjv) , &eZ ,f（x）的单调递减区间是+ 24,当+ 2），kwZ .（2）不等式恒成立等价于ov + cosx-sinx-L, 0，麻。2/i(x) = a¥4-cosx-sinx-l,贝！由<（万） 0 ,可得到a,呜）” oy = ox + cosx-sin%-l可以看作是关于。的一次函数，单调递增,2令e(x) = x + cosx sinx1 , n2对于 , Vx e 0 , 7r, h(x,双x)恒

25、成立, n2只需证明夕(x)=x + cosx-sinx-L,。即可, n(x) = sinx cosx = >/2sin(x + ), 7C7141。当 x £ (0,工)，sinx + cosx = &sin(xh)g (1, /2, 24227t则夕'(x) =sinx-cosx<1<0 ,以x)在(0,一)上单调递减，又0(x) = 0, n7t2所以此时以幻v 0恒成立.2。当 乃)时，(x) = - - sin x - cos x = - - V2 sin(x + ) > 0 1M It ； 4nn43。当 xe (工,军)时，夕&

26、#39;(x) = 2_sinx-COS X =-V2sin(x + )单调递增， 2 4nn4吗)<0,“苧>0,所以在弓年)上存在唯一的与,使得收) = 0,当、£（0,飞）时，（x）0 ,当xe（天,万）时，d（x）0,所以9（x）在尤£（0,与）时单调递减，在xw（毛，乃）时单调递增, .,.奴0) = 0, (p(7V)= 0 ,奴式0)<0,奴尤） 0恒成立，故力（X）,以x） 0恒成立,24,一71 ht俎到卜兀41 (4A + 15)万 历 拉小 仆(3)证明：由(2) uj知 sinx-cosx08x-l =/2 sin(x) x -l

27、= sin(x)?4 n4/ .人 乃攵乃p(x) = sinx ,令 1=4 157t4*4-15, 八 八x = 万,k = 1, 2,89600 aXn 2J 得到 sin .x=(4k 15),15 n 60260”于3 , kjr 5/2 5 /11 ic >/2 . 8 x (14- 8)2 5/2从而 工§1口77 右 Z(4 - 15)=右(4x15x8) = ,1J OU q=OU2.Rn / 兀、,2兀、/3%、/8乃 2。2 zp|即 g() + g() + g() s()得证1515151557 .已知函数/(x) = ar-/nr.(1)若f(x)Z0

28、在(0,内)上恒成立，求实数的取值范围.(2)证明：Vne/V*, 旬 >(!产.解：(1) vx>0, .J(x).O等价于a也， X令 g(x) =妈，则 g，(X)= W， XXT令 g'(%)>。，解得：Ovxve，令 g，(x)<。，解得：x>e,故g(x)在(0,e)递增,在& y)递减,故g(x)2 = g (e)=-> e故实数a的取值范围是I, +ao). e(2)证明：由(1)可知土-/几工.0在(0,4-oc)上恒成立， e则x."ir = /6,即当且仅当x = e时"="成立，取x =

29、l, 2, 3,，则，>1" e2>2e9 e3>3e, , e">nef将上述不等式相乘可得*2+" "I > (1 x 2x 3 x"=(!)"“5+1)即 >(n!)e,故 >(!)".8 .已知函数/(x) = 2/nx-a(x-l).(1)若f(x) < 0,求实数a的值;(n + l)2n解：(1) f(x) = 2/nx-a(x-l),则 r(x) = 2_a = 2zI . XX当由0时，r(x)>0, /(幻在(0,400)上单调递增，e.* f (1)

30、 =0,，当x>l时，/(x)> f (1) =0,不符合题意，舍去；当 0<a<2 时，->1 ,由/'(x)>0 得，0<x<,由/'(x)<0 得，%>-,“(X)在(0,2)上单调递增，在(2,+00)上单调递减， aaf (1) =0, .,.当 xw(l,2)时，/(x) > f (1) =0,不符合题意,舍去； a2当 =2 时，一 =1,由广。)>0 得，Ovxvl；由尸(x)vO 得，X>1, af(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +oo)上单调递减，又/ (1) =0,./*

31、),0成立；当>2时，一<1,由/'(x)>0得，0cx<，由/'(x)<0 得，x>-, aaa/. f(x)在(0,-)上单调递增，在(士,+oo)上单调递减， aa7/ (1) =0, .当xw(,l)时，f(x)>f (1) =0,不符合题意，舍去； a综上得，a = 2.(2)证明：由(1)知，当a = 2时，/。)<0在(1,一)上成立，即历kk k令x = l+= 1,2,/!),则同 1+7<r，(n + 1)2(” + 1)2 (n + 1)2y Ml + - = /nJl + fl + 1 + n- 1白

32、 ( + 1产J 2,1 + (n +1)22 + (n +1)2 - -n + (n +1)2r.< -Je(n e N ).5 + 1)29.f(x) = sinx-x + x2.(1)当x NO时,求证:f(x) > 0；(2)证明：对一切正整数，sinl4-sin474-sin-!r + sin- + - + sin4?>-!2-324 n2 2 2( + 1)证明：(1) ./(X)= sinx-x + g%2,fr(x) = cos x -14- x , /"(x) = -sinx + l.O, fx)单调递增，x.0时,/r(x)./r(0) = 0,

33、 f(x)在(0,+oo)递增,?. /(x).O； ( + 1尸 ( + 1产 1 5 + 1)211 ( + 1)力1 2n _ n(n + l) _11<5 + 1)2 (n +1)2 -"+(n + D2 - 2(n + l)2 - 2(n +1) -1. < 2 >n(2) x.O时，/(x).O, .sinx-x +x2.O,sinx.x厂，x t k = 1, 2, 3, n ,2k2.111k2+k2-k2 11 11、sm > z- => T- >=-()k2k22k* 2k42k*2%(A + 1)2 k + 1故原命题成立.(

34、1)证明:x>0时，/(x)<0；(2)证明： 当 n>l 时，sin - + sin - 4-. + sin > 4- - 4-. 4-. 12n 2 3 n证明：(1)设 g(X)= r(X)= l-X-COSX,则 g'(x) = -1 + sin k, 0 ,故函数g(x)为减函数，可得g(x)vg(O) = O，即 r(x)O，故/(x)为减函数，所以/(x)v/(O).(2)由(1)知：x>0时，/(x)<0,可得/ ( 1) +/(2) + /(!)+ /d) <0， 23n111、1/111、/ .1.11、八2 3 n 2 I

35、2 22 32 n2 12 n而 i、i 1 1. 1 Z1 111、1,1111、nS 以 sin F sin f . + sin - >(l-i 1F.H)(r- + h +. h),12 n 2 3 n 2 I2 22 32 n2因为. 2 时，-TT <=,n (/7 - l)n n l nJ /ss 1 M1F d= 1< 1 ,所以 F + -7 + -y <2 ,22 32 n2所以 sinl + si+ siJ>(l+, + _L + L_x2 = 1 +1+ L 12n 2 3 n 22 3 n11.已知函数/(x) = 0x2+历MaeRaHO

36、).(1)求函数/(x)在1, e上的最大值 解：(1) fx) = ax + = ClX(2)当a = l时，求证：，x)-f(xn)>2n-2,其中n>l且n为整数.X X当。>0时，r(x)>0, f(x)在1, e上单调递增，则/(幻2=/(6)=g/ + ：当"()时，令八%) = 0,解得= /，易知当0<x<J-L时，/)>0, /(x)单增， V aV a当 x>J-L 时，f'(x)<0, f(x)单减，V a(0当.P 1 .即4, 一 1时，fW在口，e上单减，贝I/(x)=/(D= g V a2(i

37、i)当旧.e,即一夕,”0时，f(x)在1, e单增，则 f(x)3 = f(e) = $2+l;(iii)当 1 < g<e ,即-1<°<一，时，/(X)在(1，1)单增，在(，1，e)单减，则f(x)Mr =/(J)= 一；-；历(一。)；V a 2 2(2)证明：当 =1时，不等式显然成立;当 .2 时，有f'(x)n - r(x") = (x +)"一(x" + ) X父=C%"T T +( + + C；T X .击=cy-12.已知函数 /(X)= alnx -x + -. (1)当4 = 3时，求/

38、(X)的单调区间;+cy-(2)若f(x) W恒成立，求”的值;+c；'击， 设5 = &#2+(7)1+C'T击，S = C；9 + +CRT+"2,+C；-1) = 2(2"-2)2S = C(L +击)+原尸+止)+靖(/+D.2(C +dS.2"-2,即尸(x").2"-2(wN*).求证：对任意正整数n(n>l),都有(1+占)(1 +J)(l +1)(l + g<e (其中为自然对 234' n数的底数)解：(1) /(X)的定义域为(0,=+ 2=_(工1)(1 分)xx x"

39、x令/'(工)=。得 X = 1 或x = 2xw(o,l)时，fx) <0 ； xg(1,2)时，fx) >0 ； xe(2,-bx)时，/r(x)<0所以，/(x)的单调增区间是(1,2),单调减区间是(0,1), (2,+oo), . (3分)2(2)解：由/*),1 ,得Hnr-x + L,。对x£(0,+oo)恒成立. xt己人(x) = H/ir-x+l(x>0)其中6(1) =0 ,当 4,0 时，'0)<0 恒成立，(x)在(0,+oo)上单调递减，X£(0,l)时，h(x) > h (1) =0,不符合题

40、意：(4分)当 a > 0 时，令 hx) = 0 ,得 x = ，x£(0,)时，hx) > 0 , x £(,”)时，hx) < 0 ,所以力(X)在(0,。)上单调递增，在(。,+00)上单调递减，A(x)wn = h (a) =alna-a + L,。(6 分)记9(a) =abta-a + l(a>0) , cp (a) =lna .令夕(a) =0得a = l,二.aw(0,l)时夕'(a) <0； ac(l,+oo)时，(p (a) >0,(P (a)在(0,1)上单调递减，在。,+oo)上单调递增.(p (a) = alna -a + l.(p (1) =0,即 (a) .0, :.h (a) =0.又h (1) =0 > 故a = l(8 分)证明：由可知：/咚x-l ,(当且仅当x=l时等号成立).令x = l + ,贝i"(l+!)v-Vv!=-,(九.2).几-n /T /i