全章热门考点整合应用

1、全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题.近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与其他知识相结合的综合题.其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想.遴.去热一个定理三角形的中位线定理1 .如图所示，已知在四边形ABCD中，AD=BC且ACLBD,点E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点.求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形.杼番宓考一个性质直角三角形斜边上的中线性质2 .如图，在ABC中，点D,E,F

2、分别是AB,BC,CA的中点，AH是边BC上的高.求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)ZDHF=/DEF.:魁泰翁四个图形图形1平行四边形3 .【中考凉山州】如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知/BAC=30°,EFXAB,垂足为点F,连接DF.(1)求证：AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.(第3题)图形2矩形O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC4 .如图，在？ABCD中，点的延长线分别交于点E,F.(1)求证：AOEACOF.(2)连接EC,AF,则EF与AC满足什么数量关系时，

3、四边形AECF是矩形？请说明理由.图形3菱形BC于点5 .如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，过点E作EF/AB,交F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形.(2)当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么?(第5题)图形4正方形90。后至6 .如图，已知在RtAABC中，/ABC=90°,先把ABC绕点B顺时针旋转DBE,再把ABC沿射线AB平移至FEG,DE,FG相交于点H.(1)判断线段DE,FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG,求证：四边形CBEG是正方形.USB四个判定与性质判定与性质i平行四边形7 .如图，E,F分别是？ABCD的AD,BC边

4、上的点，且AE=CF.求证：ABEACDF;(2)若M,N分别是BE,DF的中点，连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.(第7题)判定与性质2矩形8 .【中考湘西州】如图，在？ABCD中，DEAB,BFXCD,垂足分别为E,F求证:(1)AADEACBF;(2)四边形DEBF为矩形.判定与性质3菱形AE=AC,9 .如图，在ABC中，/BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且EF/BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形.判定与性质4正方形10.如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F,交BC于点G,H为GE的中点.求证：FBXB

5、H.A21sB&四个技巧技巧i解与四边形有关的折叠问题的技巧（轴对称变换法）11 .如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点Ai,D1处，求阴影部分图形的周长.（第11题）技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧（特殊位置法）12 .如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O也是正方形ABCO的一个顶点,如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形ABCO绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由.技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)13 .如图，在边长为10

6、的菱形ABCD中，对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点，OELAB于E,OFXAD于F.求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由.(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE,OF之间的数量关系.(第13题)技巧4解中点四边形的技巧14 .如图，在ABC中，AB=AC,点O在ABC的内部，/BOC=90°,OB=OC,D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点.(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE

7、=2,EF=3,求ABC的面积.;考强至两种思想思想1转化思想15 .如图，在四边形ABCD中，/C=90°,/ABD=/CBD,AB=CB,P是BD上一点，PEXBC,PFXCD,垂足分别为点E,F.求证：PA=EF.(第15题)思想2数形结合思想16 .阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P(xi,yi),Q(X2,y2)为端点的线段的中点坐标为仪i+X2yi+y2、2，2.运用(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M,ON,OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为;(2)在平面直角坐标系中，有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点，另

8、有一点D与点A,8, C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标.答案1 .证明：(1)二.点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，1 一1.EF/AC且EF=AC,GH/AC且GH=AC,EH/BD,.EF/GH且EF=GH,二.四边形EFGH是平行四边形.又ACBD,EFXEH.-7EFGH是矩形.(2)二点E,P,G,Q分别为AB,AC,DC,DB的中点，1-11-八1ep=2BC,pg=2Ad,gq=2BC,qe=Ad.AD=BC,.1.EP=PG=GQ=QE,，四边形EQGP是菱形.点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系.2 .证明：(

9、1)二.点D,E分别是AB,BC的中点，DE/AC.同理可得EF/AB. 四边形ADEF是平行四边形.(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形， ./DAF=ZDEF.在RtAAHB中，D是AB的中点，1 -DH=2AB=AD, ./DAH=ZDHA.1同理可得HF=2AC=AF, ./FAH=ZFHA. /DAH+ZFAH=ZDHA+/FHA. ./DAF=ZDHF. ./DHF=/DEF.3 .证明：(1).在RtABC中，/BAC=30°,.AB=2BC. ABE是等边三角形，EFXAB, .AE=AB,AB=2AF,，AF=BC.在RtABCA和RtAAFE中，BC=AF,

10、BA=AE, RtABCARtAAFE(HL),AC=EF.(2) /AACD是等边三角形， ./DAC=60°,AC=AD, ./DAB=ZDAC+ZBAC=90°.又EFXAB,./EFA=90°=ZDAB.，EF/AD. .AC=EF,AC=AD,，EF=AD. 四边形ADFE是平行四边形.4. (1)证明：二四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,AB/CD,./AEO=ZCFO.在AOE和COF中，AEO=/CFO,UAOE=/COF,OA=OC.AOE，COF(AAS).(2)解：当AC=EF时，四边形AECF是矩形.理由如下：由(1)知AOEACO

11、F,OE=OF.AO=CO,四边形AECF是平行四边形.又.AC=EF,.四边形AECF是矩形.5. (1)证明：D,E分别是AB,AC的中点，DE是4ABC的中位线,DE/BC.又EF/AB, 四边形DBFE是平行四边形.(2)解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形.理由：D是AB的中点，1 bd=2Ab. DE是ABC的中位线，1-de=2bc.又AB=BC,.1.BD=DE.又四边形DBFE是平行四边形， 四边形DBFE是菱形.6. (1)解:DELFG.理由如下:由题意，得/A=/EDB=/GFE,ZABC=ZDBE=90°,./EDB+ZBED=90°. ./G

12、FE+ZBED=90°, ./FHE=90°,即DEXFG.(2)证明：ABC沿射线AB平移至FEG. .CB/GE,CB=GE. 四边形CBEG是平行四边形. ./ABC=ZGEF=90°, 四边形CBEG是矩形. BC=BE, 四边形CBEG是正方形.7. (1)证明：二四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,/A=/C.AE=CF,ABEACDF(SAS).(2)解：四边形MFNE是平行四边形.证明如下：ABEACDF,AEB=ZCFD,BE=DF.又M,N分别是BE,DF的中点，ME=FN. 四边形ABCD是平行四边形，BC/AD,AEB=ZFBE. ./

13、CFD=ZFBE.EB/DF,即ME/FN. 四边形MFNE是平行四边形.规律总结：本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形.8.证明：(1)二.四边形ABCD是平行四边形，A=/C,AD=CB.又.DEAB,BF±CD,DEA=ZBFC=90°.ADEACBF.(2) /AADEACBF,，AE=CF. .CD=AB,.1.DF=BE.又CD/AB, 四边形DEBF为平行四边形.又./DEB=90°, 四边形DEBF为矩形.9.证明：如图，连接CE,交AD于点O

14、. AC=AE,.ACE为等腰三角形. AO平分/CAE, AOXCE,且OC=OE. EF/CD,./2=/1.又./DOC=ZFOE,.DOCAFOE(ASA).OD=OF.即CE与DF互相垂直且平分，四边形CDEF是菱形.10.证明：二四边形ABCD是正方形，.CD=CB,/DCF=/BCF=45°,DC/AE,/CBE=90°,./CDF=ZE.X/CF=CF,DCFABCF./CDF=ZCBF.-ZCBF=ZE.H为GE的中点，-1HB=HG=1GE. ./HGB=ZHBG. /CDG+/CGD=90°,/CGD=/HGB=/HBG, ./FBG+ZHB

15、G=90°,即/FBH=90°,FBXBH.11 .解：.在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,，CD=AB=10,AD=BC=5.又.将矩形ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处,，根据轴对称的性质可得AiE=AE,AiDi=AD,DiF=DF.设线段DiF与线段AB交于点M,则阴影部分的周长为(AiE+EM+MDi+A1D1)+(MB+MF+FC+CB)=AE+EM+MD1+AD+MB+MF+FC+CB=(AE+EM+MB)+(MD1+MF+FC)+AD+CB=AB+(FD1+FC)+10=AB+(FD+FC)+10=10+10+10=

16、30.12 .解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是理由如下：四边形ABCD是正方形，.OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°.丁四边形ABCO是正方形，/EOF=90./EOF=/BOC./EOF/BOF=ZBOC/BOF,即/BOE=ZCOF./.ABOEACOF.Sboe=Scof.两个正方形重叠部分的面积等于Saboc.S正方形ABCD=1*1=1,Sxboc=二S正方形ABCD=:.44，两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是13.解：(1)在菱形ABCD中，AG=CG,ACXBD,14.11BG=2BD=2><16=8,由勾

17、股定理得AG=AB2BG2=冬10282=6,所以AC=2AG=2X6=12.11所以菱形ABCD的面积=&ACBD=&X12X16=96.(2)不发生变化.理由如下：如图，连接AO,则字ABD=SaABO+S*OD,111所以2BDAG=”BOE+ADOF,rJ1_1一即X16X6=2*10OE+X10OF.解得OE+OF=9.6,是定值，不变.A(第13题)(3)发生变化.如图，连接AO,则Saabd=Saabo-Saaod,1 11所以2BDAG=gABoe-2adof.即1X16X6=1X10OE-1X10OF.2 22解得OEOF=9.6,是定值，不变.所以OE+OF

18、的值发生变化，OE,OF之间的数量关系为OEOF=9.6.14.(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于H,AB=AC,OB=OC,AH是BC的中垂线，即AH±BC. .D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点，DG/EF/BC,DE/AH/GF. 四边形DEFG是平行四边形. EF/BC,AH±BC, AHXEF.又DE/AH, EFXDE, 四边形DEFG是矩形.(2)解：D,E,F分别是AB,OB,OC的中点,AO=2DE=4,BC=2EF=6.BOC是等腰直角三角形，1OH=2BC=3.，AH=OA+OH=4+3=7.-1Sabc=X6X7=21.（第15题）15 .证明：如图，连接PC.PEXBC,PFXCD,/ECF=90°,./PEC=/PFC=/ECF=90°.，四边形PECF是矩形.PC=EF.在ABP和CBP中，AB=CB,AAABP=ZCBP,BP=BP,ABPACBP(SAS).PA=PC.-.PA=EF.点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等.16 .解：(1)(2,1.5)(2)设点D