专题六几何探究题的解题思路

1、专题六几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革，几何的综合题不再是定格在条件-演绎-结论”这样封闭的模式中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论，或由结论去探索未给予的条件，或讨论存在的各种可能性；探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题，数学思想的合理应用起着关键性的作用，一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其

2、目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。2 .数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3 .函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系， 方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问

3、题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4 .转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正2难则反原则。三、典例分析例1:阅读理解：如图1,在直角梯形ABCD中，AB/CD,ZB=900,易证M

4、BPsAPCD,从而得到BPPC=AB解答下列问题：(1)模型探究：如图2,在四边形ABCD点P在BC边上，当/B=/C=/APD时，求证：BPPC=ABCD;(2)拓展应用：如图3,在四边形ABCDAB=4,BC=10,CD=6,/B=/C=600,AO， BC于点O,以O为原点,为x轴，建立平面直角坐标系，点当/APD=600时，求点P的坐标;点P在BC边上，当/APD=900时,以BC所在的直线P为线段OC上一动点过点P作PEPD,交y轴于点E,设OP=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.证明：如图2,.1=180-/B-/2/3=1800-ZAPD-/2/B=

5、ZAPD又./B=/CAABPAPCDABBP设P点坐标为(不与端点O、C重合).BPPC=ABCD贝UBP=2+x,PC=8-xx,0),(0 x8)(2)如图(I)当点P在线段OM设为P1,P1M=5-x(0 x5)连接DE;E1Pl2+D2=E1D2即x2+y2+(5-x)2+(3存)2=(33-y)2+523253y=x+x(0 x5)99(n)当点P在线段CMh设为P2,P2M=x-5(5x8)连接DE2E2P22+P2D2=E2D2即x2+y2+(x-5)2+(33)2=(3v13+y)2+52x-x(5x8)./B=/C=/APD=60.BPPC=ABCD即(2+x)(8-x)=

6、4x6解得：x1=2,x2=4.点P的坐标为P(2,0)或P(4,0)解法一：如图3,过点D作DMLx轴于点M1则CM=CD=3DM=33OM=52(I)当点P在线段OMk设为P1,P1M=x-5(0 x5)/E10k=/DMP=/E1P1D=900OP1?P1M=OE1?DM即x(5-x)=y-3J3y、 -32x953+x(0 x5)9(n)当点P在线段CM上设为P2,P2M=x-5(5x8)/1+/3=9001=/2RtAE2OP2RtAP2MDOP2P2MDM. O巳P2M=OE2DM即x(x-5)=y3.3解法二:32x53x(5x8)9则CM=如图1CD23,过点D作DMLx轴于点

7、M=3,DM=3,3OM=5D(5,373)评析：本题通过“阅读理解一模型探究一拓展应用三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）上升到新背景中的“特殊”（问题（2），使学生经历了“特殊一一般一特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了“易证,AABPsAPCD”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、 层

8、层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力例 2.2.已知菱形ABCD的边长为1,ZADC=60O,等边AAEF两边分别交边DC、CB于点E、F.（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AAEF的外心；（2）若点E、F始终在分别在边DC、CB上移动，记等边AAEF的外心为点P.猜想验证：如图2,猜想AAEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3,当AAEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点N,11交边DC的延长

9、线于点M,试判断十是否为定值，若是，请求出该定值；若不是,DMDN请说明理由解：（1）证明：如图1,分别连接OE、OF四边形ABCD是菱形ACBD,BD平分ZADC,AD=DC=BCCODCOBAOD=90011ADOADC60O=3022又E、F分别为DC、CB中点一111（图1为直角情形）B.OE=CD、OF=BC、AO=AD222OE=OF=OA.点O即为AAEF的外心(2)猜想：外心P一定落在直线DB上证明：如图2,分别连接PE、PA,过点P分另作PI_LCD于I,PJ_LAD于J.则/PIE=/PJD=90/ADC=60IPJ=360。-90O-90O-60O=120O点P是等边ME

10、F的外心，.EPA=120O,PE=PA./IPJ=/EPA./IPJ=/JPAAPIEAPJA/PI=PJ.IPJ=360OPIE-PJD-JDI点P在/ADC的平分线上，即点P落在直线DB上分析：证点P落在ZADC的平分线上，也就证明点P到直线AD、AC的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。 若考虑对角互补， 便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一： 分别连接PA、PC、PD四边形ABCD是菱形，/ADC=60O，BCD=120O,AD=CD点P是等边MEF的外心，NEAF=60O,NEAF+NBCE=180O A、F、C、E四点共圆，PA=PC.DA=D

11、CACDPMDP.CDP=/ADPP落在/ADC的平分线上.即点P落在直线另解法二：分别连接PA、PE、PD点P是等边AEF的外心，/EPA=120O,PE=PAPEA=30OADCEPA=180O A、P、E、D四点共圆.PDA-PEA=30OP落在/ADC的平分线上.即点P落在直线DB上.11.十为定值2DMDN当AE_LDC时，MEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P,由（1）可得点P即为MEF的外心解法一：如图，设MN交BC于点G设DM=x,DN=y(x=0,y#0),则CN=y1.BC/DA,且BC=DA,P是BD的中点.AGBP目AMDPCG=1-x.

12、BC/DAANCGs&NDMCNCGy-11-xDNDM1=2y11即一=2DMDN分析： 观察图形， 得到结论AM线段集中到两个相似的三角形NCG=CG,把1用AD或CD代替,把要计算的线段或相关,ANDM中,式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、解法二：如图，连接PE点P、ANEPsNDM设DM=x,DN=yPE/DANEEPNDDM则NE并把长度用字母表示，化简含字母的代数三、四。11.xy-x=-y2211-=2,xyDM1一=2DN解法三：过点G作直线GH/CD交AD于点H, GH/CDiHMGsADMNHGHMDNDM1DM-AMDNDM11=2DMDNDMBG=DM=

13、x解法六：如图4,以点D为坐标原点,DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设直线MN的解析式为y=kx+b可求得点P的坐标为（3,，3），3k+b4443 3b=-k4433直线MN的解析式为y=kx+-k44解法四：过点C作直线CK/CK/MN,AH/MNADCKsADNP,ADMPsDCDKDADHMN交BD于点K,过点A作AH/MN交BD于H.：DAHDNDP11+DMDNDMDPDKDHDP由ACKPAAHP得:DKDH=2DPKP=HP1=2DMDN_LDA于J,则PI-PJ-虫4DNDP1DK解法五：如图，过点P作PI_LDC于I,PJS.DNPS.DMPMN111oDNPIDMP

14、JDMDNsin602221.3131.3DN1DM=1DMDN24242211DM+DN=2DMDN，+，=2DMDN11DMDN一分析：因为+=，而DM?NDMDNDM?DN正与ADMN的面积有关，其中DM,DN也可以看成是将ADMN分为ADNP和&DMP后，计算面积过程中涉及的底边。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。求得直线DN的解析式为y=J3x3 .3k一4 4,x二-评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质

15、，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略一一试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。

16、其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P落在直线DB上，证点P落在/ADC的平分线上，也就证明点P到直线ADAC的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第（2）小题第以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。四、强化训练1.如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=36,点P是边BC上的动点（点P不与点B、点C重合），过点P作直线PQ/BD,交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设

17、CP的长度为x,APQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.（1）求ZCQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；令kx由一3k=/3x,x=DNcos60o3k一2,3DMDN3k一k-.3染一虫3k-.3.二21_1(3k-3)3k-4(1)如图(2)如图1,如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；2,如果毁=m，求旦旦的值；(3)如果ADDBDB1=1,设AE2DF=x,BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;2.如图1,在RtAABC中，NC=900,AC=BC=6,D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、

18、C不重合），DF_LDE,DF与射线CB相交于点F。3 .四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=3,点M是射线DC上的一个动点(点M不与点D重合)，N是点M关于AD的对称点，射线AM交射线BC于E,设DM=m,CE=n,MNE的面积为S.(1)如图1,当点M在DC边上运动时，试用m的代数式表示n,并写出m的取值范围；(2)当点M在町线DC上运动时，判断MNE的面积S是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用m的代数式表示S,并写出m的取值范围.图2(备用图)4.已知：在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=

19、2.(1)如图1,当四边形EFGH为正方形时，求AGFC的面积；(2)如图2,当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求AGFC的面积(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，AGFC的面积能否等于2?请说明理由.5.已知，AABC是等腰直角三角形，/BAC=90O,BC=2,D是线段BC上一点，以在AD的右侧作正方形ADEF,直线AE与直线BC交于点G,连接CF.1,当BD1时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF与线段BD的关系，并GF,判断线段BD为何值时，AGFC是等腰三角形.AD为边,(1)如图(2)如图说明理由；(3)连接6.有公共顶点大小不等的正方形ABCD与正方形AEFG,

20、两个正方形分别绕着点A旋转至下列图形的位置，其中/BAE=日(00日1800).(1)如图1,连接BG、DE,判断线段BG与DE的数量及位置之间的关系，并说明理由;(2)连接BE、DG,过点A的直线垂直DG于H交BE于P.如图2,求证MBE与MDG的面积相等；7.(1)如图1,在MBC中，AC=BC=222,/ACB=900,点E在AC边上(不与点A、C重合)， 过E作DE_LAB于D,连接CD、BE,M为BE的中点，连接CM、DM求证：ACDM是等腰直角三角形;若AD=x,ACDM的面积为S,求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(2)如果把图1中的MDE绕着点A逆时针旋转至图2的

21、位置，其它的条件不变，那么CDM是否还是等腰直角三角形？请说明理由CCABMDEMEADB158 .如图1,在菱形ABCD中，AB=4,/BAD=1200,M是BC边上的点，/BAM(0Oa60O)，点N在CD边上，/MAN=600,AM、AN分别与BD相交于P、Q两点，当/MAN绕着点A旋转时，点M、N、P、Q也随之运动.请解答下列(1)求证：AAMN是等边三角形;(2)在/MAN旋转的过程中，当值为何值时，四边形AMCN的周长最小？求四边形AMCN周长的最小值;(3)如图2,当BP=2DQ时，判断PQ与DQ之间的数量关系，并说明理由PD16BD9.如图，在MBC中，AB=BC=5,AC=6

22、,过点A作AD/CB,点P、Q分别是射线AD、线段AB上的动点，且AP=BQ,过点P作PE/AC交线段AQ于O,交BC于E,设APOQ的面积为y,AP=x.(1)用x的代数式表示PO；(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接QE,若APQE与APOQ相似，求AP的长.10.如图，RtMBC,/C=90,BC=6,AC=8忒P、Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动(不与点B重合)，点Q从A向B运动，BP=AQ忒D,E分别是点、Q同时停止运动.设BP的长为x,4HDE的面积为y.(1)求证：&DHQs&ABC;(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值；A,B

23、以Q,P为对称中心的对称点,HQ-LAB于Q交AC于点H,当点E到达顶点A时,(3)当x为何值时，AHDE为等腰三角形？CH11.(1)在正方形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上(点E、C不重合).CE如图1,点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及上三的值，并BM证明你的结论；如图2,点M、A不重合，BN=NE,你在中得到的两个结论是否成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3,如果把(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，那么你在中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的

24、结论12.如图，在MBC中，ZACB=90，点P到/ACB两边的距离相等，且PA=PB.(1)先用尺规作出符合要求的点P(保留作图痕迹，不需要写作法)，然后判断ABP的形状，并说明理由；(2)设PA=m,PC=n，试用m、n的代数式表示AABC的周长和面积；(3)设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，CD+CD的值是否发ACBC生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由.2. (1)证明：连接CD如图1.ABC是直角三角形，/C=90o,AC=BC点D是AB的中点2 .CD!AB,CD=DB/FCD4B=45o/BDF=9Co-/FDC3 /EDF=9CoZCDE

25、=9Co-ZFDC，/BDF之CDE/.ACDtE2BDF.DE=DF(2)过D作DGLAB交AC于G如图2.贝UAD=DG/EGDhB=45o又/EDGWFDB.GDPBDF专题六几何探究题1.解：(1)-.PQ/BD，/CQP=BDCBC在RtBDC#,./C=90otanZBDC=-DC(2)如备用图1,点R落在AB上。./CPQ=9。-/CQP=6。/ RPQ=CPQ=6d/ RPB=60o11八1BP=PR-CP=X222则x1x=373.x=2V32(3)有两种情况：当0 xE2j3时，y=当2J3x3d3时，如备用图2。PB=3V3-xPN=2PB=6、Q-2xRN=x-PN=3

26、x-633-RM=RN=3x-63321y)x2RNRM22=-3x218x-183备用图2D图2DEDGDEAD=-=mDFDBDFDB(3)AB=6.21DG=AD=AB=22BD=4.23ADAG=ocos30.AD：DB=1：2有两种情况：如图2,当0cxM4时。由GD9BDF得:EGFBDGDB4-x=22y4,2y=8-2x由GDPBDF得:EGDGFB-DB,x_-422y4,2y=2x-8 MMDsAEMCADDM3m=.=ECCMn2-m6-3m0:二m:二2当m=2时n=0(2)S为定值6,分三种情况：当0cm2时，如图1：如备用图，当4cxE_AES.AMN-AM综上所述

27、：S为定值4.解：(1)如图1,在正方形S二AM6。过点G作GM_LBC于MEFGHK1ccc2m3=62HEF=90；,EH=EF.AEH.BEF=90：A.AEH.AHE=901,ZAHEZBEF.又.ABB=90,./AH力BEF.同理可证：/MF8BEF.GM=BF=AE=2.FC=BC-BF=10.(2)如图2,过点G作GM_LBC于M.连接HF.：ADBC,.AHF=/MFH.7EHFG,.EHF二GFH.AHE=/MFG.又：A二GMF=90EH=GF,./AH力MFG.GM=AE=2.11.SGFC=5FCGM=3(12-a)=12-a.(3)/GFM面积不能等于2.若SGFC

28、=2,贝U12-a=2,a=10.此时，在BEF中,EF；BE2BF2=(10=21102-=164.AH=EH2AE2=EEF2AE2=：16422丁守16012.即点H已经不在边AB上.故不可能有SGFC=2.解法二：力GFC勺面积不能等于2.点H在AD上，菱形边长EH的最大值为2J37.BF的最大值为2历.BF图2GCM又因为函数SGFC=12-a的值随着a的增大而减小,又122衣？2，/GFC勺面积不能等于2.5.解：(1)二.四边形ADE喔正方形，ABC是等腰直角三角形，6AB=ACAD=AF/BA(CDDAF=90o:.BBAD=/CAFAB坐ACF/(2)作图如右：/斗猜测：CF

29、=BDCFLBDEZDcG国2理由是：同(1)可得AB坐ACF.CF=BDACF=/AB氏ZACB=45o./FCB=90o,CFLBD解得：x1=色（舍去），x2=42综上所得，当BD等于2-2或6时，CF%等腰三角形6.解：（1）BG=DEBG_LDE理由：方法一：二四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形.AD=ABAE=AG/DAB=/EAG=90/DAE=/BAG=90十日ADAE叁ABAGBAG可以看作由ADAE顺时针旋转900得到的（或iDAE可以看作由ABAG逆时针旋转900得到的），故BG=DE,BGDE方法二：连接BD如图.所以SGFC的最小值为122万.(3)连接GF.A

30、E是正方形ADEFF勺对角线，/FAE=ZDAE=45o又AD=AFAG=AG（22x）2=2x2解得：xi=2+也1（舍去），X2=2也如图2,当BA1时，.CG=BDFG=DG=BC=2在RtACFG,根据勾股定理得Fe=CG2+CU,22=2x2D图1AG证ADAE且ABAG得BG=DE,ADE=/ABG.ODB.OBD=(.ADB一/ADE)(.ABD.ABG)=.ADB.ABD=90O.BOD=90，BG_DE(2)方法一：过E作EM_LAB于M,过G作GN_LDA的延长线于N.则ME/ANZAEM=/EAN-SABE-S.ADG方法二：过B作BM/AE交直线HP于M./MAE=90

31、0/GAH,/AGD=900-/GAH同理：.BAM=.ADG方法三：过A作AM_LBE于M交DG于N./MAE=90-/AEM,/NAG=90-/EAN,MAE=.NAG又.AG=AE.AME=/ANG=90。AAME9AANGEM=GN_1TABE=1ABEM_1-S必DG=1AD.GN,ECMNFAGD图2ABuAD又.AB=ADMBMADAG S.ABM=S.DAGBM=AGAE=AGBM=AE又. BPM=/EPAABPMAEPASBPM=S.EPAS.ABM=S.ABE一S.ABE=S.ADG.MBMADAGAM=DGBPM，、一1为7E值一2AM=2AP1-AP=1DG2所以空D

32、G则.BMA=.MAE MAE=/AGDNBAP=900-/DAH,ZADN=900-DAHDNHG.BAP=ADN.ABP=90-BAM,.DAN=90BAM.ABP=/DAN又.AB=DAMBPADAN同理可证：SAPE=S-GNASABPSAPE=SDANSGNA即S.ABEMBPsADAN，.;AP=DNAP=GN1-APJDG2AP.所以为定值DG方法四： 过B作BM，直线HP于M,过E作BN，直线.ABM=90。-BAM,.DAH=900-BAM=/DAH又.ZAMB=/DHA=90AB=DAAABMgADAHS&BM=SMAHBM=AH同理可证：MEN色AGAHSAEN=

33、S.GAHEN=AHHP于N.BM=EN又/BMP=/ENP=900,/BPM=/EPNABPM9AEPNS占PM=S.EPNS.ABE=SABM.S.AEN又，S.ADG=S.DAHS.GAH=S.ABMS.AEN-SABE=SADG由得MBM9ADAH,MEN9AGAH.AM=DH,AN二GH.AM+AN=DG,又ABPM0&EPN.MP=NPAMAN=2AP1-APJDG2所以AP1AP为定值17.(1)方法一：如图1-1.EDBACB=900,EM=MB-1CM=DM=1EB=BM2.1-3.4-24256-26DGDy图1J又AC=BC/ABC=450，/1+/2=2(/4+

34、N6)=2/ABC=900即/CMD=900ACDM是等腰直角三角形方法二：如图1-2.把AACD绕着点C逆时针旋转90,点A落在点B处，点D落在点F处，连接MF.则BF=AD,CF=CD，/BCF=/ACD,BF_LAD.AD_LDEZA=45AD=DEBF=DEBF/DE.四边形DBFE是矩形.又.EM=MB.点M是矩形DBFE的中心DM=MF点D、M、F在同一直线上.且DM=MF又.DCF=/DCB.BCF=/DCB.ACD=90CM=DMNCMD=900所以ACDM是等腰直角三角形C方法三：如图1-2.延长DM至UF,使得DM=MF,连接BF、EF、CF.E/ZFDE1AB于D.ZED

35、B=90又.EM=MB.四边形DBFE是矩形./ZCBF=90-ZABC=45=NAAD图1-2B又.BC=AC,BF=DE=ADABCFAACD./BCF=NACD,CF=CD，DCFDCBBCFDCBACD=90NCMD=90CM=DM所以ACDM是等腰直角三角形方法一：在RtAADE中.ZADE=90/A=45AD=xAE=瓜CE=AC-AE=22-缶又/ECB=90,BC=2也BE2=BC2CE2=(2.2)2(22-2x)2=2(x-2)28121212._-S=-CM=BE=(x-2)+1(0 x2)284C方法二：如图1-3.过点C作CH_LAB于H.JC.AC=BC=2亚，/A

36、CB=90E/JX.AB=JAC2+BC2=4.AH=CH=；AB=2ZIM2222DH=2-x.CD2=DH2+CH2=(2-x)2+4又.CM=DM/CMD=900_212_1_2121_2CM2=CD2.S=CM2=CD2=(x2)2+1(0ex2)2244(2)方法一：如图2-1.把AACD绕着点C逆时针旋转900,点A落在点B处，点D落在点F处，连接MF、EF.则BF=AD,CD=CF,ZBCF=dACDBF_LAD,AD_LDENEAD=45O/.AD=DEBF=DEBF/DE四边形DBFE是平行四边形.又EM=MB.点M是平行四边形点D、M、F在同一直线上.且DM又.DCF=/D

37、CBBCF=/DCB/CMD=900,CM=DM所以ACDM是等腰直角三角形方法二： 如图2-2.延长DM到F,使得DM=MF,连接BF则四边形DBFE是平行四边形BF=DEAD_LDENEAD=45AD=DEBF=ADN3=N1+N2,NAED=45.AEB=45-3=450.1.2设MDE绕点A逆时针旋转角NDAB=&则/4=450-a,NEAB=45+aABE=45-2,AEBEABABE=180(45+/1+/2)+(45+叼+(45-2)=180，4=/4又BC=ACABCFMCDNBCF=NACDDCF=，DCBBCF=，DCBACD=90，/CMD=90,CM=DM所以A

38、CDM是等腰直角三角形8.(1)连接AC如图1.EF、CF、MF.四边形ABC此菱形，/BAD=120，/ACBWABCWCABWACN=60AM=.AB2-BM2=.42-22=2.3(3) PQ=.3DQ理由：方法一：把ABM第着点A顺时针旋转，使得点B与点D重合，点P落在点p1处如图.则BP=DP=2DQ/PDA=/PBAWADQ=30/PDQ=60,连接PQ,记PD的中点为T,.1，连接TQ.又TD-DQnDP2DTM等边三角形.TQ=TD=P.DPQ=ZPQT=30,./DQT=60.DCP1=900 PQ2P，D2-DQ2=3DQ2,.PQ=3DQ/PAQ=60,/BAD=120丁

39、/PAB吆DAQ=60/P1AD玄PAB./PAQWPAQ=60又AP=AP,AQ=AQ.PA*PAQAPQ=PQ.PQ=3DQ、._.万法二：作点D关于直线AN的对称点D,连接DQPD、AD,取PD的,.、.中点T,连接QT则DQDQAD=AD.证口入陛BAP#PD=BP,其它步骤与方法一类似。AC=AB又/MAN=60，/BAM=CAN=60-/MAN.BAIWCAN.AM=AN.AMNM等边三角形(2)BA阵CANBM=CN.CM+CN=BC=AB=4.四边形AMCN1周长=AM+CM+CN+AN四边形AMCN1周长=2AM+4当AMt小时，四边形AMCN勺周长最小即当AMLBCa=30

40、0时，四边形AMCN勺周长最小.此时./AMB=90,/BAM=30/.BM=1AB=22四边形AMCN勺周长最小值为：4,349.解(1)如图2,.OE/ACABOEsABAC,MOPsABAC则AC边上的高为4.又.AP/BCZPAQ=/B.PAQAQBEAOAPPOBABCAO=x,CAPO=6x5xPO(2)如图3,在等腰AABC中,AB=BC=5,AC所以S-ABC=12.由MOPsBAC得SA0PSBAC=(APBC)2即包空=(3)2125所以122x.25AAOP与APOQ是同高三角形,所以S.POQOQ5-2xS.AOPAOc5-2x122y=SPOQ=xx2524x2521

41、2十一x,50:x(3)如图4,AQ=5x,BE=BOAQ=BOPQ=QEAPQE是等腰三角形APQE与APOQ有一个公共的2P,而且POQPEQ只存在/POQ=/PEQ的情况。当APQEsAPOQ时，APOQ也是等腰三角形,OP=OQ625.一x=5-2x,解得：AP=x=51610.(1).A、D关于点Q成中心对称，HQXAB,，HQD=/C=90,HD=HA,31ZHDQ=/A,.DHQAABC.(2)如图1,当0 xW2.5时,3ED=104x,QH=AQtan/A=4此时y=1(10-4x)M3x=_3x2+15x.2424当x=5时，最大值y=75.432如图2,当2.5xM5时，

42、3ED=4x-10,QH=AQtan/A=x,4,一，133c1575此时y=_(4x10)xx=2x-x.当x=5时，最大值y=.242443215-x2+x(0 x2.5),.y与x之间的函数解析式为y=424y32150：入、一xx(2.5x5).、24.一.75y的最大值是75.4(3)如图1,当0 xE2.5时，若DE=DH,DH=AH=QACOS/A5=-x4DE=10-4x,10-4x=5x,x=421显然ED=EH,HD=HE不可能;如图2,当2.5xM5时，若DE=DH,4x-10=5x,x=丝;411若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,若ED=EH,贝必EDHAH

43、DA,x=5；5xEDDH4x-104x320 xDHAD52x103x4，当x的值为4040320,5,2111103HDE是等腰三角形CE.211.解：（1）BN与NE的位置关系是BN_LNE；证明：如图1,过点E作EG_LAF于G,则/EGN=90.矩形ABCD中，AB=BC,矩形ABCD为正方形.AB=AD=CD,/A=/ADC=/DCB=90.EG/CD,NEGN=NA,/CDF=90.E为CF的中点，EG/CD,_11_1GF=DGDF=1CDCECD22211.N为MD(AD)的中点，.AN=ND=1AD=-CD22GE=AN,NG=NDDG=AD=AB.ANGEABAN./1=/2./2+/3=90/1+/3=902BNE=90.BN_LNE.,/CDF=900,CD=DF.NF=NFCD=450,CF=五CD1CF二日CECECE22，人已:，BM-BA-CD-CD-2(2)在(1)中得到的两个结论均成立.证明