专题复习-复合函数学生版

1、复合函数专题复合函数常考的题型有：(1)求解定义域问题(已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域;已知的定义域，求的定义域)遵循等位等效性原则。(2)判定函数单调性问题：已知函数y=f(g(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f(g(x)在区间(a,b)上是增函数.遵循同增异减原则。一、复合函数定义域问题：(1)、已知的定义域，求的定义域例1.设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为0解析：函数的定义域为(0,1)即，所以的作用范围为(0,1)又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得

2、，故函数的定义域为(1,e)例2.若函数，则函数的定义域为o答案：(2)、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D,即，由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用，作用范围不变，所以的定义域例3.已知的定义域为,则函数的定义域为解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4.已知，则函数答案：(3)、已知的定义域，求思路：设的定义域为D,即对作用，作用范围不变，所以，例5.若函数的定义域为，解析：的定义域为，即由此得的作用范围为又f对作用，所以的定义域为0的定义域,由此得，的作用范围为E,又f解得，F为的定义域。则的定义域为o,解得即的

3、定义域为二、复合函数单调性问题已知函数y=f(g(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f(g(x)在区间(a,b)上是增函数.例、证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x?)，记u=g(x1)，5=g(x2)即ui>U2,且Ui,U2w(c,d)因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2)，即f(g(x1)<f(g(x2),故函数y=f

4、(g(x)在区间(a,b)上是增函数.复合函数的单调性是由两个函数共同决定“同向得增，异向得减”或“同增异减”.复合函数y=f(g(x)的单调性判断例1、求函数y=log：(x2-2x-3)的单调区间，并用单调定义给予证明.2解：定义域x2-2x-3.0=x.3或x：-1单调减区间是(3,+=°)设与，x2W(3,")且用<x2则22yi=log1(xi-2x1-3)y2=log1(x2-2x2-3)22,2_2,、，(x1-2x1-3)-(x2-2x2-3)=(x2-x1)(x2x1-2)'''x2>x1>3x2-x1>0x

5、2+x1-2>0.2_21,(x12x13)>(x22x23)又底i数0<一<12,y2y100即y2<y1y在(3,f)上是减函数.同理可证：y在(-°0,T)上是增函数.例2、讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)的单调性.1解由3x2-2xT>0得函数的止义域为x|x>1,或x<-一.3则当a>1时，若x>1,<u=3x2-2x-1为增函数，f(x)=loga(3x2-2x-1)为增函数.1右x<,-u3x-2x-1为减函数.f(x)=loga(3x-2x-1)为减函数。3当0<a<1时

6、，若x>1,则f(x)=loga(3x22x1)为减函数，一1右xc，则f(x)=loga(3x22x1)为增函数.3例3、.已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，求a的取值范围.答案：0<a<1或1<a<2.例4、已知函数f(x2)=ax2(a3)x+a2(a为负整数)的图象经过点(m2,0),mwR,设g(x)=ff(x),F(x)=pg(x)+f(x).问是否存在实数p(pc0)使得F(x)在区间(g,f(2)上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。解析由已知f(m2)=0,得am2(a3)m+a-2=0,其中mWR,a

7、00.之0即3a2-2a-9<0,IW#1_2<7<a<12.33:a为负整数，.a=T. f(x2)=x?+4x3=(x2)2+1,即f(x)=-x2+1.g(x)=ff(x)=-(-x2+1)2+1=-x4+2x2, 二F(x)=pg(x)f(x)-px4(2p-1)x21.假设存在实数p(p<0),使得F(x)满足条件，设Xi<x2,F(Xi)-F(X2)=(Xi2-X2)-p(X12x2)2p-1.f(2)=3,当Xi,X2W(3,3)时，F(x)为减函数， F(Xi)-F(X2)>0,x12-x2>0,-p(x2+x2)+2p1>

8、0.Xi<-3,X2<-3,-x12+x2>18,一p(x2+x2)+2p1A16p1,-16p-1>0.®当Xi,X2T,0)时，F(x)增函数，F(Xi)-F(X2)<0.x2-x2>0,-p(x12+x2)+2p-1<-16p-1,-16p-1£0.由、可知p=-故存在p=一.1616针对性课堂训练、复合函数定义域问题部分1、已知函数f(x)的定义域为0,1,求函数f(x2)的定义域。2、已知函数f(3-2x)的定义域为-3,3,求f(x)的定义域。3、已知函数y=f(x+2)的定义域为(-1,0),求f(|2x1|)的定义域

9、二、复合函数单调性问题：1、函数y=l0gl(x2-3x+2)的单调递减区间是()22、找单调区间.(1)y=a"由xq2(a>1);(2)y=2、3、讨论y=loga(ax-1),(a>0,且a#0)的单调性。衔接内容(一)因式分解、初高中知识点链接知识点初中高中因式分解提公因式法和公式法因式分解式子的恒等艾形十字相乘法分组分解法现行的初中教材中，因式分解只介绍两种方法，即“提取公因式法”和“运用公式法”。实际因式分解还有两种方法需要掌握，即“十字相乘法”和“分组分解法”，而这两种方法在高中数学中都有用途，所以本文对因式分解的本质介绍的前提下，重点介绍后两种方法。二、知

10、识回顾1、因式分解的概念在现行初中教材中的因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积形式。由概念不难看出，因式分解的本质就是经过恒等变形，将一个多项式化成几个整式的“乘积”的形式。所以过程是恒等变形，结果是化成“乘积”的形式，所以关键是如何进行恒等变形的问题。”提取公因式法”需要的过程是：将多项式每个项中所含的相同“结构”，即公因式提出来；“运用公式法”是从多项式的特殊“结构”，即逆向运用乘法公式的形式，运用公式分解因式。这里还需要补充高中阶段能用到的适合分解因式的公式还有：a3b3=(ab)(aab2=x(ab)xab=(xa)(xb)ab即二次项系数和常数项分解以后重新相乘再加得到一次

11、项系数，进而可以分解因式。这样的分解因式的方法叫做“十字相乘法”。用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。-abb2)3322a-b=(a-b)(aabb)2、十字相乘法我们来观察x25x6=x2(23)x232=x22x3x23=x(x2)3(x2)=(x2)(x3)又有在我们学习乘法运算时有：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab因此在分解因式中有x2(ab)xab=(x'a)(x-b)注意观察上式的系数。对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式x2+px+q,它的常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)也就是

12、令p=a+b,q=ab时，x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。如何确定，看下面的“十字相乘”与分解因式之间的对应关系：所以用“十字相乘法”分解因式的结构必须是“二次三项式”的形式。例1:分解因式：(1) x2-5x+6口X来(2) x2-4x-21分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利用分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了评注：十字相乘时，要注意二次项系数和常数项分解后的搭配问题，比如：(1)中十字相乘也1£可

13、以有其他的方式，1,但这种方式只适合于多项式x2-7x+6,而不是x2-5x+6o-6-1=-7所以对每个二次三项式的分解因式，利用十字项乘法时，需要选择恰当的搭配才能成功。同步练习1:22(1)x+5x+6(2)x3x+222(3)x-3x-4(4)x-x-12例2:分解因式(1) x4-2x2-8(2) (ab)2-4(ab)3分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如(1)可以看作关于x2的二次三项式(2)可以看作关于(a+b)的二次三项式。例3、因式分解69+19y+15。分析：该题虽然二次项系数

14、不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解。2尸乂3因为二19y+10y=19y解：原式=(2y+3)(3y+5)例4、因式分解14/+3X-27。&X3分析：因为21x+(-18x)=3x解：原式=(2x+3)(7x-9)例5、因式分解10(*+2p290+2)+10。分析：该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解2(彳+2)y-5因为-2'_-1+-12-_-1=-14:(-4a)=-a解：原式=1；'；-2:J"-12=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注

15、意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如-2工+5在实数范围内就不能再进一步因式分解了同步练习2:x4-5x23422,-25(x+2)+-4(x+2)=-29(x+2)解：原式=2(x+2)-55(x+2)-2=(2x-1)(5x+8)例6、因式分解一4-14(J-。)+24。分析：该题可以先将(J-a)看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。a+(-2a)=-a3a+因为(a+b)c+(a+b)d=(a+b)(c+d)。这个题目结构非常清楚，有公因式(a+b),所以直接提取即可。但如果待分解因式的多项式是ac+bc+da+bd，就不能直接提取公因式了，原因是把待分解的

16、多项式由(a+b)c+(a+b)d变形为比这个更原始的结构ac+bc+da+bd,但我们知道两个式子是恒等的。这种情况下，分解因式的过程自然就是：acbcdabd=(a+b)c+(a+b)d=(a+b)(c+d)。这样分解因式的方法叫做分组分解法，即将多项式适当分组后经过局部分解，化成可以整体分解的结构，最终可以整体分解的方法。不难看出，运用分组分解法分解因式时，关键是分组，如何分组是这种方法运用当中的难点。如何突破这个难点呢？分组的方式一般是多样的，其中首先要考虑能够局部分解，将多项式化成可以整体分解的结构。例8分解因式：22222222(1)axbyaybx(2)a2-2abb2-4c2(

17、3) x2-2xyy2-3x3y2(1)分析：在多项式a2x2+b2y2+a2y2+b2x2中，第一项和第三项有公因式a2,而第二项和第四项也有公因式b2,这样观察到局部有公因式可提取，即可完成分组这个关键步骤。评注：这个多项式分组的方式还有一种，即第一项与第四项组合，第二项与第三项组合。如何分组关键就是能否局部分解。由于整体分解时运用的是“提取公因式法”，所以这种分组分解法可叫做“间接提取公因式法”。(2)分析：在多项式a2-2ab+b2-4c2中，前三项是完全平方式，而第四项除了负号也是完全平方形式，这样前三项分成一组，最后一项分成另一组就可以构造平方差的结构。(2)解：a2。2abb2-

18、4c2=(a-b)2-(2c)2二(a-b-2c)(a-b-2c)评注：这个多项式的分解因式中，其他分组的方式是不能进行分解因式的，比如前两项组合在一起，后两项组合在一起，虽然都能局部分解，但不能进行整体分解，所以这种分组的方式是失败的。在对多项式的结构没有观察清楚的前提下，分组失败是经常出现的，但只要注意分组的方向，即恒等变形过程中，化成能够在局部分解的前提下，又能整体分解的结构，就能达到分解因式的目的。由于整体分解时运用的是“运用公式法”，所以这种分组分解法可叫做“问接运用公式法”。(3)分析：在多项式x2-2xy+y2-3x+3y+2中，前三项是完全平方的结构，第四和第五有公因式3,最后

19、一项做为常数项，即可构造十字相乘法的结构。(2)此题是二元二次多项式的特殊结构(三个二次项构成完全平方式)，实际只要是可分解的二元二次多项式，其他结构的分解因式也可以经过局部分解，最后整体分解时也可运用十字相乘法分解，所以第一种方法是有局限性的。由于整体分解时运用的是“十字相乘法”，所以这种分组分解法可叫做“间接十字相乘法”。课堂练习2:22(1) ab-bcad-cd/222(2) x-y2yz-z22_(3)x-4xy4y-3x6y2例9分解因式：x2-3xy+2y2-2x+3y+1分析：根据多项式的结构特点，经过分组和局部分解将它化成关于x的二次三项的结构(或广义的十字相乘的结构),然后运用十字相乘法。评注：本题除了上述两种方法之外，只要是经过分组和局部分解把多项式化成二次三项的形式，都能利用十字相乘法分解因式。比如：经过分组和局部分解化成关于y的二次三项式的结构(2y2-3(x-1)y+(x-1)2),不难看出，把多项式可以看成关于(x-1)的二次三项式的结