专题-勾股定理培优版(综合)

1、专题勾股定理在动态几何中的应用,勾股定理与对称变换(一)动点证明题1 .如图，在小BC中，AB=AC,(1)若P为边BC上的中点，连结AP,求证：BPXCP=AB2-AP2;(2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由;(3)若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论(二)最值问题2 .如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3,BE=1,P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是3 .如图，四边形ABCD是正方形，9BE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°

2、;得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：AAMBAENB;(2)当M点在何处时，AM+CM的值最小;M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;C(3)C当AM+BM+CM的最小值为V31时，求正方形的边长.4 .问题：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若/BA®/C=2ZDA©45°,DG=2,求BD的长.小明同学的解题思路是：利用轴对称，把ADCa行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决.(1)请你回答：图中BD的长为；(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若/BAD=ZC=2ZDAC=30,DC=2求BD

3、和AB的长.图图二.勾股定理与旋转5 .阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1,在ABC（其中/BAC是一个可以变化的角）中，AB=2AC=4以BC为边在BC的下方作等边PBC求AP的最大值。图1图2小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将AB值时针旋转60得到ABC,连接AA,当点A落在AC上时，此题可解（如图2）.请你回答：AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下歹I问题:（结如图3,等腰RtAABC边AB=4,P为4ABC内部一点，则AP+BP+C的最小值是果可以不化简）6 .如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3BP=4CP

4、=5求/APB的度数.变式1:?ABC,/ACB=90,AC=BC点P是？ABC内一点，且PA=6PB=2PC=4求/BPC的度数变式2:问题：如图1,P为正方形ABCLft一点，且PA:PB:PC=1:2：3,求/APB的度数.小娜同学的想法是：不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PAPBPC相对集中，于是他将BC啜点B顺时针旋转90°得到BAE(如图2),然后连结PE,问题得以解决.请你回答：图2中/APB的度数为.请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3,P是等边三角形ABC内一点，已知/APB=15°,/BPC=25°.(1)在图3中画出并指明以

5、PAPRPC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；(2)求出以PAPRPC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于图27 .已知Rt'BC中，/ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.(1)当扇形CEF绕点C在/ACE的内部旋转时，如图，求证：MN2AM2BN2;图(2)当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN2AM2BN2是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由.且BD3,CE4,贝UDE=变式1:如图，在RtABC中，BAC90,ACAB,DAE45变式2

6、:如图，在RtABC中，ABAC,DE是斜边BC上两点，且/DA昌45°,将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AFB,连接EF,下列结论:AEDAAEF;ABEAACD；BEDCDE;BE2DC2DE2其中正确的是（）A.；B.；C.；D.（三）其它应用7 .在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为非、J而、屈,求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的.边长为1),再在网格中画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将ABC的面积直接填写在横线上;思维拓展

7、：(2)我们把上述求4ABC面积的方法叫做构图法.若4ABC三边的长分别为在a、J13a、JT7a(a0),请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的AABC,并求出它的面积填写在横线上探索创新：(3)若ABC中有两边的长分别为"a、50a(a0),且ABC的面积为2a2,试运用构图法在图3的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的AABCl全等的8 .已知/ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在/ABC的内部作等边ABE和4APQ,连结QE并延长交BP于点F.(D(2)(3)如图1,若AB=2、/3,点A、E、P恰好在一条直线上时，求此