专题勾股定理与特殊角

1、专题勾股定理与特殊角方法归纳：解决非直角三角形的求值问题时，一般要做垂线构造含特殊角的直角三角形来处理。一、直接运用300或450的直角三角形1、如图，ABC,/C=90°,/B=30°,AD是ABC的角平分线，若AC=/3,求AD的长.2、如图，ABC中，/ACB=90,CD±AB于D,/A=30°,CD=2求AB的长.3、如图，AABC中，AD±BC于D,/B=60°,/C=45,AC=2求BD的长3D二、作垂线构造30°或45°的直角三角形（一）将105°转化为45°和60°4、

2、如图，在ABC中，Z8=45,/A=105,AC=Z求BC的长.（二）将75°转化为45°和30°5、如图，在ABC中，ZACB=75,ZB=60°,BC=2v3,求SABC6、如图，在ABC中，/B=45,ZBAC=75,AB=x/6,求BC的长.专题运用勾股定理列方程方法归纳：运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现一、直接用勾股定理列方程1、如图，在ABC中，/C=90°,AD平分/CA皎CB于D,CD=3BD=5求AD的长.2、如图，在ABC中，AD±BC于D,且/CAD=2BAD若BD=3CD=8求AB的长.二、巧用“连环勾”

3、列方程3、如图，在ABC中，AB=5BC=7AC2V2,求Sxabc.n4、如图，ABC中，/ACB=90,CD!AB于D,AC=3BC=4求AD的长.5、如图,ABC中，/ACB=90CELAB于D,6、如图,ABC中，/ACB=90CD!AB于D,AD=1,BD=4求AC的长BCD=3BD=4求AD的长B专题勾股定理与折叠问题方法归纳：抠住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决。一、折叠三角形1、如图，在ABC中，/A=90°，点D为AB上一点，沿CD折叠AABC点A恰好落在BC边上的A处,AB=4AC=3求BD的长.二、折叠长方形2、如图，

4、长方形ABCLfr,AB=4BC=5F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长3、如图，长方形ABCLfr,AD=8cmAB=4cm沿EF折叠，使点D与点B重合,点C与C'重合.(1)求DE的长(2)求折痕EF的长.4、 如图，长方形ABCLfr,AB=6AD=87汁BD折叠使A至UA'处DA交BC于F点.(1)求证：FB=FD(2)求证：CA/BD(3)求DBF的面积三、折叠正方形5、 如图，正方形ABC时，点E在边CD上，将ADESAE对折至AFE延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AGCF.(1)求证：AG/CF(2)求DECE

5、的值.G专题勾股定理与分类讨论方法归纳：在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形面积、高等问题时往往需要分类讨论一、锐角和钝角不明时需分类讨论1、在4ABC中，AB=AC=5Saabc=7.5,求BC的长2、 在4ABC中，AB=15AC=13AD为4ABC的高，且AD=12求BC二、腰和底不明时需分类讨论3、如图1,ABC,/ACB=90,AC用BC=8点D为射线AC上一点，且AB/等腰三角形，求ABD的周长.A)ffil三、直角边和斜边不明时需分类讨论4、已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为5、在ABC中，/ACB=90,AC=4BC=2以AB为边向外作等腰直角三角形ABD求CD的

6、长专题利用勾股定理逆定理证垂直方法归纳：证垂直的方法较多，用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的转化1、如图，在ABC中，点D为BC边上一点，且AB=1QBD=6AD=8AC=17其求CD的长.2、如图，在四边形ABCD中，ZB=90,AB=2,BC=V5,CD=5,AD=4,求七边形ABCD3、 如图，在4ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6求BC的长.(1)如图1,当a=60°,(2)如图2,当a=90°4、 已知ABC中，CA=CB,/ACB也，点P为ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转a得到CR连AD.PA=10,PB=6,PC=8时，求

7、/BPC的度数PA=3PB=1,PC=2时，求/BPC的度数专题a=岳问题的证明方法归纳：将a,b转化成某等腰三角形的斜边与直角边是解此类问题的关键。一、直接以a,b为边构造等腰直角三角形1、 如图，OA=OBOC=OD/AOBWCOD=90,MN分别为ACBD的中点，连MNON求证：MN=2ON.2、 已知4ABC中，AB=AC/BAC=90,D为BC的中点，AE=CF连DEEF.(1)如图1,若E、F分别在ARAC上，求证：EF/DE(2)如图2,若E、F分别在BAAC的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.二、利用等线段代换构造等腰直角三角形3、 如图，AABD中，O为AB的

8、中点，C为DO延长线上一点，/ACO=135,/ODB=45探究ODOCAC之间相等的数量关系.4、 如图，4AB皿等腰直角,/BAD=90,BC/ADBC=2ABCE平分/BCD交AB于E,交BD于H.求证：(1)DC/DA;(2)BE=72DHD白MMC(1)如图1,若a=0=90°,求证：AB+AD=AC专题a±b=而或JG问题的证明方法归纳：将a±b=辰转化为a=72b的问题，再转化到300或450的等腰直角三角形中去解决此类问题。1、如图1,ABC,CA=CB/ACB=90,D为AB的中点，gN分另为AGBC上一点，且DMLDN.?(1)求证：CM+CN

9、=BD(2)如图2,若MN分别在AGCB的延长线上，探究CMCNBD之间的数量关系式2、已知/BCD瓶，/BAD干，CB=CD.?(3)如图3,若a(4)如图3,若a图2=120°,0=60°,求证：AB=AD=3'AC%A/BE图3=0=120°,求证：AB-AD#AC国4(2)如图2,若a=B=90°,求证：AB-AD=2AC专题勾股定理综合(一)纯几何问题方法归纳：将研究的线段转化到一个直角三角形中去，是解决与勾股定理有关的综合题的关键。1、已知，在RtAABC,/C=90,D是AB的中点，/EDF=90°,DE交射线AC于E,D

10、F交射线CB于F.(1)如图1,当AC=BC寸,EF2、A色BF2之间的数量关系为(直接写出结果)；(2)如图2,当AOBC时，试确定EF2、A、BP之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3,当AOBC时，(2)中结论是否仍成立？2、已知OMNfc等腰直角/,/MON=g0,点B为NM长线上一点，OCLOB且OC=OB.?(1)如图1,连CN求证：CN=BM;(2)如图2,作/BOC勺平分线交MNTA,求证：AN+BMkA(3)如图3,在(2)的条件下，过A作AHONTE,过B作BF，OMTF,EAbf的延长线交于p,请探究aS、bP、ap2之间的数量关系式.专题勾股定理综合(二)与代数有关结合方法归纳：在坐标系中研究勾股定理的应用，充分体现数形结合的思想1、 已知点A的坐标为(1,-3),/OAB=90,OA=OB.(1)如图1