【高中数学解题基本方法】二换元法

1、【高中数学解题基本方法】二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有

2、：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x+2x-2>0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=«x+Y1-x的值域时，易发现xC0,1,设x=sin2a,a0,1,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x

3、2+y2=r2(r>0)时，则可作三角代换x=rcos0、y=rsin。化为三角问题。均值换元，如遇到x+y=S形式时，设x=+1,y=t等等。22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例冗中的t>0和aC0,2。I、再现性题组：1 .y=sinx-cosx+sinx+cosx的最大值是。2 .设f(x2+1)=loga(4x4)(a>1),则f(x)的值域是。3 .已知数列an中，a1=1,an4fan=an+an,则数列通项an=。4 .设实数x、y满足x2

4、+2xy1=0,则x+y的取值范围是。、-13".5 .万程-=3的解是。1 3x6 .不等式log2(2x1)-log2(2x4-2)2的解集是。【简解】1小题：设sinx+cosx=t弋2,J2,则y=L+12,对称轴t=1,221当t=V2,ymax=2+V2；2小题:设x2+1=t(t>1),则f=loga-(t-1)2+4,所以值域为(一8joga4；3小题：已知变形为>=1，设bn=，则，=1,bn=1+(n1)(-1)an1anan=-n,所以an=n4小题：设x+y=k,则x22kx+1=0,=4k24>0,所以k>1或k<1;5小题：设

5、3x=y,则3y2+2y1=0,解得y=,所以x=1;36小题：设log2(2x1)=y,则y(y+1)<2,解得2<y<1,所以xC(log2,log23)。4n、示范性题组：例1.实数x、y满足4x25xy+4y2=5(式)，设S=x2+y2,求'+SmaSmin的值。（93年全国高中数学联赛题）由S=x2+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换元，设x=JScosay=-Ssin5代入式求Smax和Smin的值。x=Scosa【斛】设s_代入式得：4S5S,sinacosa=5y=.Ssina解得S=108-5sin2a3<85sin2aw1

6、3101010<<1385sin：311一十maxSmin31316=-i-=101010即解不等8S-10，,、此种解法后面求S取大值和取小值，还可由sin2a=的有界性而求,S式：|8s-10|<1o这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。SS2-t2=5,4【另解】由$=x2+y2,设x2=9+t,y2=-1,tCS,2222则xy=±S-t2代入式得：4s土5移项平方整理得100t2+39S2160S+100=0。39S2-160S+100<0解得:13311FSmaxSmin31316=+=101010【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要

7、是利用已知条件S=x2+y2与三角公式cos2a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路,设x2=S+t、y2=S-t,减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的22几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=ab,代入式整理得3a2+13b2=5，求得a2C0,5,所以3S=(ab)+(a+b)=2(

8、a2+b2)=10+型a2C1313屋,再求133SJmax的值。Smin11%2例2.ABC的二个内角A、B、C满足：A+C=2B,+=-，求cosAcosCcosBcos的值。（96年全国理）2【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形内角和等于180o_。A+C=120,A=60;由“A+C=120。”进行均值换元，则设,B=60C=60L”的性质，可得+0C,再代入可一0C求cosa即cos.-一口/A+C=120°【解】由ABC中已知A+C=2B,可得(B=60°由A+C=120°,fA=60设C=60+oc，代入已知等式得:1cosA1cosC

9、cos(60F二)cos(60-:)一cos二一一sin二:cos二1x3cosh+sin;2212cos43sin4cos二23cos:一4-2,2,解得：cosa=即:A-Ccos2【另解】由A+C=2B,彳#A+C=120°,B=60°。所以1FcosA1cosC2cosB51CcosC所以cosA=cosC=lx=v2+mcosA两式分别相加、相减得:cosA+cosC=2cosCcosC=cos=2222m-2cosAcosC=2sinsinX.、3sin垄2222mm2-2，即：sinA-C22m.3(m2-2)针，代入sin2A-C+cos2A-C=1!Mm2

10、-222得：3m416m12=0,解出m2=6,代入cos22%2m2-22【注】本题两种解法由“A+C=120°”-+-=2J2”分别进行均cosAcosC值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均彳1换元，也可由三角运算直接解出：由A+C=2B,彳#A+C=120°,B=60°。所以11十cosAcosC-=-2.2,即cosBcosA+cosC=2J2cosAcosC,和积互化得:2cos上£cos=一理cos(A+C)+cos(A-C),即cosA-C.2.2cos(

11、A-C)解得:一2(2cos9A-C2CyC1),整理得：472cos2C+2cosCA-Ccos2,223.设a>0,求f(x)=2a(sinx2j+cosx)sinx-cosx2a的最大值和最小值。【解】设sinx+cosx=t，则cosx)2=1+2sinx-cosx得:sinxt2-1cosx=2te-衣，衣,1,f(x)=g(t)=-(t-2a)(a>0),te-'.2,2t=-J2时，取最小值：一2a221a21取取大值：-2a+22a2当0<2a<V2时，t=2a,口，-1取最大值：12f(x)的最小值为2a22J2a,最大值为$一2a222asT

12、)【注】的内在联系,此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx-cosx将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（tC-。2,V2）与sinx+cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,置关系而确定参数分两种情况进行讨论。即由对称轴与闭区间的位一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f（sinx土cosx,sinxcsox）,经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数

13、的研究。例4.设对所于有实数x,不等式x2log4(a1)2+2xlog22a0+啕2(a1)4a22>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）一一，4(a1)【分析】不等式中log2、loga_22a(a1)2*、log2(a1)三项有何联系？进行对2a124a2数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。、几2a口"4(a1)8(a1)3+log9=322a设log_=t，则log_=log_2a12a22a2a(a1)a1log2=3t,log22-=2log2=2t,a14a2a代入后原不等式简化为(3t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立，所以：31&g

14、t;0't<32a2,解得一t<0即log2<01A=4t2+8t(3-1)<01<0或1:>6a+10<-a-<1,解得0<a<1。a1【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何4(a1)2a(a1)2设元，关键是发现已知不等式中log(a1)、log2一2a-、log,(a?三项之间的联2a2a124a2系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发

15、现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点°2.2行sin0cos0口cos0sin010,小、.x,例5.已知=,且2+2=22-(式)，求的xyxy23(x2y2)y值。【解】设sn°=C0s°=k，贝Usin0=kx,cos0=ky,且sin20+cos20=xy.22222k2(x2+y2)=1,代入式得:kykx1010k即:i+=2丁2o/22、oxy3(xy)3103设一2"=t,则t+-=10,解得：t=3或-一=±J3或土3yt33y32八cos0H土一4人，八2,再表不成含tg0x设tg2。=t,则3t210t+

16、3【注】第一种解法由sin0cos0,一而进行等量代换,y进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为xsinycos0,不难发现进行结果为tg0,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。(x-1)2(y1)2.例6.头数x、y满足1=1,右x+yk>0恒成立，求k的氾围。16【分析】由已知条件(x-1)29+(y=1,可以发现它与a2+b2=1有相似之处,16于是实施三角换元。2(y1)16x=1+3cos0即：y=T4sin0代入不等式x+yk>0得:xsin。【另解】由=tg0,将等式两边同时除以ycos010的式子

17、：1+tg4。=(1+tg2e)x3(1-4)tgf=0,-，口x解得一=±y3cos0+4sin0k>0,即k<3cos0+4sin0=5sin(所以k<-5时不等式恒成立。【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系，不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的区域为

18、直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x+yk>0的区域。即当直线x+y-k=0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭2_2_216(x-1)2十9(y+1)2圆相切时，方程组1()(y)xy-k=0得k=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。=144,有相等的一组实数解，消兀后由4=0可求出、巩固性题组：1 .已知f(x3)=lgx(x>0),则f(4)的值为。A.2lg2B.11g2C.2lg2D.21g42 .函数y=(x+1)4+2的单调增区间是。A.-2,+8)B.-1,+8)D.(-OO,+8)C.(-00,-13 .设等差数列an的公差d=2,且S100=145,则a1+a3+a5+a99的值为2oA.85B.72.5C.60D.52.54 .已知x2+4y2=4