工程力学竞赛辅导-材料力学拓展及提高

1、理论力学理论力学、工程力学工程力学的的与与解题方法总结暨竞赛辅导系列讲座之五：系列讲座之五：理学院：力学教研室理学院：力学教研室材料力学的拓展与提高材料力学的拓展与提高本 讲 座 内 容本 讲 座 内 容利用好数学工具利用好数学工具 超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件知识的拓展与提高知识的拓展与提高基础知识的重要性基础知识的重要性 图示图示圆锥圆锥形杆的长度为形杆的长度为l，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，质，质量密度为，试求自重引起的杆的伸长量。量密度为，试求自重引起的杆的伸长量。 利用好数学工具利用好数学工具 lx xxAgxgVxF31N llxxEAxxgAxEAx

2、xFl 0 0 Nd3d2 0d36lgxxglEE解：解：x处的轴向内力处的轴向内力 杆的伸长量杆的伸长量 摩擦桩问题。摩擦桩问题。(a)所示为埋入土中深度为所示为埋入土中深度为l 的一根等截面木桩，的一根等截面木桩，在顶部承受载荷在顶部承受载荷P ，木桩弹性模量为，木桩弹性模量为E,横截面积为横截面积为A。该载荷该载荷完全由沿着木桩的摩擦力完全由沿着木桩的摩擦力f ( f为沿木桩单位长度上的摩擦力为沿木桩单位长度上的摩擦力)所所平衡平衡，f按抛物线变化按抛物线变化，如图，如图(b)所示。试确定常数所示。试确定常数k，并确定木，并确定木桩的总的缩短量桩的总的缩短量l，以，以P、l、E、A表示

3、。表示。利用好数学工具利用好数学工具 Pfydyl(a)f0ydyy(b)2kyf 利用好数学工具利用好数学工具 Pfydyl(a)f0ydyy(b)2kyf 302N3dykykyyFy NFlP 33PklN0d4lFPllyEAEA yFNFN33/lFyly 当当 时，时，得待定常数得待定常数解：解：(1) 在截面在截面y处，轴力处，轴力33klP由由 ， 3N3PyFyl 所以轴力为所以轴力为(2) 桩的压缩量桩的压缩量 绳索的横截面面积为绳索的横截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，缠绕挂在，缠绕挂在一端固定的轴上，重量为一端固定的轴上，重量为P的物体挂在绳索的一端，的物体挂在绳

4、索的一端，同时用一个刚好足以阻止重物下落的水平力同时用一个刚好足以阻止重物下落的水平力F将绳索将绳索压紧在轴上。已知绳索与轴的静摩擦因数为压紧在轴上。已知绳索与轴的静摩擦因数为fs，试求，试求力力F的值。的值。 利用好数学工具利用好数学工具 FP利用好数学工具利用好数学工具 PfFddTT+dTd /2d /2RdNfdNdR 0RF02d2dsin)d(dTTTN解：解：任取一微段任取一微段由平衡条件由平衡条件（1） 0F0d2dcos2dcos)d(NfTTT（2）利用好数学工具利用好数学工具 （2） d当较小时，ddsincos122取，fTTddmfPFemf其中 最后可得最后可得 代

5、入式（代入式（1），（），（2）并略去高阶微量，整理得）并略去高阶微量，整理得对上式分离变量，积分，并利用边界条件对上式分离变量，积分，并利用边界条件 图示悬臂圆轴图示悬臂圆轴AB,承受均布外力偶矩承受均布外力偶矩m的作用的作用,试导试导出该杆出该杆B端扭转角端扭转角的计算公式。的计算公式。 利用好数学工具利用好数学工具 AmxlB( )pT xddxGI200( )()2llpppT xm lxmlddxdxGIGIGI( )()T xmlmxm lx利用好数学工具利用好数学工具 【计算题】全长为【计算题】全长为l，两端直径分别为，两端直径分别为d1、d2的圆锥形杆，在的圆锥形杆，在其两端各

6、受一矩为其两端各受一矩为m的集中力偶作用，如图所示。试求杆的总的集中力偶作用，如图所示。试求杆的总扭转角。扭转角。4421132( )( )()32pmmmddxdxdxddd xGIxGdxGl)11()(332323112ddddGmld 思考思考: :两端直径分别为两端直径分别为d1、d2的圆锥形杆，受分布力的圆锥形杆，受分布力偶偶m的作用，如何求杆的总扭转角。的作用，如何求杆的总扭转角。( )( )pT xddxGIx 如图所示，一如图所示，一实心圆杆实心圆杆1在其外表面紧套在其外表面紧套空心圆管空心圆管2。设杆的。设杆的拉压刚度分别为拉压刚度分别为E1A1和和E2A2 。此组合杆承受

7、轴向拉力。此组合杆承受轴向拉力F，试求，试求其长度的改变量。（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动）其长度的改变量。（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动）超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件FFF2N1N解解: 由平衡条件由平衡条件 变形协调条件变形协调条件 N1N2121122,F lF lllE AE A 即2211111NAEAEFlAElFl最后得到最后得到 Fl2F1设有一实心钢管，在其外表面紧套一铜管。材料的弹性模量和设有一实心钢管，在其外表面紧套一铜管。材料的弹性模量和线膨胀系数分别为线膨胀系数分别为E1，E2和和l1 ，l2.且且l2 l1 。两管的横截。两管的横截面面积

8、均为面面积均为A。如果两者紧套的程度不会发生相互滑动，。如果两者紧套的程度不会发生相互滑动，试证试证明当组合管升温明当组合管升温T T后，其长度改变为后，其长度改变为 。超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件N1N2FF解解: 由平衡条件由平衡条件 变形协调条件变形协调条件 最后得到最后得到 212211EETlEEllll2(铜)1(钢)2211llll222N2111N1AElFTlAElFTlll2121121NEEAETEFll21221121212111N1EETlEEEElTETlAElFTllllllllFN1FN2l2l1lTl1llTl2超静定问题的变形协调条件超静

9、定问题的变形协调条件 图示刚性梁图示刚性梁ABCD，在，在BD两点用钢丝悬挂，钢丝绕进定滑两点用钢丝悬挂，钢丝绕进定滑轮轮G，F，已知钢丝的弹性模量，已知钢丝的弹性模量E=210GPa，横截面面积，横截面面积A=100mm2，在，在C处受到载荷处受到载荷F=20kN的作用，不计钢丝和滑轮的作用，不计钢丝和滑轮的摩擦，求的摩擦，求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。 ABFGDC5m3m1mF2mABDC5m3m1mFFAFNFNABDCBCD0AM 由kN 43.1174NFF解：解：设钢丝轴力为设钢丝轴力为FN ，杆杆AB受力如图示。受力如图示。钢丝长钢丝长L=8m ，mm 35. 4NEAlFl

10、lBD85CD43DBDCmm 49. 2C，超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 图示等直杆，横截面面积为图示等直杆，横截面面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，弹簧，弹簧刚度分别为刚度分别为k1和和k2 （ k2 =2 k1 ），）， k1 l=EA，q为沿轴线方向的为沿轴线方向的均匀分布力。试绘制该杆的轴力图。均匀分布力。试绘制该杆的轴力图。 解：解：FN1为拉力为为拉力为，FN2为为压力。压力。，Bk1k2lqD2ql/53ql/5FNx平衡条件平衡条件 FN1+FN2=ql （1）变形协调条件变形协调条件 N1N2N1 012()d0(2)lFFFqxxkkEA

11、考虑考虑k2 =2 k1， k1 l=EA，并由，并由（1）、（）、（2）式可得）式可得N12()5Fql拉N23()5Fql压超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 图示结构中，三杆图示结构中，三杆1，2，3的材料相同，横截面相同，长度的材料相同，横截面相同，长度相同，它们的弹性模量为相同，它们的弹性模量为E，温度线膨胀系数为，温度线膨胀系数为l，横截面面，横截面面积为积为A，长度为，长度为l，结构布置如图示。杆，结构布置如图示。杆2与杆与杆1成角成角45，杆，杆3与杆与杆1垂直。当温度同时上升垂直。当温度同时上升T时，试求三杆时，试求三杆1，2，3的轴力。的轴力。解：解：，平衡条

12、件平衡条件变形协调条件变形协调条件N2N1N32(1)2FFFN1N2(2)cos45llF ll TF lEAl TEAl4545l321FN3FN2FN14545321N1N3(22)()4lEA TFF压N2( 21)()2lEA TF拉超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 图示桁架，杆图示桁架，杆1、杆、杆2与个杆与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为为1 =80MPa，2 =60MPa，3 =120MPa，弹性模量分别为，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷。若载荷F=160kN，A1

13、=A2=2A3，试，试确定各杆的横截面面积。确定各杆的横截面面积。解：解： (1) 对节点对节点C进行受力分析进行受力分析 ，列平衡方程列平衡方程 (3) 变形协调条件变形协调条件F1000C300123FCFN1FN3FN20120320 cos3000 sin300 xNNyNNFFFFFFF01 112 2212112203 33333cos30 160 2100 2sin30 200NNNNNNF lF lF lF lllE AAE AAF lF llE AA (2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形根据胡克定律，列出各杆的绝对变形 C1CCC2300l1C3l2l30003221si

14、n30(cos30)30llll ctg 简化后得：简化后得： 123153280NNNFFF12322.63 26.13 146.94NNNFkNFkNFkN1 1杆实际受压，杆实际受压，2 2杆和杆和3 3杆受拉。杆受拉。 超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 图示桁架，杆图示桁架，杆1、杆、杆2与个杆与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为为1 =80MPa，2 =60MPa，3 =120MPa，弹性模量分别为，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，

15、试，试确定各杆的横截面面积。确定各杆的横截面面积。，312123123283 436 1225 NNNFFFAmmAmmAmm (4) 强度计算；强度计算；综合以上条件，可得综合以上条件，可得F1000C30012312322450 AAAmm超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 图示两端固定的圆截面轴，直径为图示两端固定的圆截面轴，直径为d，材料的切变模量为，材料的切变模量为G，截面截面B的转角为的转角为B，试求所加扭力偶矩，试求所加扭力偶矩M之值。之值。，Ma2aACBMBMAMACB解：(1) 受力分析，列平衡方程；受力分析，列平衡方程； 0 0 xABMMMM ABABCA

16、TMTMM44322320 0AAABBCMMaM aG dG d 21 33ABMMMM44323 64ABABBM aG dMG da (2) 求求AB、BC段的扭段的扭矩；矩；(3) 列补充方程，求固定端的约束反力偶；列补充方程，求固定端的约束反力偶；与平衡方程一起联合解得与平衡方程一起联合解得(4) 用转角公式求外力偶矩用转角公式求外力偶矩M；超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 均布载荷作用下的简支梁由圆管和实心圆杆套合而成，如图均布载荷作用下的简支梁由圆管和实心圆杆套合而成，如图所示，变形后仍紧密接触。圆管及圆杆的弹性模量分别为所示，变形后仍紧密接触。圆管及圆杆的弹性模

17、量分别为E1和和E2，且，且E1 =2 E2 。试求两杆各自承担的弯矩。试求两杆各自承担的弯矩。解：解：由梁的两部分紧密接触知：两者变形后中性层的曲率半径中性层的曲率半径相同相同(变形协调条件变形协调条件)， 设圆管和圆杆各自承担的弯矩为M1和M2,抗弯刚度为E1 I1和E2 I2 ，即： ，平衡条件平衡条件变形协调条件变形协调条件122EE121212122;22IIMM MMIIII121 1221MME IE I21218MMql超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件 图示梁，试求两端的约束力。图示梁，试求两端的约束力。解：解：画受力图画受力图，变形协调条件变形协调条件120y

18、yqACBl/2l/2qACBy1ABy2FBMAFAxFAy列平衡方程列平衡方程 0 0 ()0 xyAFFMF联立求解即可联立求解即可例例: :已知已知q q、l l, ,求求A A、B B支座反力。支座反力。解除解除B B 处约束，处约束，代之以约束反力代之以约束反力BR2,0,00,00,02AABAABcXXYYqlRqlmMR l由 梁的平衡方程超静定问题的变形协调条件超静定问题的变形协调条件2,510,88BAAARXYqlMql把之值代入平衡方程 得EIlRy,EIqlyBBRBq38340BRBqByyy03834EIlREIqlBqlRB83超静定问题的变形协调条件超静定问

19、题的变形协调条件基础知识的重要性基础知识的重要性3-4材料相同的两矩形截面梁如图示，其中（材料相同的两矩形截面梁如图示，其中（b）梁是用两根）梁是用两根高位高位0.5h，宽为，宽为b的矩形截面梁叠合而成，且相互间摩擦不计，的矩形截面梁叠合而成，且相互间摩擦不计，则下面结论中正确的是（则下面结论中正确的是（ ）。）。A A强度和刚度均不相同强度和刚度均不相同 B B强度和刚度均相同强度和刚度均相同 C C强度相同，刚度不同强度相同，刚度不同 D D强度不同，刚度相同强度不同，刚度相同答案：答案：A3-6悬臂梁采用图示三种不同的截面形状。在材料和横截面悬臂梁采用图示三种不同的截面形状。在材料和横截

20、面面积均相同的条件下，从梁的弯曲正应力强度方面分析，其容面积均相同的条件下，从梁的弯曲正应力强度方面分析，其容许载荷许载荷P值最大者为（值最大者为（ ）A(a) B(b) C(c) D(d)答案：答案：C基础知识的重要性基础知识的重要性3-8一铸铁工字形截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一圆孔，一铸铁工字形截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一圆孔，可选的位置有如图所示的四种。为尽量减小对强度的损失，最可选的位置有如图所示的四种。为尽量减小对强度的损失，最合理的方案是（合理的方案是（ ）A(a) B(b) C(c) D(d)答案：答案：D基础知识的重要性基础知识的重要性3-9图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合

21、在一起组成。扭转图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起组成。扭转变形时，横截面上切应力分布有图示四种答案。若扭转时的平变形时，横截面上切应力分布有图示四种答案。若扭转时的平截面假定成立，且材料工作在弹性范围内，已知钢比铝的剪切截面假定成立，且材料工作在弹性范围内，已知钢比铝的剪切弹性模量大，则其中正确的是（弹性模量大，则其中正确的是（ ）A(a) B(b) C(c) D(d)答案：答案：B基础知识的重要性基础知识的重要性3-10圆轴上装有四个齿轮，圆轴上装有四个齿轮，A为主动轮，传递的外力偶矩为主动轮，传递的外力偶矩MA=60 Nm。B、C、D为从动轮，传递的外力偶矩分别为为从动轮，传递的外力

22、偶矩分别为MB=30 Nm、MC=15 Nm、MD=15 Nm。四个齿轮自左向右合。四个齿轮自左向右合理的排列是理的排列是( )。A A、B、C、D BB、A、C、D CC、B、A、D DB、C、A、D答案：答案：B基础知识的重要性基础知识的重要性4-1图示受拉板，图示受拉板，A点为凸起处的最高点，点为凸起处的最高点，A点应力状态的应点应力状态的应力圆有图示四种可能，正确的答案为（力圆有图示四种可能，正确的答案为（ ）A(a) B(b) C(c) D(d)答案：答案：B基础知识的重要性基础知识的重要性4-4如图所示，铸铁梁有如图所示，铸铁梁有(a)、(b)、(c)、(d)四种截面形状可供四种截

23、面形状可供选择，根据正应力强度条件，合理的截面形状是（选择，根据正应力强度条件，合理的截面形状是（ ）A(a) B(b) C(c) D(d)答案：答案：B基础知识的重要性基础知识的重要性4-5.图示梁的正确的挠曲线大致形状为（图示梁的正确的挠曲线大致形状为（ ）A(a) B(b) C(c) D(d)答案：答案：A 说明：说明：4-5题，选择题，选择C可考虑适当给分可考虑适当给分 基础知识的重要性基础知识的重要性4-7T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图所示。欲使其最大压应字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图所示。欲使其最大压应力是其最大拉应力的力是其最大拉应力的3倍，若已知倍，若已知h=12 cm，t=3

24、cm，试确定其，试确定其翼板宽度翼板宽度b之值。之值。A18 cm B21 cm C27 cm D30 cm答案：答案：C基础知识的重要性基础知识的重要性 当载荷当载荷F直接作用在简支梁直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助。为了消除此种过载，配置一辅助梁梁CD，试求辅助梁的最小长度，试求辅助梁的最小长度a。 知识的拓展与提高知识的拓展与提高a/2a/2BAF3mRARB3mCD解：解：(1) F直接作用在梁上时，弯矩图为：直接作用在梁上时，弯矩图为： M(+)3F/2x此时梁内最大弯曲正

25、应力为：此时梁内最大弯曲正应力为： max,1max,13/ 2130%MFWW 解得：解得： 2.63FW . (2) 配置辅助梁后，弯矩图为：配置辅助梁后，弯矩图为：M(+)3F/2-Fa/4x依据弯曲正应力强度条件：依据弯曲正应力强度条件： max,2max,2324FFaMWW 将将式代入上式，解得：式代入上式，解得：1.385 am4-8图示自重为图示自重为G、长为、长为l的均质等直钢筋，放置在水平刚性的均质等直钢筋，放置在水平刚性平面上，当集中力平面上，当集中力F作用在杆端作用在杆端A时，时，AC部分被抬起，部分被抬起，CB部分部分仍与刚性平面贴合，则在截面仍与刚性平面贴合，则在截

26、面C上（上（ ）。）。A剪力为零，弯矩不为零剪力为零，弯矩不为零 B剪力不为零，弯矩为零剪力不为零，弯矩为零 C剪力和弯矩均不为零剪力和弯矩均不为零 D剪力和弯矩均为零剪力和弯矩均为零答案：答案：B知识的拓展与提高知识的拓展与提高 重为重为W的直梁放置在水平刚性平面上，受力后未提起部分的直梁放置在水平刚性平面上，受力后未提起部分仍与平面密合，梁的仍与平面密合，梁的EI为已知。试求提起部分的长度为已知。试求提起部分的长度a。（提。（提示：应用截面示：应用截面B处的变形条件。）处的变形条件。） 知识的拓展与提高知识的拓展与提高ABal3wlwq 解：解：B处弯矩为零处弯矩为零 02132qaaWM

27、B02132alWaW0,a 23al得到 三、画图示连续梁的剪力图、弯矩图。（三、画图示连续梁的剪力图、弯矩图。（25分）分）要求：在剪力图、弯矩图中标注各段曲线的极值点的幅值，过要求：在剪力图、弯矩图中标注各段曲线的极值点的幅值，过程不作要求。程不作要求。知识的拓展与提高知识的拓展与提高qDCaBA2a2a2qa2四、纸条拉力赛（四、纸条拉力赛（25分）分） 给定由纸条、给定由纸条、2根筷子和胶水制作而成的试件，如图根筷子和胶水制作而成的试件，如图a所示，在两头用胶所示，在两头用胶水与竹筷相连。将纸条分为三等份，在中间一份的任意位置用水与竹筷相连。将纸条分为三等份，在中间一份的任意位置用裁

28、纸刀裁纸刀划出划出垂直于纸条的一个切口（切口可以完全在纸中间，也可以一端与边接触），垂直于纸条的一个切口（切口可以完全在纸中间，也可以一端与边接触），切口长度为切口长度为1cm。固定好试件一端后，将弹簧秤悬挂在试件的另一端筷子。固定好试件一端后，将弹簧秤悬挂在试件的另一端筷子上，弹簧秤下端挂容器，逐渐向容器中注水或沙子。如何实现在纸条断裂上，弹簧秤下端挂容器，逐渐向容器中注水或沙子。如何实现在纸条断裂前弹簧秤的读数最大前弹簧秤的读数最大。（给定工具：裁纸刀、能打出直径为。（给定工具：裁纸刀、能打出直径为2mm圆孔的打圆孔的打孔器）。要求：文字叙述即可。孔器）。要求：文字叙述即可。知识的拓展与提高知识的拓展与提高两头与筷子相连15cm切口裁出切口3cm图图a 试件示意图试件示意图 图图b 拉力试验示意图拉力试验示意图 弯曲应力弯曲应力5.16 【计算题】图示简支梁，由【计算题】图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为工字钢制成，在集度为q的均布载荷作用下，测得横截面的均布载荷作用下，测得横截面C底边的纵向正应变，试计算底边的纵向正应变，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E=200GPa，a=1m。 MPaEC60max2max329qaMMPaWMz5 .67maxmax题5.16图3