2016届苏北四数学期末考试试卷

1、2016届高三模拟考试试卷（二）数学（满分160分，考试时间120分钟）2016.1参考公式：锥体的体积公式：V=1Sh,其中S是锥体的底面面积，h是高.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合A=0,a,B=0,1,3,若AUB=0,1,2,3,则实数a的值为2 .已知复数z满足z2=-4,若z的虚部大于0,则z=.3 .交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h以下的汽车有辆.*颖电组距0.040.03Q.021&.01506070却90速

2、度（km/h）（第3题）4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为S11 1WhileIv5S-S+2I1+1EndWhilePrintS（第4题）5 .函数f（x）=2sin（3叶4的部分图象如图所示，若AB=5,则的值为6 .若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第天值班的概率为.7 .抛物线y2=4x的焦点到双曲线女（=1渐近线的距离为1698 .已知矩形ABCD的边AB=4,BC=3,若沿对角线AC折叠，使平面DAC，平面BAC,则三棱锥DABC的体积为.9 .若公比不为1的等比数列an满足10g2(aia2a13)=13,等差数列bn满足b7=a7,则

3、bi+b2+bi3的值为.10 .定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=1og2(2+x)+(a-1)x+b(a,b为常数).若f(2)=1,则f(6)的值为.11 .已知|O)A|=|而|=<2,且oA的=1.若点c满足|O)A+CB|=1,则|oC|的取值范围是.2x+cosx,x>0,，兀、12 .已知函数f(x)=5若关于x的不等式f(x)v兀的解集为一8,1,|x(ax),x<0.2/则实数a的取值范围是.13 .已知点A(0,1),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点，若ADW2BD恒成立，则最小正整数t的值为.bc14 .已知正

4、数a,b,c满足b+c>a,则一+九的取小值为.ca+b二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA=3,tan(A-B)5=-12.(1)求tanB的值；(2)若b=5,求c.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，PAL平面PDC,点E为棱PD的中点.求证：(1)PB/平面EAC;(2)平面PAD，平面ABCD.17 .(本小题满分14分)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公

5、路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数y=x+42(Kx<9)模型，设PM=x,修建两条道路xPM,PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价.18 .(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列an的首项ai=1,Sn是数列an的前n项和，且满足：anSn+1an+1Sn+anan+1=入用an+1(斤0,nCN)

6、.(1)若a1，a2,a3成等比数列，求实数入的值；.14(2)右2，求Sn.19 .(本小题满分16分)x2y21-如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:-?+b2=1(a>b>0)的离心率e=-,左顶点为A(-4,0),过点A作斜率为k(kw0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q,对于任意的k(kW0)都有OPLEQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.ADAE(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M,求0M的最小值.20 .(本小题满分16分)已知函数f(x)=exgx32x2+(a+4)x

7、-2a-4I,其中aCR,e为自然对数的底数.若函数f(x)的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值;(2)4v关于x的不等式f(x)vaex在(一8,2)上恒成立，求a的取值范围；3讨论函数f(x)极值点的个数.2016届高三模拟考试试卷（二）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选彳41:几何证明选讲）如图，/PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T,与射线AQ相交于两点B,C.求证:BT平分/OBA.B.（选彳42

8、:矩阵与变换）_12q已知矩阵A=|,求矢I阵A的特征值和特征向量.-14I2P8psin13=0,已知C.（选彳44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为B3,3Y；P为圆C上一点，求PAB面积的最小值.D.(选彳45:不等式选讲)1设x,y均为正数，且x>y,求证：2x+2_.+y>2y+3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22 .如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，底面ABC是直角三角形，AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BBi上一点，满足BP=?BB1(0<1).(1)若41,求直线P

9、C与平面A1BC所成角的正弦值;32(2)若二面角PA1CB的正弦值为求入的值.323 .已知数列an满足an=3n2,f(n)=；+：+：,g(n)=f(n2)-f(n-1),nCN*.a1a2an求证：1(1) g(2)>3;(2)当n>3时，g(n)>1.32016届高三模拟考试试卷（二）（苏北四市）数学参考答案及评分标准1.22.2i3,754.95.看6.17.38.249.2610.411.他-1,m+13355-112.（-26，+8）13.414.V2-215.解：（1）在锐角三角形ABC中，由sinA=3,得cosA=1-sin2A=4,（2分）55sinA

10、3八所以tanA=C0sA=4.（4分）由tan（A-B）=tanA-tanB=；得tanB=2.（7分）1+tanAtanB2（2）在锐角三角形ABC中，由tanB=2,得sinB：25,cosB=35,（9分）所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=1255.（11分）bcbsinC11八由正弦7E理.=.,付C=.=.（14）sinBsinCsinB2'/16.证明：（1）连结BD与AC相交于点O,连结OE.（2分）因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点.因为E为棱PD中点，所以PB/OE.（4分）因为PB仁平面EAC,OEU平面EAC,所以直线P

11、B/平面EAC.（6分）（2）因为PAL平面PDC,CdQ平面PDC,所以PAXCD.（8分）因为四边形ABCD为矩形，所以AD，CD.（10分）因为PAAAD=A,PA,ADU平面PAD,所以CD，平面PAD.（12分）因为CDU平面ABCD,所以平面PAD,平面ABCD.（14分）17.解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y=x+乎（1WxW9）,PM=x,所以点P坐标为卜，x+¥2j直线OB的方程为xy=0,（2分）则点P到直线x-y=0的距离为又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米,则两条道路总造价为32f(x)=5x+40/=5,+3，1w

12、xW9).(8分)(2)因为f(x)=5x+404=5+1:；所以(x)51164'=5(XZ64).(10分)xx令f'(x)0,得x=4,列表如下：x(1,4)4(4,9)f'(x)一0十f(x)单调递减极小值单调递增所以当x=4时，函数f(x)有最小值，最小值为f(4)=5,+矛尸30.(13分)答：(1)两条道路PM,PN总造价为f(x)=5'+邕(1WxW9);(2)当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元.(14分)(注：利用三次均值不等式f(x)=5岑)=5(|十尹岑95X338=30,2_23-X-X-2-X-24时等号成立，照样给分)218.

13、解：(1)令n=1,得32=-.1十人令n=2,得32$3133$2+a2a3=入233,所以a3=(入+1)(2入+1).化分)由a2=a133,得上/：=(2)4、,因为入w0,所以入=1.(4分)9十人，(什I)(2人十I；r1口1(2)当仁2时，3nSn+13n+1Sn+3n3n+1=23n3n+1,Sn+1Sn,111BnSn+1+1Sn+11«所以-+即-=-,(6分)an+13n+1an+1an23n+1an2所以数列iSaF遑以2为首项，公差为；的等差数列，所以笃=2+(n1)!即&+1=§+藕，(8分)当n>2时，Sn1+1=(+黑1,一得，

14、力=皇物一nan-1,(10分)即(+1i+2注1'所以黑=畜，(12分)所以ann+2是首项为3的常数列，所以an=3（n+2）.（14分）一2,代入得&=5十万和一1=匚6.（16分）119.解：（1）因为左顶点为A（-4,0）,所以a=4.又e=1所以c=2.（2分）2因为b2=a2-c2=12,所以椭圆C的标准方程为1x6-尺+匕1,(2)直线l的方程为y=k(x+4),由£1612<y=k(x+4),化简得(x+4)(4k2+3)x+16k212=0,2为=1.（4*分）消元得16,k(x+4)212.所以Xi=4,X2=16k2+12-16k2+12

15、4k2+30分)，一16k2+124k23时，y=k4k23+4)=泮,16k2+1224k.4k2+3'4k2+3'.因为点P为AD直线l的方程为2一16k12k3的中点，所以P的坐标为（源斗3，4k2+3），则kOP=一赢（卜金0）-（8分）y=k（x+4）,令x=0,得E点坐标为（0,4k）,假设存在定点Q(m,n)(mw0),使得3n4k则kOPkEQ=-1,即一号-=-4kmOPXEQ,1恒成立,所以（4m+12）k3n=0恒成立，所以4m+12=0,3n=0,m=-3,n=0,因此定点Q的坐标为（一3,0）.（10分）因为OM/l,所以OM的方程可设为y=kx。-J

16、x-+y-=1,43由s1612得M点的横坐标为x=士下号=（12分）,4k+3|xd-Xa|+|xe-Xa|xm|4k2+9辰¥分)XD2Xa|xm|、y=kx,",一/口AD+AE由om/1,得一om一16k2+124k2+3+81因为f(x)的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，所以f'(劣1,解得a=-1.(4分)(2)(解法1)由f(x)V4ex,得ex(x32x2+(a+4)x2a4vge、,3313即x36x,2所以g(x1)g(x2)=-(a-1)x1-a：(a-1)x2-a>0,3化简得(a1)2x1x2a(a1)(x+x2)+a2&g

17、t;0,所以(a1)2a2a(a1)+a2>0,即a>0,所以0wav1.+(3a+12)x6a8v0对任意xC(oo,2)恒成立，(6分)即(63x)a>x36x2=12x8对任意xC(oo,2)恒成立，e,i1x3-6x2+12x+812八因为x<2,所以a>3(x_2)=一§(x2)2,(8分)记g(x)=1(x2)2,因为g(x)在(一8,2)上单调递增，且g(2)=0,3所以a>0,即a的取值范围是0,+8).(10分)(解法2)由f(x)v4ex,得ex_1x32x2+(a+4)x-2a4l<ge、，即x36x2+(3a+12)x

18、6a8v0在(一8,2)上恒成立，(6分)因为x36x2+(3a+12)x6a8<0等价于(x2)(x24x+3a+4)v0,当a>0时，x24x+3a+4=(x2)2+3a>0恒成立，所以原不等式的解集为(8，2),满足题意.(8分)当a<0时，记g(x)=x2-4x+3a+4,有g(2)=3av0,所以方程x24x+3a+4=0必有两个根x1,x2,且x1V2vx2,原不等式等价于(x-2)(x-x1)(x-x2)<0,解集为(一8,x1)U(2,x2),与题设矛盾，所以av0不符合题意.综合可知，所求a的取值范围是0,+8).(10分)由题意，可得(x)ex

19、gx3x2+axa；,所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点.(11分)令g(x)=1x3-x2+ax-a,3若f(x)有且只有一个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号.i)当g(x)为单调递增函数时，g1(x)=x2-2x+a>0在R上恒成立，得a>1.(12分)ii)当g(x)极值同号时,设x1,x2为极值点,则g(x1)g(x2)>0,由g'(x)x22x+a=0有解，得av1,且x22x1+a=0,x22x2+a=0,以x1+x2=2,x1x2=a,13212,所以g(x1)=xlx+axa=x(

20、2x1一a)x+axIa331_、1,2_,=2(2x1a)2ax1+ax1a=(a1)x1a,3332,向理，g(x2)=o(a-1)x2-a,3所以，当a>0时，f(x)有且仅有一个极值点；(14分)若f(x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a<0.综上，当a>0时，f(x)有且仅有一个极值点；当av0时，f(x)有三个极值点.(16分)2016届高三模拟考试试卷（二）（苏北四市）数学附加题参考答案及评分标准21.A.证明：连结OT.因为AT是切线，所以OT，AP.（2分）因为/PAQ是直角，即AQXAP,所以AB/OT,所以/TBA=/B

21、TO.（5分）又OT=OB,所以/OTB=/OBT,（8分）所以/OBT=ZTBA,即BT平分/OBA.（10分）B.解：矩阵A的特征多项式为f（M-2入一4=f-5X+6,（2分）由f（入30,解得卜=2,入2=3.（4分）当=2时，特征方程组为x2y=0,X-2y=0,故属于特征值加=2的一个特征向量的=（1（7分）当加=3时，特征方程组为2x-2y=0,Xy=0,故属于特征值加=3的一个特征向量02=1（10分）C.解：圆C的直角坐标方程为x2+y2+4<3x-4y+13=0,即（x+2y3）2+（y-2）2=3.（4分）又A（0,1）,B（0,3）,所以AB=2.（6分）P到直线

22、AB距离的最小值为2寸3爪=5，（8分）1所以PAB面积的最小值为1X2X73=73.（10分）D.证明：因为x>0,y>0,xy>0,112x+x2-2xy+y2_2y=2（xy）+.y2（4分）=（x-y）+（x-y）+（xy）2K（Xy）2（xy）2=3,（8分）1八所以2x+x2-2xy+y2源丫+%10分)22.解：以A为坐标原点O,分别以AB,AC,AAi所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),Ai(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2入).(1分)

23、(1)由上3得，CP=1,1,3；,=(1,0,2),证=(0,1,2),n1,AB=0,x一2z1=0,设平面ABC的法向量为n1=(x1,y1，Z1),由S得cca-cy1-2z1=0.ln,AC=0,“不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面ABC的一个法向量为m=(2,2,1).(3分)设直线PC与平面A1BC所成的角为仇则sin9=|cos<CP,n1|=|尸n1=等，|CP|ni|所以直线PC与平面AiBC所成的角的正弦值为酱.(5分)（2）设平面PAiC的法向量为Jn2,AiC=0,由S一n2'AiP=0,n2=(x2,y2,z2),AiP=(1,0,2入一2),y2-2z2=0,得，c、c*+(2入-2)z2=0.不妨取z2=1,则x2=2