(完整word版)数列求和的各种方法

1、数列求和的方法教学目标1 .熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2 .掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.教学内容知识梳理1 .求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式naiansn=nai+等比数列的前n项和公式(I)当q=1时，Sn=na1;(n)当qW1时,Sn=a11qn1qa1anq1q常见的数列的前122232n项和：123+n=n(n1),1+3+5+(2nr1)=n222+n2=n(n1)(2n1),132333+n3=n等62(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项

2、，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求anbn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002992+982972+2212=(100+99)+

3、(98+97)+(2+1)=5050.2.常见的裂项公式1-nn1(2)nnk111志一节)；=2(T_T7)；2n12n122n-12n+11_11nn1n22nn15+*=k(M(6)设等差数列an的公差为d,则=；(；).anan+1danan+1数列求和题型考点一公式法求和11.(2016新课标全国I)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=1,b2=-,anbn+1+bn+1=nbn.3(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和.2.(2013新课标全国I,17)已知等差数列an的公差不为零，a=25,且a1，an,a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1+a

4、4+a7+a3n-2.变式训练1.(2015四川，16)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1，a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.2.(2014福建,17)在等比数列an中,a2=3,as=81.(1)求an；(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.考点二错位相减法1.(山东)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列，且anbnbn1.(I)求数列bn的通项公式；(I)令c(an1).求数列Cn的前n项和Tn.(bn2)n2.(2015天津，18)已知数列an满足an+2

5、=qan(q为实数，且qw1,)nIN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=10g2a2na2n1nIN*,求数列bn的前n项和.变式训练1.(2014江西，17)已知首项都是1的两个数列an,bn(bnWQnIN)满足anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令品=%求数列Cn的通项公式;bn(2)若bn=31,求数列an的前n项和Sn.2.(2014四川，19)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nIN*).(1)若ai=2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上

6、，求数列an的前n项和Sn；1an(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2启，求数列设的刖n项和Tn.3.(2015湖北，18)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1=a1，b2=2,q=d,Si0=100.(1)求数列an,bn的通项公式；an(2)当d1时，记Cn=b；，求数列Cn的前n项和Tn.4 .(2015山东，18)设数列an的前n项和为4.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.1115 .(2015浙江,17)已知数列an和bn满足

7、a=2,b=1,an+1=2an(nIN),b+5b2+ab3+一%=bn+123n-1(nIN*).求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.6.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn,已知ai=1,a2=2,且an+2=3SnSn+i+3,nIN*.(1)证明:an+2=3an；(2)求Sn.考点三分组求和法1 .(2015福建,17)在等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2an2+n,求b1+b2+b3+b10的值.n2+n2 .(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sn=2,nIN.(1)求数列an的通

8、项公式；(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.变式训练1.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足ai=3,34=12,数列bn满足bi=4,b4=20,且bnan为等比数列.求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.考点四裂项相消法1.(2015新课标全国I,17)Sn为数列an的前n项和.已知an0,a2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式；一1(2)设bn=,求数列bn的刖n项和.anan+12.(2011新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2ai+3a2=1,a3=9a2a6.(1)求数列an的通项公式；、一.1(2)设b

9、n=log3a+log3a2+log3an,求数列后的刖n项和.3 .(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn=/L,求数列bn的前n项和Tn.SnSn+1变式训练1.(2013江西,16)正项数列an满足:al(2n1)an2n=0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn=二、a，求数列bn的前n项和Tn.(n十1)an2.(2013大纲全国，17)等差数列an中,a7=4,ai9=2a9.(1)求an的通项公式；1(2)设bn=-求数列bn的前n项和Sn.nan13.在数列an

10、中，a1=1,当n2时，其刖n项和Sn满足S2=anSn万.(1)求S的表达式；Sn(2)设bn=27，求bn的前n项和Tn.考点五倒序相加法已知函数f(x)=WqxIR).(1)证明：f(x)+f(1-x)=1;(2)若S=f(U匕)+f(就)+f(2翟)，则S=4十22201520152015变式训练、一4x122014一1 .仅f(x)=4x+2，右S=f(2015)+f(2015)+f(2015)，则S=1考点六并项求和1.(2012新课标，16)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为2 .(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d=2,a2是ai

11、与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=ann1，记Tn=-bl+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求Tn.-2变式训练1 .(2014山东理，19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1，S2,&成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=(-1)n14,求数列bn的前n项和Tn.anan+112 .(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn=(1)nan尹nIN,则:(1) a3=；(2) S1+S2+S100=.考点七数列|an|的前n项和问题1 1 .（2011北东,11）在等比数列an中，右ai=2,a4=4,则公比q=;|ai|+

12、|a2|+|an|=变式训练2 .（2013浙江，19）在公差为d的等差数列an中，已知a=10,且a1，2a2+2,5a3成等比数列.（1）求d,an；（2）若d0,求|a”+|a2|+|a3|+|an|.考点八周期数列1.已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于（）A.2008B.2010C.1D.0变式训练1.（2012福建）数列an的通项公式an=ncosn,其前n项和为Sn,则S2012等于（）A.1006B.2012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1 .（2

13、014新课标全国I,17）已知数列an满足a=1,an+1=3an+1.1 1（1）证明an+2是等比数列，并求an的通项公式；（2）证明L+-+160n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.2 .(2013广东，19)设数列an的前n项和为$.已知ai=1,空=an+i1n2nnIN*.n33(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有工+工+工7.a1a2an43 .(2013天津，19)已知首项为2的等比数列an的前n项和为Sn(nIN*),且一2S2,S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明Sn+Sn亭(nIN*).4

14、.(2014广东，19)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足S2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nIN*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式；1111证明：对一切正整数n,有)+)+a(a-1)2!)即an=2an1(n2)从而a2=2a1,a3=2a2=4a1，又因为a1，a2+1,a3成等差数列，即a+a3=2(a2+1),所以a+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,所以，数列an是首项为2,公比为2的等比数列，故an=2n.,11(2)由(1)得三=9an211n111221所以=2+7+外=1=1一尹1-122.(2014福建,17)在等比数列

15、an中,a2=3,a5=81.(1)求an；(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公比为q,依题意得aq=3,a1q4=81,解得a1=1,q=3.因此，an=3L(2)因为bn=log3an=n1,所以数列bn的前n项和Sn=n(b1+bn)n2n2考点二错位相减法1.(2015山东，理，18)已知数列an的前n项和S=3n2+8n,bn是等差数列，且anbnbn1.(I)求数列bn的通项公式;(n)令cn(an1)n1(bn2)n.求数列Cn的前n项和Tn.【答案】(I)bn3n1；(n)Tn3n2n2【解析】试题分析：（T）根据4=%-Sz及等差数列的通丽

16、公式求解j（TD根娓（I）知裁列j的通项公式,再月错位棉的去家其前工项和.试题解析；所以%=&T+5该数列纥的公差为d，11=2V17=24厅，可制汽工所以=加十Ln1,(n)由(I)知Cn(6-6V3(n1)2n1,(3n3)n又TnGC2c3Cn,得Tn3222323424(n1)2n1,_345n2_2Tn3223242(n1)2,两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2344(2n1)21(n1)2n23n2n所以Tn3n2n2考点：数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式；错位相减法2.（2015天津，18）已知数列an满足an+2=qan（q为实数，且qw1）

17、,nCN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.（1）求q的值和an的通项公式；(2)设bn=lo-，nCN*,求数列bn的前n项和.a2n1解(1)由已知,有(a3+a4)(a2+a3)=(a4+a5)(a3+a4),即a4a2=a5a3,所以a2(q1)=a3(q1),又因为qwl,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.n1当n=2k1(kN*)时，an=a2k1=2k1=22;当n=2k(kCN*)时，an=a2k=2k=22.n1所以，an的通项公式为an=22,n为奇数,n22,n为偶数.10g2a2nn一、*由得bn=含7=a，.设bn的前n项

18、和为Sn,则Sn=1X1,1,1,1,一20+2x21+3*呼+(n-1)x2n2+nX1c1111、，1,Sn=1x2T+2x22+3x23+-+(n-1)x2n-i+nX2n.上述两式相减得:1,1,1,/=1+2+尹+Ln_lZ2nnn-12n-12n112整理得，Sn=422,nCN*.所以，数列bn的前n项和为4-12-2,nN*.变式训练1.(2014江西，17)已知首项都是1的两个数列an,bn(bnW0,nCN)潴足anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0.令Cn=bn，求数列Cn的通项公式；若bn=31,求数歹【an的前n项和Sn.解(1)因为anbn+ian+ibn+2

19、bn+ibn=0,bn*0(nCN),an+1an所以-T-=2,即Cn+1Cn=2.bn+1bn所以数列Cn是以1为首项，2为公差的等差数列，故Cn=2n1.(2)由bn=3n1知an=Chbn=(2n1)3n1,于是数列an的前n项和Sn=1X30+3X31+5X32+i+(2n-1)x3n1,3Sn=1X31+3X32+(2n-3)X3n1+(2n-1)-3n,相减得一2Sn=1+2-(31+32+-+3n1)-(2n-1)-3n=2(2n2)3n,所以Sn=(n1)3n+1.2.(2014四川，19)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nCN*).(

20、1)若a1=2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn；(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2高，求数列行的前n项和Tn.解(1)由已知得，b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4X2a7=2a7+2.解得d=a8a7=2.n(n-1)所以，Sn=na1+2d二-2n+n(n-1)=n23n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y2a2=(2a21n2)(x-a2),1它在x轴上的截距为女一就.由题意得,1caln2=2一11n2解得a2=2.所以d=a2a1=1.从而an=n,bn=2n.所以丁1

21、,2.3,D1,nTn=2+22+23+2nT+2门，1,2,3,n2Tn=1+2+22+2+2n1.111n_因止匕，2Tn-Tn=1+2+22+2”12n=21n2n+1-n-22n12口=2n所以，Tn=2n+1-n-22n3.(2015湖北，18)设等差数列an的公差为d,前n项和为S1,等比数列bn的公比为q,已知bi=ai,b2=2,q=d,Sio=100.(1)求数列an,bn的通项公式;当d1时，记求数列Cn的前n项和Tn.10a1+45d=100,解(1)由题意有，ad=2,2a1+9d=20,即ad=2,a1=9,d=9.an=2n1,蚁bn=2一1an=9(2n+79),

22、2n一1bn=99c一2n1由d1,知an=2n1,bn=21,故5=-27干，于是，3,5.Z,旦，2n1-Tn=1+2+22+23+24+21，”135792n-32n-1=2+废+及+2+西+21+-2n-可得-1，,12n1八2n3=2+2+22+2厂2-2n=3-2n，52n+3故Tn=62n1.4.(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式；若数列bn满足anbn=logsan,求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn=3n+3,所以2al=3+3,故ai=3,当n1时，2S1=3+3,此时2an=2Sn-2Sn-i=3n-3n-

23、1=2x3n1,即an=3n13,n=1,所以an=3n1,n1.1(2)因为anbn=logsan,所以bi=o当n1时，bn=31nlog33n1=(n-1)31n1所以Ti=bi=o1_当n1时，Tn=bi+b2+b3+-+bn=-+(1X31+2X32+(n-1)X31n),o所以3Tn=1+(1X3+2X3-1+-+(n-1)X32n),9_两式相减，得2册=+(3+3一2+32n)-(n-1)X31no21-31n136n+3(n-1)x31n62X3n，经检验，n=1丁136n+3所以不K，时也适合.综上可得Tn=|-6n+34X3n.1+-bn=bn+1n115 .(2015浙

24、江，17)已知数列an和bn满足ai=2,bi=1?an+i=2an(nIN*),bi+jb2+%b3+-1(nIN*),求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解由ai=2,an+1=2an,得an=2n(nIN*).由题意知：当n=1时，bi=b21,故b2=2.1当n2时，-bn=bn+1bn,整理得垣工=也，所以bn=n(nIN*).n+1n(2)由(1)知3nbn=H。因此Tn=2+2马+3攵+nZ2Tn=22+2-H31+-+n-2+l,所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n故Tn=(n1)2n+2(nIN*).6 .(2015湖南，19)设数列an的前n项

25、和为Sn,已知ai=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+i+3,n(1)证明：an+2=3an；求Sn.证明由条件，对任意nIN*,有an+2=3Sn-Sn+i+3,因而对任意nIN*,有an+i=3Sn-i-Sn+3.两式相减，得an+2an+i=3anan+i,即an+2=3an,n2.又a=1,a2=2,所以a3=3SiS2+3=3ai(ai+a2)+3=3ai,故对一切nIN,an+2=3an.(2)解由(i)知，anWQ所以W=3.于是数列a2n-1是首项ai=i,公比为3等比数列；数列a2n是首项a2an=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3，a2n=2X厂1于是S2n=

26、ai+a2+a2n=(ai+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n)+2(1+3+3n1)=3(1+3+3n1)=3(3n1)2c3(3n-1)1从而S2n1=S2na2n=22XM=|(5Xn2_1).3n-32(5X再送一1),当n是奇数,综上所述，Sn=2(32-1),当n是偶数.考点三分组求和法1.(2015福建,17)在等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式；a2(2)设bn=2n+n,求bi+b2+b3+bio的值.解(1)设等差数列an的公差为d,由已知得ai+d=4,(ai+3d)+(ai+6d)=15,解得ai=3,d=1.

27、所以an=ai+(n1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n,所以bi+b2+b3+bio=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)2(1210)(1+10)X10=i-2+2=(2112)+55=211+53=2101.n2n2.(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sn=2,nIN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2an+(-i)nan,求数列bn的前2n项和.解(1)当n=1时，ai=Si=1;,n2+n(n1)2+(n1)当nR2时，an=SnSn1=-22=n.故数列an的通项公式为an=n.(

28、2)由(1)知,bn=2n+(1)nn记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(1+23+4+2n).记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则22n+12,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.变式训练1.(2014北京,15)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b=4,b4=20,且bnan为等比数列.求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.一、，、一一.a4a1123解(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=不一=3.33所以a

29、n=a1+(n1)d=3n(n=1,2,).设等比数列bnan的公比为q,由题意得3b4a4201241T日cq=Z=戛丁=8,斛付q=2.b1a143所以bn-an=(b1-a1)qn1=2n1.从而bn=3n+2n1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n1(n=1,2,).3.一1-2n数列3n的刖n项和为jn(n+1),数列2n1的前n项和为1有一-=2n-1.2123.所以，数列bn的刖n项和为2n(n+1)+21.考点四裂项相消法1.(2015新课标全国I,17)Sn为数列an的前n项和.已知an0,a2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式；1(2)设bn=,求数

30、列bn的前n项和.anan+1解(1)由a2+2an=4Sn+3,可知a2+1-|-2an+1=4Sn+1+3.可得a2+1-an+2(an+1一an)=4an+1,即2(an+1+an)=a2+1a2=(an+1+an)(an+1an).由于an0,可得an+1an=2.又a2+2a1=4a1+3,解得a1=1(舍去)，a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=anan+11(2n+1)(2n+3)11I7II2n+12n+3,12故=-bnn(n+1)=-2(-)nn+1)111c+=2b1b2bn1,11,1-7+鼻+22

31、3111=-T7ZT22n+12n+3,设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn11111_23557n=_一一、.3(2n+3)2.(2011新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a2=9a2a6.(1)求数列an的通项公式；、一.1r(2)设bn=log3a+log3a2+10g3an,求数列岳的刖n项和.解(1)设数列an的公比为q.由a2=9a2a6,得a2=9a4,所以q故数列an的通项公式为an=TH.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)n(n+1)2)=1.9由条件可知q0,故q=1.3由2a1+3a2=

32、1得2a+3a1q=1,所以a1=.312n一.”=一.nn+1n+1.所以数列1-的前n项和为一包.bnn+13.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式；an+1(2)设Sn为数列an的前n项和，bn=,求数列bn的前n项和Tn.Sn3+1解(1)由题设知a1a4=a2a3=8.a1=1,a1=8,又a1+a4=9.可解得或(舍去).a4=8a4=11=2n1由a4=aiq3得公比q=2,故an=aiqn(2)Sn=ai(1qn)1-qan+1bn=SS+111,1-=1fTTdS1Sn+12n1-1,Si+1Sn11=

33、Z.SnSn+1SnSn+111.11.11所以Tn=b1+b2+-+bn=S；-S2+S2S3+SnSn+1变式训练1,(2013江西,16)正项数列an满足:an-(2n-1)an-2n=0,(1)求数列an的通项公式an；1(2)令bn=(一、a，求数列bn的前n项和Tn，(n十Ijan解(1)由a2-(2n-1)an-2n=0,得(an2n)(an+1)=0,由于an是正项数列，所以an=2n,(2)由an=2n,1(n+1)anEl,1111丁贝Ubn=_.,Tn=2n(n+1)2nn+1：1一昇；+L士2223n-1nnn+1士=n2n+12(n+1)，2,(2013大纲全国，17

34、)等差数列an中,a7=4,a=2a9,(1)求an的通项公式；1(2)设bn=-求数列bn的前n项和Sn,nan解(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n1)d,a7=4,a1+6d=4,由彳导a19=2a9,a+18d=2(a1+8d),-1斛付a1=1,d=2n+1Ian的通项公式为an=12222 2)bn=-7,nann(n+1)nn+1_22,22,2，2nlSn=-2+23+nn+1=布.213 .在数列an中，a1=1,当n2时，其前n项和Sn满足S2=anSn万,(1)求Sn的表达式；设b-N,求叫的前n项和Tn-1n答案(1)n2,anSnSn1可求得Sn(2)2

35、n12n1考点五倒序相加法111.已知函数f(x)=R(xCR).证明：f(x)+f(1-x)=-;422变式训练、一4x122014一1 .设f(x)=f，右*f(2)+f(2015)+f(2015),则n考点六并项求和1.(2012新课标，16)数列an满足an+1+(1)nan=2n1,则an的前60项和为.理科解析当n=2k时，a2k+1+a2k=4k1,当n=2k1时，a2ka2k1=4k3,.a2k+1+a2k-1=2,a2k+3+a2k+1=2,a2k-1=a2k+3,a=a5=a61.a+m+a3+a60=(a2cr一,、30x(3+119)/+a3)+(a4+a5)+(a60

36、+a61)=3+7+11+(2x60-1)=2=30x61=1830.答案1830文科解析ian+1+(1)nan=2n-1,Ia2=1+a1,a3=2a1,a4=7a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2a1,a8=15a1,a9=a1,a10=17+a,a1=2a,a2=23a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2a1,a60=119a1,Ia1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60)15X(10+234)=10+26+42+234=-=1830.2答案D2 .(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d

37、=2,32是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=ann1,记Tn=b+b2-b3+b4+(1)nbn,求Tn.2解(1)由题意知(a+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2.所以数列an的通项公式为an=2n.n(n+1)，一、(2)由题意知bn=a2=n(n+1).所以Tn=1X计2X3-3X人+(1)nnxn+1).因为bn+1bn=2(n+1),可得当n为偶数时，Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+-+(-bn1+bn)=4+8+12+2n2(4+2n)2n(n+2)=2，当n为奇数时，Tn=Tn1+(bn)n(n+

38、1)2(n+1)2(n1)(n+1)所以Tn=(n+1)22,n为奇数,n（受2）,n为偶数.变式训练S1,S2,S4成等比数列.1.（2014山东理，19）已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且求数列an的通项公式;(2)令bn=(1)n14nanan+1,求数列bn的前n项和Tn.解（1）因为S=a1,-2X1一八一S2=2a1+2-X2=2a1+2,-4X3一,一S4=4a1+2x2=4a1+12,由题息得(2aI+2)2=a(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n1.(2)bn=(1)n14nanan+1=(1)n14n(2n-1)(2n+1)=(1)n12n-1+2n+

39、1.当n为偶数时,11,1.Tn=1+33+5+1111+2n32n12n12n+112n=1-7=；T.2n+12n+1当n为奇数时，_11.1.Tn=1+qq+c+一3351_1112n3+2n1+2n1+2n+112n+2=1+=12n+12n+1.2n+2所以Tn=2n+12n2n+1或Tn2n+1+(1)2n+12.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn=(1)nan最，nCN*,则:(1)3=；(2)S1+S2+S00=1解析(1)：Sn=(1)nan尹1当n=3时，a1+a2+a3=a3Q,Qo1当n一4时，a1+a2+a3+a4=a4一$,a1+a2+a3=16

40、，一，1由知a3=一记.,i1(2)-Sn=(-1)an2nSn+1=an+1-当n为奇数时,12门+1Sn=an一12n，.、/11两式相减得an+1=an+1+an+2n+1，,=an=？n+1；当n为偶数时,Sn+13n+12门+1,Sn=an,两式相减得an+11an+1an+2n+1,即3n-2Sn+1+1n+12，n为奇数,故an=1 n2 ,门为偶数.9n+1,n为奇数,-Sh=0,n为偶数.S1+S2+,+Soo=1+TO0答案1考点七数歹1|an|的前n项和问题11 .（2011北京，11）在等比数列an中，若ai=d，a4=4,则公比q=;|a|+田+|an|=解析.q3=

41、t=_8,q=2,则an=：x（_2）1,ai2(2)设数列an的前n项和为Sn,ld12时，121|a”+|a2|+|a3|+|an|=Sn+2Sn=2n1因为当n1时，3n12X3n1,所以7充布.n+110,综上所述：|a1|+|a2|+|a3|+|an|1o21-2n2+yn,nW1,1=1o212n2-2-n+110,n12.考点八周期数列1.已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于（）A.2008B.2010C.1D.0答案B变式训练1.（2012福建）数列an的通项公式an=ncosn,其前n项和为Sn,则S2012等于（）A.1006B.2012C.503D.0答案A考点九数列与不等式的应用1.（2014新课标全国H,17）已知数列an满足a=1,an+1=3an+1.1一（1）证明an+2是等比数列，并求an的通项公式；1一1证明(1)由an+1=3an+1得an+1+?=3an+2。1又a1+2=32所以an+1是首项为3,公比为3的等比数列.13n3n1an+2=T，因此an的通项公式为an=-2-曰11是一十十+a1a21,11,1+3+2313=21嗖2.13-.an2,11所以1+-+-