高考数列知识点及习题总结

1、8高考真题解答1.在公差为d的等差数列an中,已知ai10,且ai,2a22,5a3成等比数列求d,an；(2)若d0,求|ai|di&|an|.22等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2,且S1.S2.S4成等比数列，求的通项式.3.(2013年高考江西卷(理)正项数列an的前项和an满足：s：(n2n1)sn(n2n)0(1)求数列an的通项公式an；n1*5令bnr,数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN,都有(n2)a644. 已知an是等差数列，其前n项和为Sn,bn是等比数列，且a1d,a4匕427,S4b4=10.(I) 求数列an与bn的通项公式；、*(I

2、I) 记Tn=a1b1+a2b2+L+anbn(nN)证明：8a*41(nN,n2).5. 设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn2Snn,nN.(I)求a1的值；(n)求数列an的通项公式.6.已知等比数列an的各项均为正数，且22a3a21,a39a2a6(I)求数列an的通项公式.(II)设bnlOg3a1log3a2L砸3%，求数列的前n项和.数列咼考试题汇编1.【2014全国卷n(文5)】等差数列an的公差为2,若a2,a°,a*成等比数列，贝Uan的前n项和Sn=(A)nn1(B)nn1(C)(D)2.【2014全国大纲卷（理项和等于A.6B.5C

3、10)】2等比数列a*中，a4()4D.322,a55，则数列lgan的前83. 【2014全国大纲卷（文8）】设等比数列an的前n项和为Sn,若S=3,S=15,则&=（）A.31B.32C.63D.644.【2014北京卷（理5）】设an是公比为q的等比数列，则"q1"是"an"为递增数列的（）A充分且不必要条件C.充分必要条件B.必要且不充分条件D.既不充分也不必要条件5.【2014天津卷（文5）】设an是首项为a1，公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.liD.an2n若S,S2,S4成等比数列，则a1=（）11（A）2（B）-2（C）

4、（D）226.【2014福建卷（理3）】等差数列an的前n项和Sn，若a12,S312，则a6（）A8B.10C.12D.147. 【2014辽宁卷（文9）】设等差数列an的公差为d，若数列2a1an为递减数列，则（）A.d0B.d0C.a1d0d.a1d08. 【2014陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N,得出数列的通项公式是（）Aan2nB.an2(n1)C.an2n9. 【2014重庆卷（理2）】对任意等比数列an,下列说法一定正确的是（）A.Q,a3,a?成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列10.【2014重

5、庆卷（文2)】在等差数列an中，a12,a3a510，则a7()A5B.8C.10D.1411.【2014全国卷n(文16)1】数列an满足an1=1ana2=2，则a112.【2014安徽卷（理12)】数列an是等差数列，若a11,a33,a55构成公比为q的等比数列，则13.【2014安徽卷12）】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC22，过点A作BC的垂线，垂足为A;过点A作ac的垂线，垂足为A；过点A作AC的垂线，垂足为A3;，以此类推，设BAa,AA1a?,A1A2日3，AAa7，贝U日7C14.【2014北京卷（理12）】若等差数列满足a7a8a90,a7a100,则当n时an

6、的前n项和最大.15.【2014天津卷（理11）】设an是首项为a1，公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为16. 【2014江西卷（文13）】在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn,当且仅当n8时Sn取最大值，则d的取值范围.17. 【2014广东卷（理13）】若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5,则InaIna2LIna20。18. 【2014广东卷（文13）】等比数列an的各项均为正数且a,a54，则log2a1log2a2log2a3log?a°log285=.题型一等差、等比数列的基本运算例1已

7、知等差数列an的前5项和为105，且a10=2a5.求数列an的通项公式；对任意mN*,将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得al和d，从而求出an.(2)求出bm,再根据其特征选用求和方法.解(1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn,由T5=105,a10=2a5,得5a1+5X(5-1)2d=105,a1+9d=2(a1+4d),解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nN*).对mN*,若an=7nw72m贝UnW72m-1.因此bm=72m1.所以数列bm是首项为

8、乙公比为49的等比数列，故Sn=b1(1qm)1q=7X(149m)149=7X(72m1)48=72m1748.题型二等差、等比数列的性质及应用例2(1)已知正数组成的等差数列an,前20项和为100,则a7?a14的最大值是()A.25B.50C.100D.不存在在等差数列an中，a1=2013，其前n项和为Sn,若S1212S1010=2，贝US2013的值为()A.2011B.2012C.2010D.2013破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20,S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14,然后利用基本不等式.等差数列an中，Sn是其前n项和，贝USnn也

9、成等差数列.答案(1)A(2)D解析(1)TS20=a1+a202x20=100,aa1+a20=10./a1+a20=a7+a14，二a7+a14=10.Tan>0,.a7?a14<a7+a1422=25.当且仅当a7=a14时取等号.故a7?a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2013，公差d=1,故S=-2013+(20131)X1=-1,所以S2013=2013.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1)，其中nN*.(1) 证明：数列an为等比数

10、列；(2) 设数列bn满足bn=Iog3an，若cn=anbn,求数列cn的前n项和.破题切入点(1)利用an=Sn-Sn-1求出an与an-1之间的关系，进而用定义证明数|列an为等比数列.由(1)的结论得出数列bn的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和.(1) 证明由题意得an=Sn-Sn-1=32(anan-1)(n>2),/an=3an1，二anan-1=3(n>2),又S1=32(a1-1)=a1,解得a1=3,数列an是首项为3，公比为3的等比数列.解由(1)得an=3n,贝Ubn=log3an=log33n=n,cn=anbn=n?3n,设Tn=1?31+

11、2?32+3?33+(n1)?3n1+n?3n,3Tn=1?32+2?33+3?34+(n1)?3n+n?3n+1.2Tn=31+32+33+3nn?3n+1=3(1-3n)1-3-n?3n+1,-Tn=(2n1)3n+1+34.总结提高(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1,an,Sn,n,d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解.(2) 等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘.等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1M0,利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1. 已知an为等差数列，其公差为一2，且

12、a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*,贝US10的值为()A.110B.90C.90D.110答案D解析/a3=a1+2d=a14,a7=al+6d=al12,a9=al+8d=al16,又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2=(a14)?(a116),解得a1=20. S10=10X20+12X10X9X(2)=110.2. (2014?课标全国n)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A.n(n+1)B.n(n1)(n+1)(n1)2答案A解析由a2,a4,a8成等比数列，得a24=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2

13、)(a1+14), a1=2. Sn=2n+n(n1)2X2=2n+n2n=n(n+1).3. 等比数列an的前n项和为Sn,若2S4=S5+S6,则数列an的公比q的值为()A.2或1B.1或2C.2D.1答案C解析方法一若q=1,则S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,显然不满足2S4=S5+S6,故A、D错.若q=1,贝VS4=S6=0,S5=a5M0,|不满足条件，故B错，因此选C.方法二经检验q=1不适合，则由2S4=S5+S6,得2(1q4)=1q5+1q6，化简得q2+q2=0，解得q=1(舍去)，q=2.4. (2014?大纲全国)等比数列an中，a4=2,a5=5,则数列

14、Igan的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C解析数列lgan的前8项和S8=lga1+lga2+lga8=Ig(a1?a2?a8)=lg(a1?a8)4=lg(a4?a5)4=lg(2x5)4=4.|5. (2014?大纲全国)设等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于()A.31B.32C.63D.64答案C解析在等比数列an中，S2、S4S2、S6S4也成等比数列，故(S4S2)2=S2(S6S4),则(153)2=3(S615),解得S6=63.6. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整

15、数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得anbn=12(a1+a2n1)12(b1+b2n1)=12(2n1)(a1+a2n1)12(2n1)(b1+b2n1)=A2n1B2n1=7(2n1)+45(2n1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1(nN*),故n=1,2,3,5,11时，anbn为整数|即正整数n的个数是5.7. (2013?课标全国I)若数列an的前n项和Sn=23an+13,则an的通项公式是an=答案（一2）n1解析当n=1时，a1=1;当n2时,an=SnSn1=23an23an1,故anan1

16、=2，故an=(2)n1.&(2014?江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案4解析因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2q22=0,解得q2=2,a6=a2q4=1x22=4.9. (2014?安徽)数列an是等差数列，若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，贝Uq=.答案1解析设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=1

17、,q=a3+3a1+1=a12+3a1+1=1.10. 在数列an中，如果对任意nN*都有an+2an+1an+1an=k(k为常数)，则称数列an为等差比数列，k称为公差比.现给出下列问题： 等差比数列的公差比一定不为零； 等差数列一定是等差比数列； 若an=3n+2,则数列an是等差比数列； 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确命题的序号为.答案解析若k=0,an为常数列，分母无意义，正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，错误；an+2an+1an+1an=3，满足定义，正确；设an=a1qn1(q丰0),贝Uan+2an+1an+1an=a1qn+1a1qna1qna1

18、qn1=q,正确.11. (2014?课标全国I)已知an是递增的等差数列，a2,a4是方程x25x+6=0的根.(1) 求an的通项公式；(2) 求数列an2n的前n项和.解方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列an的公差为d，则a4a2=2d,故d=12,从而a1=32.所以an的通项公式为an=12n+1.设an2n的前n项和为Sn.由(1)知an2n=n+22n+1,则Sn=322+423+n+12n+n+22n+1,12Sn=323+424+n+12n+1+n+22n+2.两式相减得12Sn=34+(123+12n+1)n+22n+2=34+14(1

19、12n1)n+22n+2.所以Sn=2n+42n+1.12. (2014?北京)已知an是等差数列，满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bnan为等比数列.(1) 求数列an和bn的通项公式；求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d=a4a13=1233=3,所以an=a1+(n1)d=3n(n=1,2，).设等比数列bnan的公比为q,由题意得q3=b4a4b1a1=201243=8,解得q=2.所以bnan=(b1a1)qn1=2n1.|从而bn=3n+2n1(n=1,2，).(2) 由(1)知bn=3n+2n1(n=1,2，).数列3n

20、的前n项和为32n(n+1),数列2n1的前n项和为12n12=2n1.所以，数列bn的前n项和为32n(n+1)+2n1.数列专题复习、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)。如设an是等差数列，求证：以bn=竺也nN*为通项公式的数列bn为n等差数列。2、等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。如(1)等差数列an中，a1030,a2050，则通项an(答:2n10)；(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是3、等差数列的前n和：Sn(1)数列an中，ann(da.)21/c2

21、(n2,n，Sn3d。则a1=n=_(答：a1(2)已知数列an的前an1ani，前n项和Sn号，3，n10)；2n项和Sn12nn，求数列|an|的前n项和Tn(答:2*12nn(n6,nN)T)n212n72(n6,nN)4、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A提醒：(1)等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a2d,ad,a,ad,a2d(公差为d)；偶数个数成等差，可设

22、为，a3d,ad,ad,a3d,(公差为2d)5、等差数列的性质：(1)当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;前n和Snnain(n1)ddn2佝d)n是关于n的二次222函数且常数项为0.0,则为递增等差数列，若公差d0,则为递减等差数列，右公差（2）若公差dd0,则为常数列。(3)当mnPq时，则有amanapaq,特别地，当mn2p时，则有aman2ap.如（1）等差数列an中，Sn18,anan1an23,S31，则n=(答：27)；(4)若an、bn是等差数列，则kan、kanpbn（k、p是非零常数）、2pnq（P，qN*）

23、、Sn,S2nSnnS?n，也成等差数列，而心紳成等比数列；若a.是等比数列，且an0，则lgan是等差数列.如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列an中，当项数为偶数2n时，S偶-S奇nd;项数为奇数2n1时,S奇S偶a中，S2ni（2n1）a中（这里a中即an）;S奇:S偶n:n-1。如（1）在等差数列中，S11=22,则a6=（答：2）;（2）项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数（答：5;31）.（6）若等差数列an、bn的前n和分别为A、Bn,且合f（n）,则Bnf（2n1）.如设a

24、n与bn是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若乞3n1，那么an（答：6n2)Tn4n3bn8n7an(2n1)anA?n1bn(2n1)bnB2n1（7）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组anan100或:：10确定出前多少项为非负（或非正）；法0因等差数列前n项是关nN*。上述两于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性种方法是运用了哪种数学思想（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如（1）等差数列an中，a125,S9S7，问此数列前多少项和

25、最大并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）;（2）若an是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003a20040,则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是(答：4006)（3）在等差数列an中,a100,an0,且an|a®|,Sn是其前n项和，则(S,S2LSo都小于S,S2LS9都小于S20,S21L都大于0S,S2LS5都小于0,S6,S7L都大于0S,S2LS20都小于S21,S22L都大于0(答：B)（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的

26、项,其项数不一定相同，即研究anbm、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法空anq（q为常数），其中q0,an乩亘（n2）。阴阳师笔记无弹窗如（1）一个等比数列an共有2n1项，奇anan1数项之积为100,偶数项之积为120，则an1为5（答：丄）；（2）数列an中,6Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求证：数列bn是等比数列。2、等比数列的通项:ann1亠ae或anamq如等比数列an中,an66,a?an1128，前n项和Sn=126，求n和q.（答:q-或2)23、等比数列的前n和：当q1时，Sn；当q1时，Sna1(1qn)a1a“qo1q（1）

27、等比数列中,q=2,$9=77,求a3a6a99(答：44)；10n(答：2046);(2)(Cn)的值为n1k0特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。4、等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个.ab。如已知两个正数a,b（ab）的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为（答：A>B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个

28、元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2aa33，,aq,aq,qq个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，£r，a,a,aq,aq2（公比为q）;但偶数个数成等比时，不能设为qq9因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。（答：15,9,3,1或0,4,8,16）5.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有amg3napgaq，特别地，

29、当mn2p时，则有2am8nap女口（1）在等比数列an中，a3比124,a4a7512，公比q是整数，则a10=_（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2Llog3a10（答:10）。*（2）若an是等比数列，则|an|、apnq（p,qN）、kan成等比数列；若an、bn成等比数列，则anbn、咅成等比数列；若an是等比数列，且公比q1,bn则数列Sn,S2nSn,S3n务，也是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2n&,S3nS2n，-是常数数列0,它不是等比数列如(1)已知a0且a1,设数列xn满足logaxn11lo

30、gaxn(nN*),且X1x2LX100100，则X101X102Lx200.(答：100a)；(2)在等比数列an中，Sn为其前n项和，若S3013So,SoS30140，则S20的值为(答：40)(3) 若ai0,q1，则an为递增数列；若耳0,q1,则an为递减数列；若ai0,0q1，则an为递减数列；若印0,0q1,则a.为递增数列；若q0，则an为摆动数列；若q1，则an为常数列.(4) 当q1时，Sna1qnHaqnb，这里ab0,但a0,b0，1q1q是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据&，判断数列an是否为等比数列。如若an是等比数列，且Sn3nr，则r=(

31、答：1)(5) SmnSmq"SnS.qm.如设等比数列a*的公比为q，前n项和为Sn,若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的值为(答：2)(6) 在等比数列an中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，S奇a1qS偶.心怀鬼胎小说如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列务是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。2Snanbna、bR,如设数列an的前n项和为Sn(nN),关于数列如有下列三个命题：若1n，则an是等比数列。这些命题中，真命题的序号anan1(nN)，则an既是等差数列又是等比数列；若则an是等差数列；若

32、Sn1是(答：)三、数列通项公式的求法一、公式法anSXn1)Sn&1(n2)an等差、等比数列an公式.例已知数列an满足an12an32n,ai2，求数列an的通项公式。aan3-4-，说明数列2n2i)3，进而求出数列剳是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出评注：本题解题的关键是把递推关系式ani2an32n转化为開an的通项公式。例已知数列an满足anian2n1,a!1,求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式anian2ni转化为anian2ni，进而求出(anani)(anian2)L(asa2)ai)a!，即得数列an的通项公式。例已知数列an满足

33、anian2n丄3i，ai求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式anian3ni转化为anian23ni,进而求出an(anani)(anian2)(asa2)2ai)ai，即得数列a.的通二、累加法项公式。三、累乘法例已知数列an满足ani2(ni)5nan，ai3，求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系ani2(ni)5nan转化为旦口2(ni)5n，进而求ian出亘苑l鱼鱼ai，即得数列an的通项公式。anian2a2ai四、取倒数法例已知数列an中，其中aii,，且当n>2时，anani2ani，求通项公式an。i解将an也2ani-两边取倒数得

34、：iianii2，这说明丄是一个等差数列,ananiiii首项是丄i，公差为2，所以丄i(ni)22ni，即anaian2ni五、待定系数法6，求数列an的通项公式。例已知数列an满足ani2an35n,a“评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为am5n12(an5n)，从而可知数列an5n是等比数列，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例已知数列an满足an13an52n4，a11，求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an13ann524转化为an152n123（an52n2），从而可知数列务52n2是等比数列，进而求出数列a

35、n52n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。六、对数变换法例已知数列an满足ani23na；，ai7，求数列a.的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123na；转化为lgan1器1）譬弩5（lgan器耳?），从而可知数列41644164lgan也直2是等比数列，进而求出数列lgan旦n朋的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。七、迭代法例已知数列an满足an1a；（n1）2",a5，求数列佝的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an1an（n1）2两边取常用对数得lgan13(n1)2nlga

36、n，即lg%13(n1)2n，再由累乘法可推知lganlganLlgan1lgan2n(n°3n1n!2n(n1)lga3lga23n1n!223!22-一lgqlg5，从而an5。lga2lgq八、数学归纳法例已知数列an满足an1a8(n1)aan22，a1(2n1)(2n3)8，求数列an的通项公式。9解：由an1an仲2及a18，得。(2n1)(2n3)9由此可猜测an2(2nJ21，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n1)2(1)当n1时,ai2(211)1(211)28，所以等式成立。9(2)假设当nk时等式成立，即ak2(2(；晋，则当nk1时，ak1ak8(k1)z。

37、22(2k1)(2k3)由此可知，当nk1时等式也成立。根据(1)，(2)可知，等式对任何N都成立。九、换元法1例已知数列an满足an1押124an)，a,1，求数列a.的通项公式。1解：令bnJ24an，则an另(b21)121故an124(bn11)，代入an116(14an.124an)得。即4b；1(bn3)2因为bn,124an0，故bn1,124%10则2bmbn3，即bn1丄021可化为bn13；(03)，所以bn3是以b13,124a13124132为首项，以1为公比的等比数n1(-2)n2，则bn(1)n23,即J124an(1)n23，得列，因此bn3an构造等差、等比数列

38、法an1panq；an1panqn:an1panf(n);an2panqan.已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.【解析】an132(an3)342n1an2n13.【反思归纳】递推关系形如“aPan适用于待定系数法或特征根法:令an1P(an)；在an1panq中令an1X旦，an1X1pP(anX）；由an1panq得anPan1an1anp(anan1).例已知数列an中，ai1,ani2an3n，求数列an的通项公式【解析】an12an3n，色1an2门2门1bn(bnbn1)(bn1bn2)（2）"'令貝bn（b2b1）b12（2an3n2

39、n【反思归纳】递推关系形如“panqn”通过适当变形可转化为:“an1panq”或“an1anf(n)n求解.卜一、不动点法例已知数列an满足an17an2anai2，求数列an的通项公式。解：令x君，得2x24x23x10,则x1是函数f(x)厂的不动点。因为an15a5，所以2an32/1nK2(4)(1)n1(2)3。评注：本题解题的关键是通过将J24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn11bn3形式，从而可知数列bn3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧1、等差数列求和公式：Snn(d2an)na1n(n1)d2n

40、a1(q1)2、等比数列求和公式：內(1nq)aanq(q1)1q1q、利用常用求和公式求和23n前n个正整数的和1前n个正整数的平方和前n个正整数的立方和公式法求和注意事项1213(1)22233233n(n1)22nn(n1)(2n1)2弄准求和项数n的值；6n(n1)2(2)等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类例已知log3x，求xx2x3log23xn的前n项和.*例设Sn=1+2+3+n,nN,求f(n)Sn(n32)Sn1的最大值.二f(n)Sn(n32)Sn1n3464Cn8)n丄250508，即n=8时,.8f(n)max150二、错位相减法求和n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比这种方法主要用于求数列anbn的前数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。1n1例：(2009全国卷I理)在数列an中，q1,an1(12)an吟n2a(I)设bnn，求数列bn的通项公式(II)求数列an的前n项和Snn分析：(I5已知有阳:Ibn1bn1*利用累差迭加即可求出数列bn的通项公式：bn2F（nN）三、倒序相加法求和