高中数学必修4平面向量知识点总结

1、高中数学必修4平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的uuuumr起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB,a;坐标表示法axiyj（x,y）.向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作丨a|+向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a=0|a|=0.由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有非零向量”这个条件.（注意与0的区别） 单位向量：模为1个单位长

2、度的向量向量a0为单位向量|a°|=1- 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a/b由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量+数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. 相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab大小相等，方向相同（“yj（x2,y2）%x2yiy22

3、向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuuruuurruuuuuuruuu设ABa,BCb，贝Ua+b=ABBC=AC(1) 0aa0a;(2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：(1) 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向

4、量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuuuuurumruuuuuuuuuABBCCDLPQQRAR，但这时必须“首尾相连”.3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a，零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i)(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=O;(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，

5、它的长度与方向规定如下：(I)aa；（U）当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：如果ei,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即

6、重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1给出下列命题：rr 若|=Ib|，则a=b；uuuUULT 若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; 若a=b，b=C，

7、贝Ua=C，rr a=b的充要条件是Ia|=|b|且rrruuu*ababbcacABuuuruuuuuuuuuuuuruuruuuruuuuuuruuuZDCrcrarcrarcrbrcrbrbrarrrrrrrrrrrrrruuuababababababbOABumrumruuurBCCDDBuuurACuuuBDDC|AB|DC|AB/DCAB/DC|AB|DC|ABuuuuuuruuuuuuruuuuuuuuuunruuuruuurOAOCOBCO(ABBC)CDACCDADuuuuuuuuiTruuuunr(DBBD)AC0ACACuuuuuuunrunruuuunruuuuuuru

8、uurrrrrrrrrrrr(OBOA)(OCCO)AB(OCCO)AB0ABabcabdabeded1面向量的坐标表示rrrrrrrrrrrkcdabababOab1k1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量Lr作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示rrrrr成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其

9、相对位置有关2平面向量的坐标运算：ra若1rbyyy2X2,rbray2y1X1,(3)若a=(x,y),贝Ua=(x,y)ra若5)rby1X1>x2,y2，则abXi讨2X2%0y1X1,y2X2,y2%X1ra若o2y%2XX1向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1”平行四边形法则ab(x約y)abba量2三角形法则(ab)ca(bc)的uuuLuuruuurABBCAC加法向三角形法则ab(xx>,yiy>)aba(b)量uuuuuuABBA的uuuuuuuuuOBOAAB减法向a是一个

10、向量,a(x,y)(a)()a量满足：()aaa的>0时,a与a同(ab)ab乘向；法<0时,a与a异a/bab向；=0时，a=0*向a?b是一个数a?b泌y2a?bb?a量a0或b0时，(a)?ba?(b)(a?b)的a?D=0(ab)?ca?cb?c数量积a0且b0时，a?b|a|b|cosa,b22r22a|a|,|a|<xy|a?b|a|b|例1已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab，且UV，求实数x的值解：因为a(1,2),b(x,1),Ua2b,v2ab所以U(1,2)2(x,1)(2x1,4),V2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为u/v所以

11、3(2x1)4(2x)0,即10x5解得x-2例2已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6)试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)交点P的坐标UUUUULT解：设P(x,y)，则OP(x,y),AP(x4,y)因为P是AC与OB的交点所以P在直线AC上，也在直线OB上uuuuuuuuuuuur即得OP/OB,AP/ACuuuruuu由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC(2,6),OB(4,4)得方程组6(x4)2y04x4y0解之得故直线AC与OB的交点P的坐标为（3,3）三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与&，它们的夹角为，则ab=I

12、a丨b丨cos叫做a与b的数量积(或内积)规定0a0rr2向量的投影：丨b|cos=arbR,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对|a|值称为射影3数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：aaa2|a|25乘法公式成立：r2.r2abab2a22a&b22a6平面向量数量积的运算律：rr 交换律成立：abba 对实数的结合律成立：abababr 分配律成立：abcacbcca特别注意：(i)结合律不成立：abcabc；(2)消去律不成立abac不能得到bcrrrr(3) ab=0不能得到a=0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：rrrr已知

13、两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a匕=为乂2yiy2rrumruuur8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则/AOB=(00180°)叫做向量a与b的夹角cos=cosrbra.rb9.ra一lb?ra2X2X1当且仅当两个非零向量a与b同方向时，B=00，当且仅当a与b反方向时B=180°，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a丄b10两个非零向量垂直的充要条件：a丄bab=Oxmy°20一平面向量数量积的性质例1判断下列各命题正确与否：r（1）0a0；（2）0a0

14、；（3）若a0,abac，则bc；若abac，则bc当且仅当a0时成立；rrr（5）（ab）ca（bc）对任意a,b,c向量都成立；（6）对任意向量a，有a2a解：错；对；错；错；错；对例2已知两单位向量a与D的夹角为1200，若c2aib,di3ida，试求c与意题由ab1，且a与b的夹角为1200,所rbraroabcos120rcrc2rcQ(2ab)(2ab)4a24aIdb2一7rc同理可得d713V-22ra22rb3rbr_rarb©rbra(2rc而设为c与d的夹角，则171791仃arccos182cos2J7J13182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑rrr例3已知a4,3，b1,2，mnab,n2ab，按下列条件求实数55一9（1）rmrn;（2）rrmn；m解:rmrarb4,32r,n2；(1)rmrn47328（2）mn48327(®mrn42322J7222州的值点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算rnoorb8乙28（七）向量中一些常用的结论：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrr2.|a|b|ab|a|b|，特别地，当ab同向或有0I；b|b|lai|b|ab|；rrr