第四讲-数学建模之差分20150721

1、1 差分方程稳定性的几个结果差分方程稳定性的几个结果2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型4 4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长5 2000美国数学建模竞赛题美国数学建模竞赛题6 SARS的传播的传播差分方程模型差分方程模型Q差分方程的建模：Q微分方程的建模考虑很小的时段tk,tk+1上的y(t)变化过程，然后令区间趋向于0。Q差分方程考察两个相邻时刻k和k+1点的值yk和yk+1的转换关系，不需要取极限。因此建模过程相对简单。1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么

2、条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡

3、点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP Q对上页对上页ppt的详细说明（的详细说明（模型的几何表现与分析模型的几何表现与

4、分析 ）)(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1模型的差分方程分析模型的差分方程分析gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消

5、费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/ )

6、(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确

7、定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk2 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(

8、人口人口)若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判

9、断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1

10、x2xx* 稳定稳定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果bx11*b 3.57, 不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛)1 (1kkkxbxx的收敛、

11、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b3 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的

12、死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在矩

13、阵存在正单特征根正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群

14、按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增长率称固有增长率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(kLxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析稳态分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一时段的

15、是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1时时*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbL(2000美国数学建模竞赛题)南非国家公园有大约11000头大象。管理政策需要一个健康的环境来维持一个大约11000头大象的稳定数量。公园管理人员每年统计大象的数量。在过去的20年中，每年需要移出一部分大象群落以将总数尽可能维持在11000头。每年这一过程包括射杀(其中的绝大多数)和偶然的转移约600-800头到其他地方。最近，公众反对

16、射杀大象，且找不到收养大象的地方。目前一种可以使成熟母象避孕2年的药箭已经研制出来。下面是公园中大象的一些信息：(1)没有大象的迁入或迁出 ；(2)大象的性别比非常接近1:1。 (3)小象的性别比非常接近1:1，双胞胎大约占1.35%。(4)母象在10-12岁时开始受孕，每隔3.5年生育一胎，直到60岁。孕育期长达22个月。(5)母象可以每年接受射箭避孕而不产生副作用。最后一次射箭避孕可以使母象2年不受孕。(6)大约70%-80%的新生小象可以活到1岁。此后，所有年龄段的大象的成活率都超过95%，直到大约60岁。可以假设所有的大象的寿命不超过70岁。(7)没有猎杀等伤害大象的行为。(数据略)任

17、务1：建立模型预测2-60岁的大象的成活率。预测大象当前的年龄结构。任务2：估计每年需要给多少头母象射标避孕可以使大象头数稳定在11000头左右。任务3：如果每年可以迁移50-300头大象，射标避孕的母象头数如何变化？这一问题是典型的按年龄分布的生物发展模型。问题在于：(1)由于避孕问题雌雄有别，为了能描述这一问题，我们可以把状态向量分为雌性和雄性分别建立发展方程。12( )( )( )( )Tnmale kmale kmale kmale kL12( )( )( )( )Tnfmal kfmal kfmal kfmal kL(2)雌雄群体的生育都是由母象完成，生育率只与母象数量有关。(3)象

18、群的数量控制由母象各年龄组的生育率参数的控制完成。这些参数可以由母象的正常生育率和避孕率两个指标完成。其中正常生育率是常数。设i年龄组母象的数量为fmali(k),正常生育率bi，避孕率为si，死亡率为di，由于避孕有效期是2年，则生育率为 1(1)(1)iiibss类似，可以把问题中的其他参数按题意确定下来，形成完整的模型。2007A题：中国人口增长预测题：中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，

19、以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。附录1 国家人口发展战略研究报告附录2 人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明由于教科书上已经有年龄分布的人口发展模型，这个问题的要点是男

20、女比例的失衡和农业人口向城镇转移的描述。要描述这样的变化，我们需要引入决策变量：比如，我们假设中国的人口分为男性和女性，而两组人口又分为城镇人口和农业人口(或大城市人口，小城镇人口和农业人口)。按年龄分布为男性城镇人口和农业人口：12( )( )( )( )mkmc kmc kmckmc12( )( )( )( )mkmv kmv kmvkmv女性城镇人口和农业人口：12( )( )( )( )mkwc kwc kwckwc12( )( )( )( )mkwv kwv kwvkwv可以对每个向量建立Lesli方程，只是要注意：(1)男人是女人生的；(2)人口迁移由农村迁向城镇。A题 SARS的

21、传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：(1)对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。(2)建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困

22、难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。这种问题可以利用微分方程和差分方程描述。利用差分方程要给出相邻两时段的决策变量的转换关系。几个重要的概念： (1)接触率 (2)潜伏期 t (3)治愈率 (4)死亡率 d分别利用微分方程和差分方程建模1、s-i-s模型模型假设：(1)总人数为常数N。分为健康人和病人，所占比例分别为s和i。s+i=1。(2)每个病人每天平均有效接触个人，病人和健康人有效接触，则健康人生病。(3)病人每天的治愈率为，病人治愈后变回健康人。微分方程模型的建立：设t时刻病人所占比例为i(t)，则在时间间隔t,t+dt上，病人数量的变化为令dt0得到()