二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程

1、)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.自由项为自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、 型)()(xPexfmx 设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()().(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp

2、),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可设设;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可设.)(2xmexQxy 综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特

3、征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例1 1.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr对应齐次方程通解对应齐次方程通解,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 求通解求通解xxeyyy3596 解解特征方程特征方程0962 rr特征根特征根321 rr齐通解齐通解xexccY

4、321)( 是重根是重根3 xeBAxxy32)( 可可设设即即23)(BxAxxQ BxAxxQ23)(2 BAxxQ26)( 代入（代入（*）式）式xBAx526 0,65 BAxexy3365 非齐通解为非齐通解为xexxccy3321)65( 例例2 型型二、二、xexPxfxm cos)()( 型型型及其组合型及其组合xexPxfxm sin)()( xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 分别是分别是 xjmexP)()( 的实部和虚部的实部和虚部,)()(xjmexPqyypy 考虑方程考虑方程可设可设xjmkexQxy)()( 次次复复系系数数多多项

5、项式式是是mxQm)()()()(21xjQxQxQm 记记次次实实系系数数多多项项式式均均是是 mxQxQ)(),(21辅助方程辅助方程)sin(cos)()(21xjxexjQxQxyxk )cos)(sin)()sin)(cos)(2121xxQxxQjxxQxxQexxk 是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 jjk, 1, 0由分解定理由分解定理sin)(cos)(Re21xxQxxQexyxk cos)(sin)(Im21xxQxxQexyxk 分别是以分别是以 xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 为自由项的非齐次线为自由

6、项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程例例3 3.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解 对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy （取虚部）（取虚部）原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 这种方法称为复数法这种方法称为复数法例例4

7、4.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy )2sin2)(cos9431(xjxjx ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy （取实部）（取实部）原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy

8、 注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xjAe 例例5 5.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方程通解对应齐方程通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例6 求通解求通解xeyyxcos 解解 相应齐方程相应齐方程0 yy特征方程特征方程jrr 2, 1201齐通解齐通解xcxc

9、Ysincos21 先求先求 xeyy 的特解的特解设设xAey *1代入方程代入方程21 Axey21*1 再求再求 xyycos 的特解的特解考虑辅助方程考虑辅助方程jxeyy 是单根是单根j 可设可设jxAxey jxjxAjxeAey jxjxAxeAjey 2代入方程得代入方程得jA21 xxjxxxejyjxcos21sin2121 取实部得取实部得xxysin21*2 原方程的特解原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx 所求通解为所求通解为)sin(21sincos21xxexcxcyx 例例7 设设)(22yxfu 具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数且满足且满

10、足2222221yxuxuxyuxu 求求 u 的表达式的表达式解解记记 22yxr 则则)(rfu rxdrduxudrduxu drdurydrudrxxu 3222222)(同理同理drdurxdrudryyu 3222222)(udruduxuxyuxu 22222212222yxudrud 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得解得2sincos221 rrcrcu222221sincosyxcyxcu 222rudrud 即即 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子钉子8米，另一端离钉子米，另一端离钉子12米，

11、若不计摩米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为下段重为解解设时刻设时刻 t 链条下落了链条下落了 x 米米另设链条单位长重为另设链条单位长重为)(mkgw则上段重为则上段重为)12(xw )8(xw 由由Newton第二定律第二定律2220)8()12(dtxdwgxwxw 例例8 0, 000 ttdtdxx特征方程特征方程0102 gr特征根特征根102, 1gr 齐通解齐通解tgtgececX102101 特解特解2* x故故2)(102101 tgtgecectx代入初始条件代入初始条件解得解得121 cc2)(1010 tgtgeetx时

12、当8 x)(3 . 2)625ln(10sgt 三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1y

13、xeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 练练 习习 题题一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111

14、 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .三、三、 含源含源在在CLR,串联电路中串联电路中, ,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充电充电容器容器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微法微法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,欧欧1000 R, ,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电电压压 . .四、四、 设设)(x 函数函数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ；