机械振动与波动

1、1小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎2同年同年7 7月在大风中月在大风中因产生共振而断塌因产生共振而断塌 我国四川綦江彩虹桥的断裂：我国四川綦江彩虹桥的断裂： 武警跑步（引起共振）武警跑步（引起共振）19401940年华盛顿的塔科曼年华盛顿的塔科曼大桥建成大桥建成 3我国古代对我国古代对“共振共振”的认识：的认识： 蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪公元五世纪天中记天中记记载记载问张华。问张华。张华曰：此盘与宫中钟张华曰：此盘与宫中钟相谐相谐，故声故声相应，相应，可改变其薄厚。可改变其薄厚。4振动依机理不同区分为机械振动、电磁振动，振动依机

2、理不同区分为机械振动、电磁振动，但描述和研究方法相同。但描述和研究方法相同。广义而言：指任一物理量广义而言：指任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) ) 在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 狭义的振动：狭义的振动：指物体在其平衡位置附近的指物体在其平衡位置附近的 周期性往复运动。周期性往复运动。振动是一种重要的运动形式。振动是一种重要的运动形式。本章重点：本章重点：振动方程振动方程5振动振动类型类型共振共振( (简谐振动）简谐振动） 受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由无阻尼自由

3、谐振动谐振动66 6.1 .1 简谐振动的描述简谐振动的描述O- A+AxmFkxkaxm 1.1.简谐振动简谐振动（Simple Harmonic Motion）：一、简谐振动的方程一、简谐振动的方程质点在弹性力（或准弹性力）作用下引起的质点在弹性力（或准弹性力）作用下引起的振动振动以弹簧振子为例以弹簧振子为例 2.2.简谐振动方程：简谐振动方程：7kaxm 简谐振动微分方程：简谐振动微分方程：简谐振动方程余弦形式简谐振动方程余弦形式O- A+Axm2km令：令：222ddxxt cos()xAtdsin()dxvAtt 222dcos()dxaAtt 此外：此外：82km因为，所以有/k

4、mcos()cos ()cos()AtAtTAtT2T2T，即 结合结合 来阐明简谐振动各来阐明简谐振动各特征量的物理意义特征量的物理意义cos()xAt 1. 振幅：振幅：A 2. 周期、频率、角频率周期、频率、角频率 T v 3. 相位、初相位、相位差相位、初相位、相位差 t22112121()()()()ttt由余弦函数的周期为由余弦函数的周期为2得得12T2vv ，而T2m/k1/2vk m二、简谐振动的特征量二、简谐振动的特征量9cos( )xAtdsin( )dxAtt v222dcos( )dxaAtt 讨论：讨论：xA0Av0A00At0232A02a2A02A02A10比较两

5、个同方向、同频率简谐振动的步调比较两个同方向、同频率简谐振动的步调:212(0,1,2)kk 当相位差当相位差振动同步振动同步或振动同相或振动同相当相位差为其它值时，当相位差为其它值时，当相位差当相位差2121(0,1,2)kk （）振动反步调振动反步调 或振动反相或振动反相210说明第二个振动超前第一个振动相位说明第二个振动超前第一个振动相位xt（b） =(2k+1)OA2A1txOA1A2（a） =2k11简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法cos()xAt解析式解析式曲线法曲线法 xt旋转矢量法旋转矢量法复数法复数法i()iettxAAe iAA e复振幅复振幅12解析式解析式cos(

6、)xAtdcos( )d2xAttv222dcos( )dxaAttv 比比 x 超前超前 ,()()22v xtt对应的时间差对应的时间差 ,24v xTt A 与与 x 反相反相 ,()()a xtt ,2a xTt 对应的时间差对应的时间差 13xot 0- = /2 A-A = 0omx0 = AxA(伸长量伸长量)om0 x0 AxAomx0 = 0 xAxt曲线曲线a,v,xotvax14km0t例：已知振动系统的例：已知振动系统的 和和 及初始条件（及初始条件（ 时时振子的坐标振子的坐标 和速度和速度 ），试确定该简谐振动。），试确定该简谐振动。 0 x0v联立可得联立可得: :

7、将初始条件代入方程将初始条件代入方程: :解：由解：由振动系统的振动系统的 和和 ，可确定，可确定mkcos()xAtsin()vAt 即即0cosxA0sinvA 22002vAx00arctan()vx三、振幅和初相的确定三、振幅和初相的确定( (即方程的建立即方程的建立) )15 物体沿物体沿x轴作谐振动，振幅为轴作谐振动，振幅为20cm，周期为，周期为4秒，秒，t=0时物体的位移为时物体的位移为10cm，且向，且向x轴正方向运动，求轴正方向运动，求:（1）初相初相;（2）t=0.5秒时秒时，物体的坐标、速度和加速度；（物体的坐标、速度和加速度；（3）物体在平衡位置处物体在平衡位置处，且

8、向且向x轴负方向运动的时刻开始计时轴负方向运动的时刻开始计时的初相，并写出运动方程。的初相，并写出运动方程。例例 题题 1 1解解: : 由振动方程由振动方程cos()xAt（1）由题意）由题意120,422()42Acm TssT020cos10 xcm0010,0,xcm v由运动方程得t=0时，时，1cos216所以所以3 00,3v 因为只能取因此物体的运动方程为因此物体的运动方程为20cos()()23xtcm(2) t=0.5s时，物体的坐标、速度和加速度分别为时，物体的坐标、速度和加速度分别为20cos()2320cos(0.5)19.3()23xtcm20sin(-)22320

9、sin(0.5-)8.13(/ )223tcm s v222() cos( )22() cos(0.5)47.6/22aAtAcm s 17(3)当物体在平衡位置处，且向当物体在平衡位置处，且向x轴负方向运动的时刻开始计时轴负方向运动的时刻开始计时000,0,0.txv即当时cos()xAt由0020cosx有所以所以322或00,2v因为只能取因此物体的运动方程为因此物体的运动方程为20cos()()22xtcm18 单摆是不可伸长的轻绳单摆是不可伸长的轻绳 (摆线摆线) 长为长为l , 一端固定一端固定, 另一端悬挂一质量为另一端悬挂一质量为m的小球的小球 (摆球摆球) 所组成的系统所组成

10、的系统, 如图所示如图所示. 当摆线与竖直方向成当摆线与竖直方向成 时时, 忽略空忽略空气阻力气阻力, 求单摆振动的周期求单摆振动的周期.例例 题题 2 2解解:摆球受重力摆球受重力mgmg和张力和张力T,T,所受合力所受合力沿圆弧切线方向分力即重力在这一沿圆弧切线方向分力即重力在这一方向的分力为方向的分力为 , , 取逆时针取逆时针方向为角位移的正方向方向为角位移的正方向, , 则此力应则此力应写成写成(5 )o角lTFPmoAsinmgsinfmg (5 ),sin,o在角位移 很小时 一般认为所以fmg 1922dmlmgdt 由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得220dgdtl或或gl

11、此方程和简谐振动的微分方程形式相同此方程和简谐振动的微分方程形式相同. 所以所以,在在角位移很小的情况下角位移很小的情况下, 单摆的振动是简谐振动单摆的振动是简谐振动.单单摆振动的角频率和周期分别为摆振动的角频率和周期分别为22gTl20AOBt=0P0 xCcos()xAt1.1.取水平取水平x轴轴, ,由原点由原点O引出引出长度等于长度等于 的的矢量矢量 AA 2.2.设想矢量设想矢量 以匀角速度以匀角速度 绕原点绕原点O逆时针旋转逆时针旋转，则矢，则矢量的端点量的端点P在在x x轴上的投影点轴上的投影点N将在将在BC范围内来回运动。范围内来回运动。 A ；初始时刻，初始时刻， 与与x轴夹

12、角为轴夹角为 A3. 3. 时刻时刻 与与x轴的夹角变为轴的夹角变为 ，端点，端点P在在x轴上的轴上的投影投影为为()tAtNPtt+xN点的速度点的速度sin()vAt 21OB xC0,0 xv0,0 xv0,0 xv0,0 xv根据初始条件利用旋转矢量图判断初相位根据初始条件利用旋转矢量图判断初相位P0OB xC0 xA22初始条件初始条件所在象限所在象限初相位初相位0000 xxxx，v0，v0，v0第一第一象限象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限(0 )2()2()2()2，0讨论：讨论：轴上：轴上：1xAA2（ ），v=0，a=-20 xA（ ），v=-，a=0 x

13、AA 2（3），v=0，a=0 xA（4），v=，a=002223例例1. 1. 质点作谐振动，初位置在质点作谐振动，初位置在(-A/2)(-A/2)处正朝处正朝- -x方向方向运动，振动周期运动，振动周期2s，求：初相和回到平衡位置的最，求：初相和回到平衡位置的最短时间？短时间？解：解：用旋转矢量法用旋转矢量法？2/A定出初相定出初相23回到平衡位置，振幅回到平衡位置，振幅矢量至少再转过矢量至少再转过65 所需时间所需时间 ：s6522652 Tt矢量图示法用于计算，其特点是：直观、简便。矢量图示法用于计算，其特点是：直观、简便。o o24例例 题题 2 2 已知物体作简谐运动的图线，试根据

14、图线已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写出其振动方程写出其振动方程. st mx04. 002. 0002. 004. 02方法一方法一:解解: 设振动方程为设振动方程为cosxAt0.04Am由图知由图知000,02Atxv 又由图知又由图知2433所以或0sin0vA 23则得252 ,02Ats xv由图知2cos(2)232sin(2)03AAvA 所以252333或222325233取2得20.04cos()23xt由此得振动方程26方法二方法二(旋转矢量法旋转矢量法):解解:yxaabbov0,tax 时 质点位于 点向 轴负方向运动初相的确定：初相的确定：,a则对应的旋转矢量位

15、于 位置23所以初相位2,tsbx时 质点位于 点向 轴正方向运动角频率的确定：角频率的确定：,则对应的旋转矢量位于b 位置可见矢量旋转2t得20.04cos()23xt由此得振动方程27例例 题题 3 3已知简谐运动的图线，写出其振动方程已知简谐运动的图线，写出其振动方程.)(stx)(m1 . 01 . 0o135790.1 ,8Am Ts解解:由图知由图知1214sT设振动方程为设振动方程为cosxAt由图知由图知t=1s时时, x=A,1cos()4AA1cos()1410414 0.1cos()44xt本题不好用旋转矢量法，因为初始的位置不能读出本题不好用旋转矢量法，因为初始的位置不

16、能读出28293031323334cos(5/6)vt得0.2sin(5/6)xt沿着沿着x轴振动。求轴振动。求：（：（1）t=0时，作用于质点的力的大小；（时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时的质点的位置。作用于质点的力的最大值和此时的质点的位置。解解: :1 5sin2.56FmaNN x0.2m此时 ，即质点在位移最大处受到的力最大。0.2sin(5/6)()xtSI 质量为质量为1kg的质点，按方程的质点，按方程由振动方程由振动方程5sin(5/6)at （1）t=0时，时，sin(5)16t （2）当）当 时，时，a最大最大maxmax5FmaN例例 题题 5

17、 535可以看出：简谐振动总的能量是不变的，并且可以看出：简谐振动总的能量是不变的，并且与振幅和频率的平方成正比。与振幅和频率的平方成正比。作简谐振动的振子对应的能量为作简谐振动的振子对应的能量为212PEkxsin()vAt 2221122kPEEEmAkAcos()xAt221cos ()2kAt22221cos ()2kmAtm212kEmv2221sin ()2mAt6 6.2 .2 简谐振动的能量简谐振动的能量36讨论讨论:(1)简谐振动总能量是一常量，根源在于振动过程中简谐振动总能量是一常量，根源在于振动过程中只有保守力做功，系统机械能守恒；只有保守力做功，系统机械能守恒；(2)

18、振幅振幅A不仅给出了谐振动的运动范围不仅给出了谐振动的运动范围, 而且反映而且反映了振动系统的能量大小了振动系统的能量大小, 即反映了振动的强度；即反映了振动的强度；(3)简谐运动系统的动能和势能大小时刻改变并且在简谐运动系统的动能和势能大小时刻改变并且在振动过程中相互转化，但总机械能是守恒的，且总振动过程中相互转化，但总机械能是守恒的，且总能量与振幅能量与振幅(A)平方成正比（如图）平方成正比（如图）toEkEpEpkEEE37谐振动在一个周期内谐振动在一个周期内势能和动能各自的平均值势能和动能各自的平均值20112TPEkx dtT222011sin ()2TmAtdtT22011cos

19、()2TkAtdtT214kA20112TkEmv dtT214kA谐振动在一个周期内的平均势能和谐振动在一个周期内的平均势能和平均动能相等。平均动能相等。质量为质量为0.1kg的质点作简谐振动，频率的质点作简谐振动，频率 10Hz，38sin()vAt cos()xAt在在t=0时刻，位移时刻，位移 0.1m，速度，速度 =2ms-1-1。求：（。求：（1）位移表）位移表达式；（达式；（2）加速度表达式；（）加速度表达式；（3）振动的总能量。）振动的总能量。解解: :0.1cosA4A =0.141m， 0.141cos(20)( )4xtm22cos()558cos(20)()4aAttm

20、 s 2212EmA代数据得代数据得2210sinA 0 x0v(2)2210.1 (20 )(0.141)3.94(J)2例例 题题 1 139例例 题题 2 2 劲度系数为劲度系数为 k 的轻弹簧，系一质量为的轻弹簧，系一质量为 的物的物体在水平面上作振幅为体在水平面上作振幅为 A 的简谐运动。有一质量的简谐运动。有一质量为为 的粘土，从高度为的粘土，从高度为 h 处自由下落，正好在处自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时（）物体通过平衡位置时（b）物体在最大位移）物体在最大位移时，落在物体之上分别求时，落在物体之上分别求1m(1)振动周期有何变化振动周期有何变化;2m(2)振幅有何变化

21、振幅有何变化2mhh1mAox1m40解解:(1):(1)振动系统周期由弹簧振子的劲度系数和振子振动系统周期由弹簧振子的劲度系数和振子质量所决定，因此原振动周期为质量所决定，因此原振动周期为当粘土落在物体上时，系统的振子质量为当粘土落在物体上时，系统的振子质量为 ，所以所以122mmTkk122mmTTk 12mm（2）当粘土落到物体上时，物体和粘土的运动状）当粘土落到物体上时，物体和粘土的运动状态可发生变化，可能引起振幅的变化态可发生变化，可能引起振幅的变化,物体和粘土为非弹性碰撞物体和粘土为非弹性碰撞在平衡位置处，系统水平方向动量守恒，设物体在平衡位置处，系统水平方向动量守恒，设物体 在平

22、衡位置时速度为在平衡位置时速度为 v 。则。则1m41112mvmmv则振动系统的最大速度则振动系统的最大速度112mvvmm 由此可计算振动系统的振幅，有关系式由此可计算振动系统的振幅，有关系式22121122kAmmv2112121()()2mmmvmm211121()2mmvmm2211122mvkA112mAAAmm420000 xAv若当粘土落在物体上时，物体正好在最大位移处，若当粘土落在物体上时，物体正好在最大位移处，由初始条件由初始条件即振幅不变！即振幅不变！2mhh1mAox1m43121122cos()cos()xxxAtAtcos()At221212212cos()AAAA

23、 A11221122sinsinarctancoscosAAAA同方向同频率的两简谐振动的合成仍是简谐振动，且频率不变。同方向同频率的两简谐振动的合成仍是简谐振动，且频率不变。一、同方向、同频率简谐振动的合成一、同方向、同频率简谐振动的合成12x2x1x12xxxOA1A2AtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinAcoscossinsin AtAt2A44txOA1A2A（a） =2k22221212122AAAA AAA212(0,1,2)kk 当相位差当相位差振动加强，同步振动加强，同步即分振动同相时，合振幅即分振动同相时，合振幅讨论：讨

24、论：当相位差为其它值时，当相位差为其它值时，A2A1AOxt（b） =(2k+1)当相位差当相位差2121(0,1,2)kk （ ）22221212122AAAA AAA振动减弱，反步振动减弱，反步即分振动反相时，合振幅即分振动反相时，合振幅1212AAAAA合振幅介于最大值和最小值之间合振幅介于最大值和最小值之间45例例 题题 1 1 两个同方向、同频率简谐振动方程分别为两个同方向、同频率简谐振动方程分别为10.4cos(3) ,3xtm20.3cos(3)6xtm求（求（1）合振动表达式）合振动表达式3130.5cos(3),?xtxx(2)若另一简谐振动当 等于多少时的振幅最大解：本题可

25、用解析法和旋转解：本题可用解析法和旋转矢量法求出矢量法求出方法一方法一:由图示旋转矢量图由图示旋转矢量图1A2AAo36x461A2AAo36x122212,20.5AAAAAmt=0时刻,知 和 的夹角为则合振幅为0.123初相位0.5cos(30.12 )xt方法二方法二:221212211112211222cossinsin()coscosAAAA AAAtgAA可由和算出4713,xx(2)要使的合振幅最大12k1223(0, 1, 2,)kkk 1A3Ao3x48例例 题题 2 2 设有设有 N 个同方向、同频率的简谐运动，且振幅相个同方向、同频率的简谐运动，且振幅相等，相位差依次恒

26、为等，相位差依次恒为 ，即两个同方向、同频，即两个同方向、同频率简谐运动方程分别为率简谐运动方程分别为0AA0AR2N1cosxt2cosxt3cos2xtcos(1) NxtN其合成后仍为简谐运动，求它们的合振动的振幅其合成后仍为简谐运动，求它们的合振动的振幅和初相。和初相。49解：由旋转矢量法求合成结果，图解：由旋转矢量法求合成结果，图示，用多边形法则计算合矢量。示，用多边形法则计算合矢量。由几何关系得合矢量大小由几何关系得合矢量大小2sin2NAR02sin2AR0sin2sin2NAA112COPCOMN 得合振动的初相0sin12cossin2NNxAt合振动的表达式为（）0AA0A

27、R2NCoPMQR11(),()22COPCOMN50二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成 拍拍1 1.两个同方向不同频率的简谐振动合成不再是两个同方向不同频率的简谐振动合成不再是简谐振动。简谐振动。xtOxtO51 2. 2.振幅初相相同、频率非常接近的两振动合成振幅初相相同、频率非常接近的两振动合成1212cos()cos()xxxAtAt21212coscos()22Att212可见，合振动的角频率为可见，合振动的角频率为 212cos2At振幅振幅 作缓慢的周期性变化作缓慢的周期性变化拍拍21拍频拍频: : tx1 2tx2 1 = 2 - 1 tx6.4.

28、1 6.4.1 机械波的形成与传播机械波的形成与传播6.4.2 6.4.2 平面简谐波的表达式平面简谐波的表达式 波动微分方程波动微分方程6.4.3 6.4.3 波的能量与能流波的能量与能流6.4.4 6.4.4 声波声波6.4.5 6.4.5 惠更斯原理惠更斯原理6.4.6 6.4.6 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉6.4.7 6.4.7 驻波驻波 半波损失半波损失6.4.8 6.4.8 多普勒效应多普勒效应54波动是自然界中一种重要且常见的物质运动波动是自然界中一种重要且常见的物质运动形式。形式。本章重点：本章重点：波动方程波动方程, 波的能量波的能量, 波的干涉波的干涉, 多

29、普勒公式多普勒公式振动的传播过程称为波动，简称波。振动的传播过程称为波动，简称波。机械波：机械振动在弹性媒质中的传播机械波：机械振动在弹性媒质中的传播.(.(绳波绳波, 水波水波, , 声波声波, , 地震波地震波) )电磁波：变化电场和变化磁场在空间电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播的传播.(.(无线电波无线电波, ,光波等光波等) )物质波：微观粒子及一切物体所具有物质波：微观粒子及一切物体所具有的波动性的波动性. .波的分类波的分类1.1.按振动方向分按振动方向分: : 横波横波( (凹凸波凹凸波) )质点的振动方向和波质点的振动方向和波的传播方向垂直的传播方向垂直( (如如: :光

30、波光波););纵波纵波( (疏密波疏密波) )质点的质点的振动方向和波的传播方向平行振动方向和波的传播方向平行( (如如: :声波声波););垂直和垂直和平行的组合波平行的组合波: : 水波水波, ,质点的轨迹为椭圆质点的轨迹为椭圆 , , 地震地震波波) )2.2.按波阵面的形状分按波阵面的形状分: :平面、球面、柱面、椭球面平面、球面、柱面、椭球面 太阳光、白只灯、日光灯太阳光、白只灯、日光灯3.3.按频率分：次声波、声波、超声波、光波按频率分：次声波、声波、超声波、光波4.4.按波形运动分：行波、驻波（即按能量传播）按波形运动分：行波、驻波（即按能量传播）5.5.按自由度：一维、二维、三

31、维（按能量传播方向的自按自由度：一维、二维、三维（按能量传播方向的自由度）由度）6.6.按振动规律：简谐波（也叫余弦波）按振动规律：简谐波（也叫余弦波）、非简谐波非简谐波简谐波是最简单最重要的波，其他复杂的波是由简谐波是最简单最重要的波，其他复杂的波是由 简谐波合成的简谐波合成的一一. .机械波的形成机械波的形成波源波源和和弹性介质弹性介质是产生机械波的两个必是产生机械波的两个必须具备的条件。须具备的条件。1.1.产生：产生：弹性媒质弹性媒质振动、波形、能量振动、波形、能量机械波机械波横波横波纵波纵波振源的振动振源的振动2.2.特点：特点：（）绳子上各质元在各自平衡位置往复振动，（）绳子上各质

32、元在各自平衡位置往复振动，而质元不沿波的传播方向移动而质元不沿波的传播方向移动（）波动是振动状态（相位）的传播，沿波的（）波动是振动状态（相位）的传播，沿波的传播方向各质元的相位依次落后或者说沿波的传传播方向各质元的相位依次落后或者说沿波的传播方向上，后一质元重复前一质元的运动状态播方向上，后一质元重复前一质元的运动状态二二. .波的几何描述波的几何描述波阵面：在介质中所有相位波阵面：在介质中所有相位相同的点所连成的面。相同的点所连成的面。波线：代表波传播方向的线。波线：代表波传播方向的线。在各向同性的介质中，波面在各向同性的介质中，波面波线波线波面波面波前波前波线波线(a)球面波球面波(b)

33、平面波平面波波面波面波线波线波前波前波前波前某时刻波到达的各点连某时刻波到达的各点连成的面，即最前面的波面。成的面，即最前面的波面。uvT三三. .简谐波的特征量简谐波的特征量波速、波长和频率的关系：波速、波长和频率的关系：机械波的波速由介质的弹性模量和密度决定。机械波的波速由介质的弹性模量和密度决定。()()GuYu横波纵波固体中的波速：固体中的波速：G为切变模量为切变模量Y为杨氏模量为杨氏模量在液体或气体中只传播纵波，波速为：在液体或气体中只传播纵波，波速为：BuB为容变弹性模量为容变弹性模量xxuPO设设O点的简谐振动方程点的简谐振动方程0cos()Atcos ()xAtu1.1.振动以

34、速度振动以速度u沿沿+ +x方向方向无衰减无衰减传播：传播：cos2()txATcos2()xAtP点的振动比点的振动比O落后落后xu代入上式得波动方程的其它形式：代入上式得波动方程的其它形式：22TuT将 =和cos(2)xAt一、平面简谐波的表达式一、平面简谐波的表达式波函数的物理意义波函数的物理意义： 上式代表上式代表x处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作作简谐运动。简谐运动。2cosxyAt即即x 一定一定：令：令x=x1，则质点位移则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。tyOA12cosxyAt即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到

35、一条余弦曲线，为横坐标，得到一条余弦曲线，它是它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线所构成的波形曲线( (波形图波形图) )。xyAut 一定一定: :令令t=t1，则质点位移则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。yxuOyxuOt时刻时刻tt时刻时刻xx02cos()xyAt x、t 都变化都变化: : 波函数表示波形沿传播方向的运动情波函数表示波形沿传播方向的运动情况（况（行波行波）.),(),(xxttyxty由于由于2xfut得得111cos ()cos(2)xxAtAtu讨论讨论x轴上任意两点轴上任意两点x1 1和

36、和x2 2，平衡位置在这两点处的平衡位置在这两点处的质元的振动方程分别为质元的振动方程分别为222cos ()cos(2)xxAtAtu12()2xxx1 1和和x2 2处两振动的相位差为处两振动的相位差为122(0,1,2,)2xxkk (1)若两点之间的距离为半波长的偶数倍时，即若两点之间的距离为半波长的偶数倍时，即12()22kxx则此两点振动同相，或说振动同步。此两点振动同相，或说振动同步。12(21)(0,1,2,)2xxkk (2)若两点之间的距离为半波长的奇数倍时，即若两点之间的距离为半波长的奇数倍时，即12()22k+1)xx则 (此两点振动反相，或说振动反步调。此两点振动反相

37、，或说振动反步调。2.2.沿沿- -x方向无衰减传播：方向无衰减传播：cos ()xAtuP点的振动比点的振动比O超前超前xuxxuPO 10.4u 一个平面简谐纵波在细长的金属棒中传播，速度一个平面简谐纵波在细长的金属棒中传播，速度为为5 510103 3msms-1-1，频率为，频率为12.512.510103 3HzHz，波源的振幅为，波源的振幅为0.1mm0.1mm。设波源的初相为零，求（。设波源的初相为零，求（1 1）该平面波的波长）该平面波的波长；（；（2 2）波源的振动方程；（）波源的振动方程；（3 3）波动方程；（）波动方程；（4 4）离）离开波源开波源0.1m0.1m处的振动

38、方程。处的振动方程。解：解： 432coscos210cos 25 10)AtAtt（ 4333cos()10cos25 10()5 10 xxAttu 4330.14cos()10cos25 10()5 10 xAttu4310sin(25 10) t（m）（m）（m）（m）由波源的振动方程可得波动方程为0.06cos()92xtSI50.06 cos99tSI101059(2)229xu0.0609Am，0.06 cos()()9tSI12m s59 解解：（1 1）由点的振动方程）由点的振动方程 及，及，可得以为坐标原点的波动方程可得以为坐标原点的波动方程utAyAcoscos()xyA

39、tu所以，以所以，以B B点为坐标原点的波动方程点为坐标原点的波动方程（2 2）若以点为坐标原点，首先写出点的振动方）若以点为坐标原点，首先写出点的振动方程，因为程，因为B B点的相位比点的相位比A A点的相位超前点的相位超前 ，得点的，得点的振动方程振动方程ur0)cos(0urtAyB)(cos0uruxtAyx)(oAp0roxxB 已知平面简谐波波线上某一点的振动方程，写已知平面简谐波波线上某一点的振动方程，写出其波动方程出其波动方程.求求（）（）以以A A点为坐标原点，写出波动方程点为坐标原点，写出波动方程; ;tAyAcos设平面简谐波的波速设平面简谐波的波速 ，沿着，沿着oxox

40、轴正方向传播，轴正方向传播，在传播的路径上在传播的路径上A A点的振动方程为点的振动方程为ux)(oAp0roxxB（2 2）以距点为的点为坐标原点，写出波动）以距点为的点为坐标原点，写出波动方程方程. .0r 另一方法是：在另一方法是：在 ox ox 轴上任一点与已知振动轴上任一点与已知振动点相距为，且点相距为，且 ，则得波动方程为，则得波动方程为0rxrcos()ryAtu0cos()rxAtuux)(oACDp0rroxxB结果相同！结果相同！0cos()xrAtu0cos ()rxAtuu 如图所示为一平面简谐波在如图所示为一平面简谐波在t=0t=0时刻的波时刻的波形图，设此简谐波的频

41、率为形图，设此简谐波的频率为250Hz250Hz，且此时质，且此时质点点P P的运动方向向下，求的运动方向向下，求（1 1）该波的波动方程；）该波的波动方程；（2 2）在距原点）在距原点O O为为100m100m处质点的振动方程与振处质点的振动方程与振动速度表达式。动速度表达式。 解：解：02/2cossin0AAvA 4O处振动方程为：处振动方程为： 0cos(500)4At（1）由）由P点的运动方向，可判定该波向左传播，点的运动方向，可判定该波向左传播，对原点对原点O处质点，处质点，t=0时，有时，有 cos2 (250)()2004xAtSI波动方程为：波动方程为： （2）距）距O点点1

42、00m处质点振动方程是处质点振动方程是15cos(500)()4AtSI振动速度为振动速度为 5500sin(500) ()4vAtSI 二、波动微分方程二、波动微分方程用波动方程分别对用波动方程分别对x和和t求二阶偏导数求二阶偏导数cos ()xAtu2222cos ()xAtxuu 得222cos ()xAttu 及222221xut比较两个偏导数可得比较两个偏导数可得cos ()xAtuVtx1. 波动方程为波动方程为 的平面简谐波，的平面简谐波，在密度为在密度为 的介质中传播时，在任意坐标的介质中传播时，在任意坐标 处处取体积元取体积元 ，在时刻，在时刻 的动能和势能的动能和势能相等相

43、等，均为均为一一. .波的能量波的能量 222kp1sin()2xEEVAtu总机械能总机械能: : 222kpsin()xEEEVAtu 总 可见：体积元可见：体积元 中的动能中的动能 和势能和势能 及总及总机械能机械能 都随时间作周期性的同相变化；都随时间作周期性的同相变化；波动波动传播的过程实际上是能量传播的过程传播的过程实际上是能量传播的过程。 VkEpEE总6.4.3 波的能量和能流波的能量和能流2.能量密度：介质单位体积中波的能量。能量密度：介质单位体积中波的能量。222sin()ExwAtVu总3.3.平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值平均能量密度：一个周期内能量密度的平均

44、值 220d12Tw twAT单位单位: :Jm-3-3 二二. .能流密度能流密度（波的强度）：（波的强度）：ISxut2212SEw Su tASu t * *在在 时间内通过垂面时间内通过垂面 的能的能量量 等于体积等于体积 中的能量中的能量tSSESu t2212SEPASut* *单位：单位：W1.1.平均能流：单位时间内垂直通过某一面积平均能流：单位时间内垂直通过某一面积的平均能量的平均能量wSu2.2.能流密度能流密度（波的强度）：（波的强度）：ISxut2212SEw Su tASu t * *在在 时间内通过垂面时间内通过垂面 的能的能量量 等于体积等于体积 中的能量中的能量

45、tSSESu t2212SEPIuASS t * *单位：单位：Wm-2 * *单位时间内通过垂直于波传播方向单位面积的平单位时间内通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量均能量, , 即单位面积的平均能流。即单位面积的平均能流。* *波的能量随着波动的进行在介质中以波速波的能量随着波动的进行在介质中以波速 向周向周围传播。围传播。 uwu( (记记!)!) 一平面简谐波，频率为一平面简谐波，频率为300HZ300HZ，波速为，波速为340ms340ms-1-1，在截面面积为在截面面积为3.003.001010-2-2m m的管内空气中传播的管内空气中传播, ,若在若在10s10s内通过截面的能

46、量为内通过截面的能量为2.72.71010-2-2J J，求，求（1 1）通过截面的平均能流；）通过截面的平均能流；（2 2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3 3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：21312.7 10(1)2.7 1010WPJ sJ st31221222.7 10(2)9.00 103.00 10PIJ s mJ s mS22429.00 10(3)2.65 10340IwJ mJ mu 有一声源的频率为有一声源的频率为10001000Hz，在空气中，在空气中P点的声波强度为点的声波强度为1.591.5910105 5Wm-2-2，已知空气，已知空气的

47、密度为的密度为1.291.29kgm-3，波速为，波速为344344ms-1-1, ,求求P P点点的振幅和平均能量密度。的振幅和平均能量密度。2212IuA解：根据波的强度公式解：根据波的强度公式 ，可得，可得 3224.3 10 mIAu 2231462J m2IwAu三、波的吸收三、波的吸收1.1.平面波平面波的吸收衰减：的吸收衰减：ddII x其中：其中：吸收系数吸收系数与介质的密度、黏性系数、波与介质的密度、黏性系数、波速、波的频率有关。速、波的频率有关。 平面波在均匀介质中传播，通过厚度为平面波在均匀介质中传播，通过厚度为dx 的介的介质后减少的强度质后减少的强度dI与入射波的强度

48、与入射波的强度I 以及和所以及和所通过的厚度通过的厚度dx 成正比。成正比。0exII 00ddIxIIxI II0dxx2.2.球面波球面波的传播衰减：的传播衰减： 不考虑介质的吸收、散射等原因，球面波因不考虑介质的吸收、散射等原因，球面波因其波阵面随传播的距离增大而扩大，使得通过其波阵面随传播的距离增大而扩大，使得通过单位面积的能量与面积反比例减少，从而引起单位面积的能量与面积反比例减少，从而引起波的强度减弱。波的强度减弱。 1122I SI S12221244IRIR212221IRIR221,2IAu1222222212114422AuRAuR1221ARAR222kp1sin()2x

49、EEVAtu平均能量密度平均能量密度220d12Tw twAT2212SEPASut平均能流平均能流能流密度能流密度（波的强度）：（波的强度）：2212SEPIuASS twu平面波平面波的吸收衰减的吸收衰减0exII球面波球面波的传播衰减的传播衰减212221IRIR1221ARAR惠更斯原理惠更斯原理：介质中波前上各点都可以看作是新的波：介质中波前上各点都可以看作是新的波源，这些波源发出子波，子波的包络面就是新的波前源，这些波源发出子波，子波的包络面就是新的波前.内容的理解：内容的理解：子波概念子波概念 波面上任一点都是新的振源波面上任一点都是新的振源 发出的波叫子波发出的波叫子波子波面的

50、包络线子波面的包络线新波面新波面 t 时刻各子波波面的公共切面（包络面）时刻各子波波面的公共切面（包络面）就是该就是该时刻的新波面时刻的新波面作用：作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面已知一波面就可求出任意时刻的波面t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面 t + tt 在各向同性在各向同性介质中传播介质中传播例：例：u利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的传播现象传播现象1.原理给出：原理给出：一切波动都具有衍射现象一切波动都具有衍射现象衍射衍射偏离原来直线传播的方向偏离原来直线传播的方向 所以：所以：衍射是波

51、动的判据衍射是波动的判据一一. .波的叠加原理波的叠加原理 1S2S121.波的独立传播原理波的独立传播原理各振源在介质中独立地激起与各振源在介质中独立地激起与自己频率相同的波自己频率相同的波每列波传播的情况与其他波不每列波传播的情况与其他波不存在时一样存在时一样实际例子实际例子: :红绿光束交叉红绿光束交叉 乐队演奏乐队演奏 空中无线电波等空中无线电波等波的独立传播原理：波的独立传播原理：有几列波同时在媒质有几列波同时在媒质中传播时中传播时, , 它们的传它们的传播特性（波长、频率播特性（波长、频率、波速、波形）不会、波速、波形）不会因其它波的存在而发因其它波的存在而发生影响生影响. .趣称

52、：趣称：和平共处和平共处细雨绵绵细雨绵绵独立传播独立传播2. 叠加原理叠加原理 在各波的相遇区在各波的相遇区, 各点的振动是各点的振动是 各列波单独在此激起的振动的合成各列波单独在此激起的振动的合成1S2SP21P线性叠加线性叠加满足线性波动方程满足线性波动方程相应的介质叫线性介质相应的介质叫线性介质只有各波都较弱时才满足线性叠加只有各波都较弱时才满足线性叠加波的叠加原理：波的叠加原理：概而言之：概而言之：独立传播，矢量叠加独立传播，矢量叠加。 几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇，几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇，都保持原有特性都保持原有特性( (如频率、波长、振动方向等如频率、波长

53、、振动方向等) )，各自按原传播方向继续前进，不受其他波的影响各自按原传播方向继续前进，不受其他波的影响；在相遇处任一质点的位移是各波在该点所引起；在相遇处任一质点的位移是各波在该点所引起位移的矢量和。位移的矢量和。 二二. . 波的干涉波的干涉 相干条件相干条件在波的叠加区域中各点合振动强弱形成稳在波的叠加区域中各点合振动强弱形成稳定分布的现象定分布的现象, , 称为称为波的干涉现象波的干涉现象得到干涉所要求的条件叫得到干涉所要求的条件叫相干条件相干条件满足相干条件的满足相干条件的波波 叫叫相干波相干波 波源叫波源叫相干波源相干波源 叠加叫叠加叫相干叠加相干叠加1.相干条件相干条件:参与叠加

54、的波必须参与叠加的波必须频率相同（简称同频率）频率相同（简称同频率）在确定的相遇点各分振动的在确定的相遇点各分振动的 振动方向相同（简称同方向）振动方向相同（简称同方向） 相位差恒定（简称相差恒定）相位差恒定（简称相差恒定）PO1O2r1 r22.2.波场中的强度分布波场中的强度分布质点质点P同时参与两波源传来的振动同时参与两波源传来的振动12112222cos()cos()rrAtAt111cos()OOAt222cos()OOAt波源的振动：波源的振动：12112222cos()cos()rrAtAtcos()At2212122cos()AAAA A其中：其中：212122()()rrtt

55、12212()rr波源的相位差波源的相位差 波程差波程差 12112212112222sin()sin()arctan22cos()cos()rrAArrAA2 (0,1,2,)kk12AAA(21)(0,1,2,)kk12AAA干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱由于在波场中确定点有确定的相位差由于在波场中确定点有确定的相位差所以每一点都有确定的所以每一点都有确定的 A从而在波场中形成了稳定的强度分布从而在波场中形成了稳定的强度分布干涉的特点干涉的特点: :强度分布稳定强度分布稳定2212IAAA12AA如如果果1max4II21AAA12min0AAI如如果果O1O2最最大大最最小小最最大大最

56、最小小最最大大水波盘中水波的干涉水波盘中水波的干涉21212rr12所以所谓相位差恒定就是波源初相差恒定所以所谓相位差恒定就是波源初相差恒定实际波：波源振一次发出一列波实际波：波源振一次发出一列波实现干涉的实现干涉的艰难艰难任务是实现初相差恒定任务是实现初相差恒定在确定的场点在确定的场点P )(12rr 确定确定干涉结果取决于干涉结果取决于波源的初相差波源的初相差讨论讨论1）关于相位差恒定）关于相位差恒定12AAA21(2)21(1),1m 1 、 21 、 221m2112212rr121(2.52)0.52rrmm而12AAA2.52221一一. .相干波源：相干波源： 频率相同、振动方向

57、相同、振幅相同、频率相同、振动方向相同、振幅相同、传播方向相反传播方向相反 二二. .驻波表达式：驻波表达式：cos()cos()xxAtAtcccos2 ()cos2 ()txtxAATT2 cos2cos2xtAT从一特例导出，其它情况导出的方程形从一特例导出，其它情况导出的方程形式略有不同式略有不同2At = 00 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波波节节波波腹腹/4- -/4x02A-2A/2xt = 3T/80各质点都作同频率的简谐振动各质点都作同频率的简谐振动。2 cos2xA各质点的振幅不同各质点的振幅不同2A2A，波腹，波腹0 0，波节，波节2(0,1

58、,2)4xkk(21)(0,1,2)4xkk相邻两波节（或波腹）空间间隔都是相邻两波节（或波腹）空间间隔都是2驻波特点：驻波特点：2 cos2cos xAt相位：相位：2 cos2cos xAt 驻波是分段的振动，设两相邻波节间为一段。驻波是分段的振动，设两相邻波节间为一段。相位中没有相位中没有x 坐标坐标， 故相位并不传播故相位并不传播驻波。驻波。t cos 相邻两段中各点振动相位相反。相邻两段中各点振动相位相反。（为什么？）（为什么？）因为，相邻两段的因为，相邻两段的 必一正一负。必一正一负。2cos2 xA同一段中各点振动相位相同；同一段中各点振动相位相同；能量：能量：总能流密度为总能流

59、密度为0， 没有能量的传播。没有能量的传播。但是，在同一段中波腹波节质元之间有能量但是，在同一段中波腹波节质元之间有能量的流动；有动能势能之间的转化。的流动；有动能势能之间的转化。三三. .两端固定的弦中的驻波两端固定的弦中的驻波 只有弦长正好等于半波长的整数倍时只有弦长正好等于半波长的整数倍时, 振振动才能在弦中显著激发起来动才能在弦中显著激发起来2,(1,2,3)2nnllnnn即,uT是弦中的波速是弦中的张力是弦的线密度如琴弦上的驻波如琴弦上的驻波(1,2,3)2nnunlTu管弦乐都利用了驻波原理。管弦乐都利用了驻波原理。 由振动频率为由振动频率为400HZ400HZ的音叉在两端固定拉

60、紧的弦的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波，这个驻波共有三个波腹，其振幅为线上建立驻波，这个驻波共有三个波腹，其振幅为0.30cm0.30cm，波在弦上的速度为，波在弦上的速度为320320ms-1-1。（。（1 1）求此弦）求此弦线的长度。（线的长度。（2 2）若以弦线中点为坐标原点，试写出）若以弦线中点为坐标原点，试写出驻波的方程式。驻波的方程式。 解：解：(1)u由30.81.22Lm得(2) 弦的中点是波腹弦的中点是波腹, 故故323 10cos()cos(800)()0.8xytSI 式中式中可可 由初始条件来选择。由初始条件来选择。32L 又由3200.8400umm得从驻波实验知