交点坐标he距离公式

1、第二节 直线的交点坐标与距离公式 点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式对直线点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式对直线的方程有什么要求？的方程有什么要求？ 提示提示: :点到直线的距离公式中，直线的方程必须为一般式；点到直线的距离公式中，直线的方程必须为一般式；两条平行线间的距离公式中，两条直线方程必须为一次项系数两条平行线间的距离公式中，两条直线方程必须为一次项系数相同的一般形式相同的一般形式. .1.1.原点到直线原点到直线x+2y-5=0 x+2y-5=0的距离是的距离是( )( )(A)1 (B) (C)2 (D) (A)1 (B) (C)2 (D) 【解析】【解析】选选D

2、.D.因为因为352202 05d5.12 2.2.若点若点P P在直线在直线3x+y-5=03x+y-5=0上，且点上，且点P P到直线到直线x-y-1=0 x-y-1=0的距离的距离为为 则点则点P P的坐标为的坐标为( )( )(A)(1,2) (B)(2,1)(A)(1,2) (B)(2,1)(C)(1,2)(C)(1,2)或或(2(2，-1) (D)(2-1) (D)(2，1)1)或或(-1(-1，2)2)2，【解析】【解析】选选C .C .设点设点P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0) )，则有，则有000000003xy50 x1x2.xy1y2y122 解得或3.

3、3.过点过点A(4A(4，a)a)和和B(5,b)B(5,b)的直线与直线的直线与直线y=x+my=x+m平行，则平行，则ABAB的值为的值为( )( )(A)6 (B)(A)6 (B)(C)2 (D)(C)2 (D)不能确定不能确定【解析】【解析】选选B.B.直线直线ABAB与直线与直线y=x+my=x+m平行，平行，222ba1,ba1.54AB54ba2.即4.4.点点(a,b)(a,b)关于直线关于直线x+y+1=0 x+y+1=0的对称点是的对称点是 ( )( )(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(C)

4、(-a,-b) (D)(-b,-a)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)【解析】【解析】选选B.B.设对称点为设对称点为(x(x0 0,y,y0 0),),000000axby10 xb 122,.ybya11xa 则有解得5.5.与直线与直线7x+24y-5=07x+24y-5=0平行，并且距离等于平行，并且距离等于3 3的直线方程是的直线方程是_._.【解析】【解析】设所求的直线方程为设所求的直线方程为7x+24y+b=07x+24y+b=0，由两条平行线间的，由两条平行线间的距离为距离为3,3,得得 则则b=-80b=-80或或b=70,b=70,故所求的直线方程为故所求的直线方程

5、为7x+24y-80=07x+24y-80=0或或7x+24y+70=0.7x+24y+70=0.答案：答案：7x+24y-80=07x+24y-80=0或或7x+24y+70=07x+24y+70=0b53,256.6.点点P P在直线在直线2x+3y+1=02x+3y+1=0上，且上，且P P点到点到A(1,3)A(1,3)和和B(-1,-5)B(-1,-5)的距离的距离相等，则点相等，则点P P的坐标是的坐标是_._.【解析】【解析】A,BA,B的中点坐标为的中点坐标为(0(0，-1),k-1),kABAB=4,=4,线段线段ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为解方程组解方程组故点故点P

6、 P的坐标为的坐标为( ).( ).答案：答案：( )( )1yx1,4 82x3y10 x5,.17yx1y45 得87,558755，1.1.特殊情况下的两点间距离特殊情况下的两点间距离(1)(1)若已知若已知P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),则当则当P P1 1P P2 2平行于平行于x x轴时，轴时，|P|P1 1P P2 2|=|x|=|x2 2-x-x1 1|,|,当当P P1 1P P2 2平行于平行于y y轴时，轴时，P P1 1P P2 2=|y=|y2 2-y-y1 1|.|.(2)(2)坐标原点坐标原点O(0,0

7、)O(0,0)与任一点与任一点P(x,y)P(x,y)的距离为的距离为22OPxy .2.2.中心对称问题中心对称问题 (1)(1)若点若点M(xM(x1 1,y,y1 1) )及及N(x,y)N(x,y)关于关于P(a,b)P(a,b)对称，则由中点坐标公对称，则由中点坐标公式得式得 (2)(2)求直线关于点的对称直线方程，其主要方法是：在已知求直线关于点的对称直线方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个

8、对称点，再根据关于点对称的两直线平行点，再根据关于点对称的两直线平行, ,由点斜式得到所求直由点斜式得到所求直线的方程线的方程. .11x2ax.y2by3.3.轴对称问题轴对称问题(1)(1)点关于直线的对称点关于直线的对称若两点若两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )与与P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )关于直线关于直线l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0对称，则线对称，则线段段P P1 1P P2 2的中点在对称轴的中点在对称轴l上，而且连接上，而且连接P P1 1P P2 2的直线垂直于对称的直线垂直于对称轴轴l, ,由方程组由方程组可得到点可得到点P P

9、1 1关于关于l对称的点对称的点P P2 2的坐标的坐标(x(x2 2,y,y2 2)()(其中其中A0,A0,x x1 1xx2 2).).12121212xxyyABC022yyBxxA(2)(2)直线关于直线的对称直线关于直线的对称若已知直线若已知直线l1 1与对称轴与对称轴l相交，则交点必在与相交，则交点必在与l1 1对称的直线对称的直线l2 2上，然后再求出上，然后再求出l1 1上任一个已知点上任一个已知点P P1 1关于对称轴关于对称轴l对称的点对称的点P P2 2, ,那么经过交点及点那么经过交点及点P P2 2的直线就是的直线就是l2 2；若已知直线若已知直线l1 1与对称轴与

10、对称轴l平行，则与平行，则与l1 1对称的直线和对称的直线和l1 1分别到直线分别到直线l的距离相等，由平的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1 1的对称直线的对称直线. . 两条直线的交点问题两条直线的交点问题【例【例1 1】求经过两直线】求经过两直线l1 1:x-2y+4=0:x-2y+4=0和和l2 2:x+y-2=0:x+y-2=0的交点的交点P P，且，且与直线与直线l3 3:3x-4y+5=0:3x-4y+5=0垂直的直线垂直的直线l的方程的方程. .【审题指导】【审题指导】一是抓住直线一是抓住直线l经过经过l1 1和和l2 2

11、的交点，进而求出交的交点，进而求出交点坐标或设出过两直线点坐标或设出过两直线l1 1和和l2 2交点的直线系方程；二是抓住交点的直线系方程；二是抓住l与与l3 3垂直，进而求出斜率或得到垂直，进而求出斜率或得到l与与l3 3的斜率满足的关系，从的斜率满足的关系，从而求出方程而求出方程. .1 1【自主解答】【自主解答】方法一：由方程组方法一：由方程组即即P(0,2).P(0,2).ll3 3kkl= =直线直线l的方程为的方程为y-2= y-2= 即即4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.x2y40 x0 xy20y2得，4,34x,3方法二：方法二：直线直线l过直线过直线l1 1和和l2

12、2的交点，的交点，可设直线可设直线l的方程为的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0 x-2y+4+(x+y-2)=0，即即(1+)x+(-2)y+4-2=0,(1+)x+(-2)y+4-2=0,l与与l3 3垂直，垂直，3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线直线l的方程为的方程为12x+9y-18=0,12x+9y-18=0,即即4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.【规律方法】【规律方法】1.1.求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的二元一次方程组组成的二元一次方程组. .2.2.经过两条直线交

13、点的直线方程的设法经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线经过两相交直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系的交点的直线系方程为方程为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2) )0(0(这个直线系方程中不这个直线系方程中不包括直线包括直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0)=0)或或m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n(A)+n(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0.)=0.【

14、互动探究】若将本例中的条件【互动探究】若将本例中的条件“垂直垂直”改为改为“平行平行”，试，试求直线求直线l的方程的方程. .【解析】【解析】由方程组由方程组即即P(0,2).P(0,2).又又ll3 3，kkl= =故直线故直线l的方程为：的方程为：y-2= y-2= 得得3x-4y+8=0.3x-4y+8=0.x2y40 x0 xy20y2得3,43x,4【变式训练】【变式训练】ABCABC的两条高所在直线的方程分别为的两条高所在直线的方程分别为2x-3y+1=02x-3y+1=0和和x+y=0 x+y=0，顶点，顶点A A的坐标为的坐标为(1(1，2)2)，求，求BCBC边所在直边所在直

15、线的方程线的方程. .【解析】【解析】由已知得点由已知得点A A不在所给的两条高所在的直线上，则不在所给的两条高所在的直线上，则可设可设ABAB，ACAC边上的高所在直线的方程分别为边上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0,2x-3y+1=0,x+y=0 x+y=0，则可求得，则可求得AB,ACAB,AC边所在直线的方程分别为边所在直线的方程分别为y-2= y-2= (x-1),y-2=x-1, (x-1),y-2=x-1,即即3x+2y-7=0,x-y+1=0.3x+2y-7=0,x-y+1=0.由由得得B(7,-7),B(7,-7),由由 得得C(-2C(-2，-1)-1)，所以，所

16、以BCBC边所在直边所在直线的方程为线的方程为2x+3y+7=0.2x+3y+7=0.323x2y70 xy0 xy102x3y10 距离的计算距离的计算【例【例2 2】已知三条直线】已知三条直线l1 1:2x-y+a=0(a:2x-y+a=0(a0),0),l2 2:-4x+2y+1=0:-4x+2y+1=0和和l3 3:x+y-1=0:x+y-1=0，且，且l1 1与与l2 2的距离是的距离是(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)能否找到一点能否找到一点P,P,使使P P同时满足下列三个条件：同时满足下列三个条件：P P是第一象限的点；是第一象限的点；P P点到点到l1 1的距离是

17、的距离是P P点到点到l2 2的距离的的距离的P P点到点到l1 1的距离与的距离与P P点到点到l3 3的距离之比是的距离之比是 若能，求若能，求P P点点坐标；若不能，说明理由坐标；若不能，说明理由. .2 275.101;225.【审题指导】【审题指导】(1)(1)中抓住中抓住l1 1与与l2 2的距离是的距离是 从而构造关于从而构造关于a a的方程并求解；的方程并求解；(2)(2)中关键抓住中关键抓住P P点满足条件点满足条件、，构造方程组求解，但应，构造方程组求解，但应验证其满足条件验证其满足条件. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)l2 2为为2x-y- =0,2x-y- =0

18、,l1 1与与l2 2距离为距离为aa0,a=3.0,a=3.75,1012221|a7 52d.1021 （）|【规律方法】【规律方法】1.1.要熟记点要熟记点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线l:Ax+By+C=0(:Ax+By+C=0(其中其中A A、B B不同时为不同时为0)0)的距离公式的距离公式2.2.求两条平行线间的距离有两种思路求两条平行线间的距离有两种思路: :(1)(1)利用利用“化归化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离上任意一点到另一条直线的距离. .(2)(2)利用两平行线间的距离公式

19、利用两平行线间的距离公式. .0022AxByCd.AB【变式训练】已知【变式训练】已知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直线和直线l:4x+3y-2=0:4x+3y-2=0，在，在坐标平面内求一点坐标平面内求一点P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且点，且点P P到直线到直线l的距离的距离为为2.2.【解析】【解析】设点设点P P的坐标为的坐标为(a,b).(a,b).A(4A(4，-3)-3)，B(2,-1)B(2,-1)，线段线段ABAB的中点的中点M M的坐标为的坐标为(3(3，-2)-2)，线段线段ABAB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y+2

20、=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.点点P(a,b)P(a,b)在上述直线上，在上述直线上，a-b-5=0.a-b-5=0.又点又点P(a,b)P(a,b)到直线到直线l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的距离为的距离为2 2， 即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,联立联立可得可得所求点所求点P P的坐标为的坐标为(1(1，-4)-4)或或( ).( ).4a3b22,527aa17.b48b7 或278,77 对称问题对称问题【例【例3 3】(2011(2011武汉模拟武汉模拟) )已知点已知点A A的坐标为的坐标为(-4,4),(-4,4),直线直

21、线l的的方程为方程为3x+y-2=0,3x+y-2=0,求：求：(1)(1)点点A A关于直线关于直线l的对称点的对称点AA的坐标；的坐标；(2)(2)直线直线l关于点关于点A A的对称直线的对称直线l的方程的方程. .【审题指导】【审题指导】(1)(1)中抓住点中抓住点AA与点与点A A关于直线关于直线l对称，构建方对称，构建方程组求解程组求解. .(2)(2)抓住直线抓住直线l 与与l关于点关于点A A对称，利用点的转移求解或点到对称，利用点的转移求解或点到直线的距离求解直线的距离求解. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)设点设点AA的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，由题意可知，由

22、题意可知解得解得x=2x=2，y=6y=6，AA点的坐标为点的坐标为(2(2，6).6).y41x43,x4y432022(2)(2)方法一：在直线方法一：在直线l上任取一点上任取一点P(x,y)P(x,y)，其关于点其关于点A(-4A(-4，4)4)的对称点的对称点(-8-x,8-y) (-8-x,8-y) 必在直线必在直线l上，上，即即3(-8-x)+(8-y)-2=03(-8-x)+(8-y)-2=0，即，即3x+y+18=03x+y+18=0，所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为3x+y+18=0.3x+y+18=0.方法二：由题意可知方法二：由题意可知ll, ,设设l的方程为的方

23、程为3x+y+c=0,3x+y+c=0,由题意可知由题意可知解得解得c=18c=18或或c=-2(c=-2(舍舍) )，所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为3x+y+183x+y+180.0.124c12429 19 1【规律方法】【规律方法】对称问题的类型及求解思路对称问题的类型及求解思路一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题，最终化归为点的对称问题对称问题，最终化归为点的对称问题. .其中点关于直线的对称其

24、中点关于直线的对称是最基本的对称，解决这类对称问题要抓住两条：一是已知是最基本的对称，解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；点与对称点的连线与对称轴垂直； 二是以已知点和对称点为端点的线段中点在对称轴上二是以已知点和对称点为端点的线段中点在对称轴上. .提醒：提醒：常遇到的对称问题有角平分线问题、入射光线和反射常遇到的对称问题有角平分线问题、入射光线和反射光线问题等光线问题等. .【变式训练】【变式训练】1.1.求直线求直线3x-y-4=03x-y-4=0关于点关于点P(2P(2，-1)-1)对称的直线对称的直线l的方程的方程. .2.2.求直线求直线x-2y-1=

25、0 x-2y-1=0关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1=0对称的直线方程对称的直线方程. .【解析】【解析】1.1.方法一：设直线方法一：设直线l上任一点为上任一点为(x,y),(x,y),关于关于P(2P(2，-1)-1)的对称点的对称点(4-x,-2-y)(4-x,-2-y)在直线在直线3x-y-4=03x-y-4=0上，上，3(4-x)-(-2-y)-4=0,3(4-x)-(-2-y)-4=0,3x-y-10=0,3x-y-10=0,所求直线所求直线l的方程为的方程为3x-y-10=0.3x-y-10=0.方法二：由于直线方法二：由于直线l与与3x-y-4=03x-y-4=0平行

26、，平行，故设直线故设直线l的方程为的方程为3x-y+b=0.3x-y+b=0.由函数图象易知，点由函数图象易知，点P P到两直线的距离相等，到两直线的距离相等，得得解得解得:b=-10:b=-10或或-4(-4(舍去舍去).).所求直线所求直线l的方程为的方程为3x-y-10=0.3x-y-10=0.22226 146 1b,3131 2.2.方法一：方法一：点点A(1A(1，0)0)为两已知直线的交点为两已知直线的交点. .在直线在直线x-2y-1=0 x-2y-1=0上取一点上取一点B(0B(0， ) )，设点，设点B B关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1=0的对称点为的对称点为C

27、(xC(x0 0,y,y0 0),),则则x2y 10 x1,xy 10y0 由得12-0000001y0 x210,3x22,21y()y1211x0 解得CC点的坐标为点的坐标为( ),( ),直线直线ACAC的方程为的方程为 即即2x-y-2=0.2x-y-2=0.直线直线x-2y-1=0 x-2y-1=0关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1=0对称的直线方程为对称的直线方程为2x-y-2=0.2x-y-2=0.3,12y0 x1,31 012方法二：设方法二：设P(x,y)P(x,y)是所求直线上的任一点，点是所求直线上的任一点，点P P关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1

28、=0对称的点为对称的点为P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )，则则P P0 0在直线在直线x-2y-1=0 x-2y-1=0上，上，xx0 0-2y-2y0 0-1=0,-1=0,线段线段PPPP0 0的中点是的中点是M( ).M( ).点点P P与点与点P P0 0关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1=0对称，对称，00PP0yyk.xx00 xxyy,22代入代入x x0 0-2y-2y0 0-1=0-1=0得得1-y-2(1-x)-1=0,1-y-2(1-x)-1=0,即即2x-y-2=02x-y-2=0为所求为所求. .000000yy11x1yxx,y1xxxyy10

29、22 解析法解析法( (坐标法坐标法) )的应用的应用【例】如图【例】如图, ,分别以分别以RtRtABCABC的两条直角的两条直角边边ABAB，BCBC为一边向三角形外作正方形为一边向三角形外作正方形ABDEABDE和正方形和正方形BCFG,BCFG,连接连接ECEC、AFAF，且，且ECEC、AFAF交于点交于点M M，连接，连接BM.BM.求证求证:BMAC.:BMAC.【审题指导】【审题指导】抓住抓住ABBCABBC，建立直角坐标系，进而写出相关，建立直角坐标系，进而写出相关点的坐标，求出点的坐标，求出k kBMBM,k,kACAC, ,证明证明k kBMBMk kACAC=-1=-1

30、是否成立是否成立. .【规范解答】【规范解答】如图，以两条直角边所在直线为坐标轴如图，以两条直角边所在直线为坐标轴, ,建立直建立直角坐标系角坐标系. .设正方形设正方形ABDEABDE和正方形和正方形BCFGBCFG的的边长分别为边长分别为a,ba,b，则则A(0,a),B(0,0),C(b,0),A(0,a),B(0,0),C(b,0),E(-a,a),F(b,-b).E(-a,a),F(b,-b).直线直线AF: AF: 即即(a+b)x+by-ab=0;(a+b)x+by-ab=0;直线直线EC: EC: 即即ax+(a+b)y-ab=0.ax+(a+b)y-ab=0.解方程组解方程组

31、ybxbab0b，y0 xba0ab ，222222a bxab xbyab0aabb,axab yab0abyaabb得，即即M M点的坐标为点的坐标为( ),( ),故故k kBMBM= =又又k kACAC= =kkBMBMk kACAC=-1,BMAC.=-1,BMAC.222222a bab,aabbaabbb.a0aa,b0b 【规律方法】【规律方法】解析法解析法( (坐标法坐标法) )即通过建立平面直角坐标系，即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题把几何问题转化成代数问题, ,用处理代数问题的方法解决用处理代数问题的方法解决. .【变式备选】如图，已知【变式备选】如图

32、，已知P P是等腰三是等腰三角形角形ABCABC底边底边BCBC上一点，上一点，PMABPMAB于于M M，PNACPNAC于于N N，试用解析法证明，试用解析法证明|PM|PM|+|PN|+|PN|为定值为定值. .【证明】【证明】过点过点A A作作AOBCAOBC于于O O，以，以O O为原点建立平面直角坐标系为原点建立平面直角坐标系( (如图如图) )，设设B(-a,0),C(a,0)(a0),B(-a,0),C(a,0)(a0),A(0,b)(b0),P(xA(0,b)(b0),P(x1 1,0),0),其中其中a,ba,b为定值，为定值，x x1 1为参数，为参数，-ax-ax1 1

33、a,a,lABAB:bx-ay+ab=0,:bx-ay+ab=0,lACAC:bx+ay-ab=0,:bx+ay-ab=0,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得a0,b0,ab0,-ab0,b0,ab0,-ab0,bx+ab0,bx1 1-ab0,-ab0)(r0)关于直线关于直线x+y+3=0 x+y+3=0对称对称. .(1)(1)求圆求圆C C的方程；的方程；(2)(2)过点过点P P作两条直线分别与圆作两条直线分别与圆C C相交于点相交于点A A、B B，且直线，且直线PAPA和和直线直线PBPB的倾斜角互补，的倾斜角互补，O O为坐标原点，判断直线为坐标原点，判断直线OPOP

34、与与ABAB是否是否平行，并请说明理由平行，并请说明理由. .【解析】【解析】(1)(1)依题意，可设圆依题意，可设圆C C的方程为的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,且且a a、b b满足方程组满足方程组由此解得由此解得a=b=0.a=b=0.又因为点又因为点P(1,1)P(1,1)在圆在圆C C上，所以上，所以r r2 2=(1-a)=(1-a)2 2+(1-b)+(1-b)2 2=2.=2.故圆故圆C C的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2=2.=2.a3b33 022.b311a3 (2)(2)由题意可知，直线由题意可知，直线PAP

35、A和直线和直线PBPB的斜率存在且互为相反数，的斜率存在且互为相反数，故可设故可设PAPA所在的直线方程为所在的直线方程为y-1=k(x-1),PBy-1=k(x-1),PB所在的直线方程为所在的直线方程为y-1=-k(x-1).y-1=-k(x-1).由由 消去消去y,y,并整理得：并整理得：(k(k2 2+1)x+1)x2 2+2k(1-k)x+(1-k)+2k(1-k)x+(1-k)2 2-2=0. -2=0. 22y 1k(x1)xy2 ，设设A(xA(x1 1,y,y1 1) )，又已知，又已知P(1P(1，1)1)，则，则x x1 1、1 1为方程为方程的两相异实数的两相异实数根，

36、由根与系数的关系得根，由根与系数的关系得同理，若设点同理，若设点B(xB(x2 2,y,y2 2),),则可得则可得于是，于是，而直线而直线OPOP的斜率也是的斜率也是1 1，且两直线不重合，因此，直线，且两直线不重合，因此，直线OPOP与与ABAB平行平行. .212k2k1x.k1222k2k1x.k11212AB1212k x1k x1yykxxxx1212k xx2k1.xx1.(20111.(2011威海模拟威海模拟) )已知直线已知直线l1 1:y=2x+3,:y=2x+3,直线直线l2 2与与l1 1关于直线关于直线y=-xy=-x对称，则直线对称，则直线l2 2的斜率为的斜率为

37、( )( )(A) (B)(A) (B)(C)2 (D)-2(C)2 (D)-2【解析】【解析】选选A.A.l2 2、l1 1关于关于y=-xy=-x对称，对称，l2 2的方程为的方程为-x-x-2y+3,-2y+3,即即l2 2的斜率为的斜率为 故选故选A.A.121213yx,2212，2.(20112.(2011西安模拟西安模拟) )若点若点P(a,3)P(a,3)到直线到直线4x-3y+1=04x-3y+1=0的距离为的距离为4 4，且点且点P P在不等式在不等式2x+y-32x+y-30 0表示的平面区域内，则实数表示的平面区域内，则实数a a的值的值为为( )( )(A)7 (B)

38、-7(A)7 (B)-7(C)3 (D)-3(C)3 (D)-3【解析】【解析】选选D.D.由由 得得a=7a=7或或a=-3,a=-3,又又2a+3-32a+3-30 0，得，得a a0,a=-3.0,a=-3.故选故选D.D.4a9 14,53.(20113.(2011泉州模拟泉州模拟) )已知函数已知函数y=ay=a1-x1-x(a(a0,a1)0,a1)的图象恒过的图象恒过定点定点A A，若点，若点A A在直线在直线 (m(m0,n0,n0)0)上，则上，则m+nm+n的最的最小值为小值为_._.xy1mn【解析】【解析】函数函数y=ay=a1-x1-x(a(a0,a1)0,a1)的图

39、象恒过定点的图象恒过定点A A，AA点坐标为点坐标为(1(1，1).1).又又点点A A在直线在直线 上，上， (m (m0,n0,n0)0)，m+n=(m+n)( )=m+n=(m+n)( )=2+2+m+nm+n的最小值为的最小值为4.4.答案：答案：4 4xy1mn111mn11mnnm2mnn m24m n ，一、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共2020分分) )1.(20111.(2011烟台模拟烟台模拟) )点点P(-3,4)P(-3,4)关于直线关于直线x+y-2=0 x+y-2=0的对称点的对称点Q Q的坐标是的坐标是( )( )(A)(-2,1)(A)(-

40、2,1)(B)(-2,5)(B)(-2,5)(C)(2,-5)(C)(2,-5)(D)(4,-3)(D)(4,-3)【解析】【解析】选选B.B.验证法，线段验证法，线段PQPQ的中点在直线的中点在直线x+y-2=0 x+y-2=0上，上，只有只有B B答案满足答案满足. .2.2.点点P(m-n,-m)P(m-n,-m)到直线到直线 的距离等于的距离等于( )( )(A) (A) (B)(B)(C) (C) (D)(D)【解析】【解析】选选A.A.因为直线可化为因为直线可化为nx+my-mn=0,nx+my-mn=0,则由点到直线的距离公式得则由点到直线的距离公式得22mn22mn22mn22

41、mnxy1mn2222mn nm mmndnmmn . xy1mn3.3.设设ABCABC的一个顶点是的一个顶点是A(3,-1),B,CA(3,-1),B,C的平分线方程分的平分线方程分别为别为x=0,y=x,x=0,y=x,则直线则直线BCBC的方程是的方程是( )( )(A)y=2x+5(A)y=2x+5(B)y=2x+3(B)y=2x+3(C)y=3x+5(C)y=3x+5(D) (D) 【解题提示解题提示】利用角平分线的性质，分别求出点利用角平分线的性质，分别求出点A A关于关于B,CB,C的平分线的对称点坐标，由两点式得的平分线的对称点坐标，由两点式得BCBC方程方程. .【解析】【

42、解析】选选A.A.点点A(3,-1)A(3,-1)关于直线关于直线x=0 x=0，y=xy=x的对称点分别的对称点分别为为A(-3,-1),A(-1,3),A(-3,-1),A(-1,3),且都在直线且都在直线BCBC上，故得直线上，故得直线BCBC的方程为的方程为y=2x+5.y=2x+5.15yx22 4.4.若直线若直线l1 1:y=kx+k+2:y=kx+k+2与与l2 2:y=-2x+4:y=-2x+4的交点在第一象限，则的交点在第一象限，则实数实数k k的取值范围是的取值范围是( )( )(A)k(A)k (B)k(B)k2 2(C) (C) k k2 (D)k2 (D)k 或或k

43、 k2 2【解析】【解析】选选C. C. 又交点在第一象限，所以有又交点在第一象限，所以有2323232kxykxk2k2y2x46k4yk2 由得2k02k2k2.6k430k2得 5.(20115.(2011天津模拟天津模拟) )若圆若圆x x2 2+y+y2 2-4x-4y-10=0-4x-4y-10=0上至多有三个上至多有三个不同的点到直线不同的点到直线l:ax+by=0:ax+by=0的距离为的距离为 则直线则直线l的斜率的的斜率的取值范围是取值范围是( )( )(A)(-,2- (A)(-,2- (B)(B)2+ ,+)2+ ,+)(C)(-,2- (C)(-,2- 2+ ,+)

44、(D)2+ ,+) (D)2- ,2+ 2- ,2+ 【解题提示】【解题提示】求解此题，可根据条件画出图形，由图形判求解此题，可根据条件画出图形，由图形判断出圆心到直线的距离不小于断出圆心到直线的距离不小于 ，进而得到关于，进而得到关于 的不等的不等式，从而求解式，从而求解. .2 2，3333332ab【解析】【解析】选选C. C. 圆圆x x2 2+y+y2 2-4x-4y-10=0-4x-4y-10=0整理为整理为(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=( )=( )2 2,圆心坐标为圆心坐标为(2(2，2)2)，半径为，半径为 要求圆上至要求圆上至多有三个不同的点到直

45、线多有三个不同的点到直线l:ax+by=0:ax+by=0的距离为的距离为 则圆心则圆心到直线的距离应大于等于到直线的距离应大于等于3 23 2，2 2，2，2222a2baa2,( )4( )10,bbabaaa2323,k,bbbk23k23,C. 或又 的斜率 或选l二、填空题二、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共1212分分) )6.6.直线直线2x+3y-6=02x+3y-6=0关于点关于点M(1M(1，1)1)对称的直线方程是对称的直线方程是_._.【解析】【解析】依题意，所求直线与直线依题意，所求直线与直线2x+3y-6=02x+3y-6=0平行，且点平行，且点M(1M(

46、1，1)1)到两直线的距离相等，故可设其方程为到两直线的距离相等，故可设其方程为2x+3y+m2x+3y+m=0=0，则，则 解得解得m=8(m=-6m=8(m=-6舍去舍去) )，故所求，故所求直线方程为直线方程为2x+3y+8=0.2x+3y+8=0.答案：答案：2x+3y+8=02x+3y+8=023m236,1313 7.7.已知已知 (a(a0,b0,b0),0),则点则点(0(0，b)b)到直线到直线3x-4y-a3x-4y-a=0=0的距离的最小值是的距离的最小值是_._.【解题提示】【解题提示】先利用点到直线的距离公式将距离表示为先利用点到直线的距离公式将距离表示为a,ba,b

47、的函数，再用基本不等式求最值的函数，再用基本不等式求最值. .【解析】【解析】点点(0,b)(0,b)到直线到直线3x-4y-a=03x-4y-a=0的距离为的距离为答案：答案： 223 04baa4ba4b 11d()55ab3414ba19(5)54.5ab55 95111ab8.8.已知已知A(4,0),B(0,4),A(4,0),B(0,4),从点从点P(2P(2，0)0)射出的光线被直线射出的光线被直线ABAB反射后，再射到直线反射后，再射到直线OBOB上，最后经上，最后经OBOB反射后回到反射后回到P P点，则点，则光线所经过的路程是光线所经过的路程是_._.【解题提示】【解题提示

48、】转化为点转化为点P P关于关于ABAB、y y轴两对称点间距离的求轴两对称点间距离的求解解. .【解析】【解析】如图所示，如图所示，P P关于直线关于直线ABAB：x+y=4x+y=4的对称点的对称点P P1 1(4,2),P(4,2),P关于关于y y轴的对称点轴的对称点P P2 2(-2(-2，0).0).则光线所经过的路程即为则光线所经过的路程即为答案：答案： 2212PP622 10.2 10三、解答题三、解答题( (每小题每小题9 9分，共分，共1818分分) )9.9.已知点已知点(x(x0 0,y,y0 0) )在直线在直线ax+by=0(a,bax+by=0(a,b为常数为常数) )上，求上，求 的最小值的最小值. .【解析】【解析】 可看作点可看作点(x(x0 0,y,y0 0) )与点与点(a,b)(a,b)的距离，而点的距离，而点(x(x0 0,y,y0 0) )在直线在直线ax+by=0ax+by=0上，所以上，所以 的最小值为点的最小值为点(a,b)(a,b)到直线到直线ax+by=0ax+by=0的的距离距离2200 xayb2200 xayb2200 xayb2222a ab bab .ab 【方法技巧】【方法技巧】与直线上动点有关的最值的解法与直线上动点有关的最值的解法. .与直线上动点坐标有关的式子的最值问