从“耍金箍棒”、“踢三角”到“玩转金字塔”(1)

1、25 (2+23=5+20 =从“耍金箍棒”、“踢三角”到“玩转金字塔”谈一类与等差数列相关的计算概念已知数列an,若对于所有的n>2,都有an-an-i=d (d为常数)，我们就称数列an为等差数列(Arithmetic progression),其中d叫做这个等差数列的 公差。等差数列an中每一个数ai都叫做等差数列的项。有限项等差数列 ai、a2、a3、an中，n叫做等差数 列的项数，ai叫做等差数列的首项，an叫做等差数列的 末项。基本公式 an=ai+(n-1) - d=am+(n-m) - dn=(an- ai) +d+1d=(an- a25 25 252525252525我

2、们会发现最后合二为一的这个“金箍棒”每个位置上的数都是) + (n-1)=( ai- aj) + (i-j)一、从基本的等差数列求和谈起等差数列求和是各类考试中常考的内容，是中小学生需要掌握的基本数学技能之一。例 1 计算 2+5+8+11 + 14+17+20+23分析 显然这是一串等差数列求和。如下图，我们把这串数字顺次写到孙悟空的“金箍棒”上：25811141720 23我们再复制一个完全一样的“金箍棒”，然后把复制的“金箍棒”掉一下头(即绕中心旋转180。)，再把两个“金箍棒”合二为一，最后把相同位置上的数相加。如下图:25811141720 23' 2320171411852

3、;25811141720232320171411852=23+2=25), 一共有8个位置，所以最后这个“金箍棒”上所有的数的和等于25X 8=200,而这个“金箍棒”是由最开始的两个“金箍棒”合二为一的，所以最开始的“金箍棒”上的所 有的数之和等于 200+ 2 = 100o因此，我们可以知道2+5+8+11+14+17+20+23=(2+23) X 8+2=100而事实上，对于任意等差数列 an,我们采取同样的方式:a10 a3ai an.1annn-1n-2 an-i+1 a211这里有 ai+an-i+1=a1+(i-1) d+an+( n-i+1)- n - d=a1+an所以 a1

4、+a2+a3+an=( a1+an) n + 2,即Sna =(a + a，(其中an为等差数列)12二、再谈踢三角我们先来看一个例子:例 2 计算 1+(1+5)+( 1+5+9)+( 1+5+9+13)+ +( 1+5+9+T101)可能很多人看到这道题目的第一反应就是对每一个括号进行等差数列求和，然后再进行 下一步计算。我们不妨来尝试一下:原式_ 11 121531 92611011 22 63 1026 102我们会发现到这里后，接下来的计算就不太容易进行下去。换一个角度来观察原题，容易看出题目中共出现了1 个 101、2 个 97、3 个 93、25个 5 和 26 个 1,因止匕，

5、原式=1 X101+2X 97+3X 93+25X 5+26X 1。而变形后的这个算式，是若干个乘积的和的形式。每一部分乘法算式的第一个因数构成1开始的自然数列，而第二个因数101、97、93、5、1,则构成了一个等差数列。也就 是Z （i x ai）的形式。2i Inn我们可以从乘法的意义上来理解式子工（i x ai ），其中1 x a1表示1个a1, 2x a2表示2i 1个a2,，i x ai表示这些数正好可以排成一个三角形的形状。我们如果对这个“三角形”按顺时针方向踢上两脚，则会变成以下样子:aana3aa 3,an ,anaa3 a 2 a 3 ana 1 a2 a3anX Ji如果

6、把上面三个“三角形”合到一起，我们会神奇地发现重叠之后每一个位置上的三个数之和都等于ai+2an （证明过程略）。而每一个“三角形”者B有1+2+3+ - +n = n（n+ X 101+2X 97+3X 93+ T25X 5+26X 1 =(101+1 X 2)X 26X27 + 6 =12051变式 1 计算 5 X 23+6 X 25+7X 27+20X53）个位置，所以三个“三角形”上的所有数之和就等于+ 2a ）,口十1）,从而一个“三角形”上的所有数之和就等于a12ann n 1=(a + 2a ) 1 即1 n 61=a 2an（其中an为等差数列）的结果了。根据这个公式，我们就

7、可以计算前面1 X 101+2 X 97+3X 93+ T25X 5+26X 1解法一：原式=(1X 15+2X 17+3X19+T20X 53)-( 1X 15+2X 17+3X 19+4X 21)=(15+53 X 2) X 20X21- 6-( 15+21 X2) X4X 5+6 =8470-190=8280解法二：原式 =(1 X 23+2X 25+3X27+ - 4 16 X 53)+( 23+25+27+- +53) X 4=(23+53 X 2) X 16X 17+ 6+(23+53) X 16+2X4=5848+2832=8280变式 2 计算 3X4+5X7+7X 10+9X

8、 13+ 101 X 151解：原式=(2X4+4X 7+6X 10+100X 151)+( 4+7+10+151)=(1X4+2X7+3X 10+50X 151) X 2+(4+7+10+151)=(4+151 X 2) X 50X 51+ 6X 2+(4+151) X 50+2=260100+3875=263975变式 3 计算 12+(12+22)+( 12+22+32)+ +( 12+22+32+T502)解：原式=12 X 50+22 X 49+32 X 48+492 X 2+502 X 1=(12 X 50+502 X 1)+( 22 X 49+492 X 2)+ +( 252 X

9、 26+262 X 26)=1 X 50X 51+2X 49X51+ T25X 26X 51=(1X 50+2X49+ T25X 26) X 51=(50+26 X 2) X 25X26+ 6X 51=563550三、玩转金字塔题目：1 x 2X a1+2x 3X a2+3x 4Xa3+-+nx (n+1) x an,(其中an为等差数列)分析：根据等差数列求和公式，我们知道 nX(n+1)=2X(1+2+3+-+n),所以上面这道题目就可以变形为：1 x a1+(1+2) x a2+( 1+2+3) x a3+(1+2+3+n) x an x 2因此要求原式的值，只需求1 x a1+(1+2

10、) x a2+( 1+2+3) x a3+-+( 1+2+3+-Tn) x an的值即可。我们以最简单的1X a1+(1+2) x a2+(1+2+3) x a3+( 1+2+3+4) x a4为例。如下图，根据乘14aaa3aa4a.aa1a4aa4aaa45a-4a 2a 3a4a 4a 3a 3a 3a 2a 2a2a4a 2a 2a 3a 4a 4a 4a 3a然后把这四个“金字塔”重合，会发现每个位置上的四个数之和都等于ai+3a4,而每个“金字塔”的位置数都是1+(1+2)+( 1+2+3)+( 1+2+3+4)=1 X 4+2 X 3+3 X2+4X 1=( 4+1X2)X4X5

11、 + 6=4X5X6+6=20个位置，所以这四个“金字塔”上面的所有数之和都等于（a1+3a4）X20,那么每一个“金字塔”上的所有数之和都等于（a1+3a4） x 20 + 4=5（a+3a4）上述过程可描述为:1X2Xa1+2X3Xa2+3X4X a3+4X 5X a4=1 x a1+( 1+2) x a2+( 1 +2+3) x a3+( 1+2+3+4) x a4 x 2=(a1+3a4) X4X5X6+6+4X2=(a1+3a4) x 4X5X6+ 12法意义，可以把a1、a2、a3、a4摆成“金字塔”的形状，然后通过翻转共可以得到4个不同的“金字塔”（让 a1所在的顶点在四个位置各出现一次），aaa4a3 a 44a 4a；4aa 4aa 4一般地，1X 2Xa1+2x 3Xa2+3X4x a3+nx(n+l) xan=1 x ai+( 1 +2) x a2+( 1 +2+3) x a3+(1 +2+3+ n) x an x 2=(a1+3an) x n x ( n+1) x ( n+2) + 6 + 4X2=(a1+3a4) x nx ( n+1) x ( n+2) + 12即，工E x(i+1尸a】=(a + 3a (其中印为等差数列)i4i 1n12四、综述对