2018年专题10(几何)最值问题(含详细答案)

1、专题 10 几何最值问题1 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和 4cm，高为5cm若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A61cmB 11cmC 13cmD 17cm第 1题第 2题第 3题第 4题2已知圆锥的底面半径为r 20cm,高 h 20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发在侧面上爬行一周又回到A 点，蚂蚁爬行的最短距离为3如图，在ABC 中，AB3，AC4， BC5，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于E，PF AC 于 F ，则EF 的最小值为（）A 2B 2.2C 2.4D 2.54如图，在矩形ABCD 中， AB 10

2、， BC 5若点M、 N 分别是线段AC， AB 上的两个动点，则BM MN 的最小值为（）A 10B 8C 5 3D 65如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）， 有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C1 处（ 1 ）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（ 2）当AB 4,BC 4,CC1 5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长（ 3）在（2）的条件下，求点B1到最短路径的距离6如图，已知P 为 AOB 内任意一点，且AOB 30°，点P1、 P2分别在OA、 OB 上，求作点 P1、 P2,使PP1P2的周长最小，连接OP，若OP 10cm，求PP1P2

3、的周长7如图，E， F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点，满足G ， 连接 BE 交 AG 于点H 若正方形的边长为2， 则线段AE DF 连接 CF 交 BD 于点DH 长度的最小值是第 7题第 8题8如图，在等腰Rt ABC 中 , BAC 90°,AB AC,BC 4 2,点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以AD 为直径的圆交BD 于点 E，则线段CE 长度的最小值为9 如图， O 的半径为1， 弦 AB 1， 点 P 为优弧 AB上一动点,AC AP 交直线 PB 于点 C，1A 2BC23D则 ABC 的最大面积是(几何最值6 / 1610如图，已知抛物线y

4、x2bxc与一直线相交于A(1 ，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点 N 其顶点为D(1)抛物线及直线AC 的函数关系式；(2)设点M(3， m)，求使 MN MD 的值最小时m 的值；(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B， E 为直线 AC 上的任意一点，过点E 作 EFBD 交抛物线于点F，以B， D， E， F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；(4)若 P 是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC 的面积的最大值11如图，抛物线l 交 x轴于点A( 3， 0)、 B(1， 0)，交y轴于点C(0，3)将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线

5、l 1(1)求 l1的解析式；(2)在 l1的对称轴上找出点P,使点P 到点 A的对称点A1及 C 两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x 轴的一条直线交抛物线l1于E、 F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径12 （2016朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： ABC 内总存在一点 P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小【特例】如图1 ，点P 为等边ABC 的中心，将ACP 绕点 A 逆时针旋转60°得到ADE,从而有 DE PC，连接PD 得到PDPA，同时APBAPD 120° 60°180

6、°,ADPADE180°,即B、P、D、E 四点共线，故PAPBPC PDPBDEBE在ABC中，另取一点P ，易知点P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、 P、 D、 E 四点不共线，所以PA PB PC> PA PB PC,即点 P 到三个顶点距离之和最小13 问题提出（ 1） 如图1， 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a， AB=b， 填空： 当点 A 位于时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为（用含a， b 的式子表示）问题探究（ 2）点A 为线段 BC 外一动点，且BC=6， AB=3 ，如图 2所示，分别以AB， AC 为边，作等边三角形A

7、BD 和等边三角形ACE，连接CD， BE，找出图中与BE 相等的线段，请说明几何最值6 / 16理由，并直接写出线段BE 长的最大值问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（5，0），点P 为线段 AB 外一动点，且PA=2， PM=PB，BPM=90° ，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标如图4，在四边形ABCD 中， AB=AD ，BAD=6°0 ， BC=4 2，若对角线BD CD于点D ，请直接写出对角线AC 的最大值几何最值9 / 1614 如图所示，已知抛物线ya(x3)(x1)(a0)，与 x轴从左至右依次

8、相交于A、B 两点，与 y 轴相交于点C，经过点A 的直线y3x b与抛物线的另一个交点为D(1)若点 D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、 B、 P 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标；(3)在 (1)的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点(不含端点)， 连接BE 一动点 Q从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点E，再沿线段ED 以每秒 2 3个单位的速度运3动到点 D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？E 点，过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB答案1 平面展开

9、最短路径问题解：如图所示：长方体的底面边长分别为2cm 和 4cm,高为5cm PA 4 2 4 2 12(cm),QA 5cm, PQPA2 AQ2 13cm故选：C2解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E, r 20cm,h 20 15cm由勾股定理可得母线l r2 h2 80cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2× 20 n ×80,180 n 90°即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AA'A E2 AE2 80 2cm答：蚂蚁爬行的最短距离为80 2cm故答案为：802cm 3解：连接AP,在 ABC 中， AB 3,AC 4, BC 5， A

10、B 2 AC2 BC2,即BAC 90°又PE AB 于 E,PF AC 于 F，四边形AEPF 是矩形， EF AP， AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即2.4, EF 的最小值为2.4,故答案为：2.44解：过B 点作 AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到于 F 点，AC 5 5,AC 边上的高为AB BC 2 5, 所以BE 4 5ACABCEFB, AB AC 即 10 5 5 EF BE, 即 EF 4 5EF 8故选：B5解：( 1)如图，木柜的表面展开图是矩形ABC'1 D1或 ACC1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC

11、9;1或 AC1;( 2)蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'1D1爬过的路径AC'1的长是l142 (4 5)2几何最值9 / 16蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长l197,蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是l2(4 4)2 52l 1 > l2,故最短路径的长是l 2 89( 3)作B1E AC1于 E，C1EB1C1A1A, A1C1A是公共角，AA1C1B1EC1,B1E B1C1即AA 1 AC1 ,B1C1420则 B1E AA1 5为所求1 AC1189896解：分别作点P 关于OA、 OB 的对称点M、N ，连接MN，分别交

12、OA、 OB 于点P1、 P2,几何最值24 / 16连接 OM、 ON、 PP1、 PP2,此时PP1P2的周长最小, PP1P2的周长P1P2,PP1 P1P2 PP2MP1 P1P2 NP2 MN， M 、 N 分别是 P 关于OA、 OB 的对称点，MOAAOP ,NOBBOP,PP1P1M,PP2P2N,MOPONO，MONMOA AOP NOBBOP 2AOB,AOB 30°, MON 2×30° 60°, OMN 是等边三角形，又 PP1P2 的 周 长 P1P2,PP1 P1P2 PP2 MP1 P1P2 NP2 MN， MNP 的周长M

13、N MO PO 10cm7解：在正方形ABCD 中 ,AB AD CD, BADCDA, ADG CDG,在 ABE 和 DCF 中 ,AB CD BAD CDA, AE DF ABE DCF(SAS),12,在ADG 和CDG 中 ,AD CD ADG CDG, DG DGADGCDG(SAS),23,13,BAH3 BAD90°,1BAH 90°,AHB 180° 90° 90°,取 AB 的中点O,连接OH、 OD,则 OH AO21AB1,在RtAOD 中,ODAO2AD212225,根据三角形的三边关系,OH DH> OD,当

14、O、 D、 H 三点共线时,DH 的长度最小最小值OD OH 5 1(解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB,AB 直径的半圆AB上运动当O、 H、 D 三点共线时,DH长度最小)故答案为：5 18 解：连结AE，如图1，BAC 90° ,AB AC,BC 4 2, AB AC 4，AD 为直径，AED 90°,AEB 90°,点 E 在以 AB 为直径的O 上， O 的半径为2，当点O、 E、 C 共线时，CE 最小，如图在 Rt AOC 中， OA 2,AC 4， OCOA2 AC2 2 5, CE OC OE 25 2,即线段 CE 长度的最小值为25 2

15、故答案为25 29解：连结OA、 OB，作 ABC 的外接圆D，如图 1， OA OB 1,AB 1， OAB 为等边三角形，AOB 60°,1APB 2 AOB 30°, AC AP,C 60° , AB 1 ， 要使 ABC 的最大面积，则点 C 到 AB 的距离最大，ACB60°,点C 在 D 上，ADB120°,如图2，当点 C 优弧 AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时面积为43AB2 43,ABC 的最大面积为43故选：D10解：(1)由抛物线得, 1 b c 0 4 2b c 3,解得故抛物线为yx2yx2 bx c过点

16、 A( 1,0)及 C(2,3)b 2c 3, 2x 3ABC 为等边三角形，且又设直线为y kx n 过点A( 1,0)及 C(2,3)得 k n 0k 1,解得故直线 AC 为y x 1;2k n 3n 1(2)如图1,作N 点关于直线x 3 的对称点N ,则 N (6,3),由 (1)得 D(1,4),故直线 DN 的函数关系式为y1x 21,55M(3,m)在直线DN上时,MN MD 的值最小,21 1855;1则 m × 35(3)由 (1)、 (2)得D(1,4),B(1,2),点 E 在直线 AC 上 ,设 E(x,x 1),如图2,当点E 在线段 AC 上时,点F 在

17、点 E 上方 ,则F(x,x 3), F 在抛物线上, x3x2 2x 3,解得,x 0或 x1(舍去) E(0,1);当点 E 在线段AC(或 CA)延长线上时,点 F 在点 E 下方,则F(x,x 1)由 F 在抛物线上x1 x22x3解得x1 217或x1 2 17 E 1 217, 3 217或 1 217, 3 217综上 ,满足条件的点E 的坐标为(0,1)、1 2 17, 3 2 17 或 1 2 17, 3 2 17 ;(4)方法一： 如图3,过点P 作 PQ x轴交 AC 于点Q,交 x轴于点 H； 过点 C 作 CG x轴于点G,设Q(x,x1),则P(x,x22x3)PQ

18、(x22x3)(x1)x2x211231 227又SAPCSAPQSCPQ2PQag2( x x2)× 32x2 827面积的最大值为278方法二：过点P 作 PQ x轴交 AC 于点Q,交 x 轴于点H；过点C 作 CG x轴于点 G,如图23,设Q(x,x1),则P(x,x22x3)又SAPC S_(APH)S_(直角梯形PHGC) S_(AGC)12(x1)(x22x3)21(x22x33)(2x)21× 3× 323x232x331 2272 x2 827APC 的面积的最大值为27811解：(1)如图1 所示,设经翻折后,点 A、 B的对应点分别为A1、

19、 B1,依题意,由翻折变换的性质可知A1(3,0),B1( 1,0),C点坐标不变,因此,抛物线l1经过A1(3,0),B1( 1,0), C(0, 3)三点,设抛物线l1的解析式为y ax2 bx c,则有：9a 3b c 0abc 0 ,解得a1,b2,c3,故抛物线l 1的解析式为：yx22x3c3(2)抛物线l1的对称轴为：xb 1,2a如图 2 所示,连接B1C并延长,与对称轴x 1 交于点P,则点P 即为所求此时,|PA1 PC| |PB1 PC| B1C设P为对称轴x 1 上不同于点P 的任意一点,则有：|P A1 P C| |P B_(1) P C|< B_(1)C(三角

20、形两边之差小于第三边),故 |P B1 P C|< |PA1 PC|,即 |PA1 PC|最大设直线B1 C的解析式为y kx b,则有： k b 0,解得k b3,故直线B1C的解析式为：y3x 3b3令x 1,得y6,故P(1, 6)(3)依题意画出图形,如图 3所示,有两种情况当圆位于x 轴上方时,设圆心为D ,半径为r,由抛物线及圆的对称性可知,点 D 位于对称轴x 1 上 ,则 D(1,r),F(1 r,r)点F(1r,r)在抛物线y x22x3上,r(1r)2 2(1r)3,化简得：r2r40解得r1172 1,r2(gh(17) 1)/(2)(舍去),此圆的半径为172 1

21、;当圆位于x 轴下方时,同理可求得圆的半径为17 12综上所述,此圆的半径为172 1 或172 1 12解：( 1)如图1，将ACP 绕点 A逆时针旋转60°得到ADE ,PAD 60° , PACDAE, PA DA、 PC DE、 APC ADE 120°, APD 为等边三角形，PA PD, APD ADP 60°,APBAPD120°60°180°,ADPADE 180°,即B、P、D、E 四点共线，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC 的值最小（ 2）方法一：如图2，分别以AB、 BC 为边在ABC

22、 外作等边三角形，连接CD、 AE 交于点 P，AB DB、 BE BC 8、 ABD EBC 60°,ABEDBC,在 ABE 和 DBC 中，AB DB ABEDBC，ABEDBC （SAS）, CD AE、 BAE BDC ,BE BC又AOPBOD,APOOBD 60°,在 DO 上截取 DQ AP，连接BQ，在 ABP 和 DBQ 中，AB DB BAPBDQ，ABPDBQ （SAS）, BP BQ, PBAQBD ,AP DQ又QBDQBA 60°,PBAQBA 60°,即PBQ 60°, PBQ 为等边三角形，PB PQ，则 PA

23、 PB PC DQ PQ PC CD AE，在 Rt ACE 中， AC 6、 CE 8，AE CD 10，故点 P 到三个顶点的距离之和的最小值为10方法二：如图3，由（2）知，当APBAPCBPC 120°时 ,AP BP PC 的值最小，把 CPB 绕点 C 逆时针旋转60°得CP B ,由（2）知A、P、P、B 共线，且APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAP CBPCA 30°,ACB90°, ABAC2 B C2AC2 BC2 1013解：（ 1）点 A 为线段 BC 外一动点，且BC a,AB b，当点 A位于 CB 的延长线上时，线

24、段AC 的长取得最大值，且最大值为BC AB a b,故答案为：CB 的延长线上,a b;（ 2）CD BE，理由：ABD 与 ACE 是等边三角形，AD AB,AC AE, BAD CAE 60°, BAD BAC CAE BAC,即 CAD EAB,在 CAD 与 EAB 中，AD AB CAD EAB，CAD EAB（SAS）, CD BE；AC AE线段BE 长的最大值线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在 CB 的延长线上，最大值为BD BC AB BC 3 6 9；( 3)如图1，连接BM，将 APM 绕着点 P 顺时针旋转90°

25、得到PBN,连接AN，则APN 是等腰直角三角形 PN PA 2,BN AM， A的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0), OA 2,OB 5， AB 3，线段AM 长的最大值线段BN 长的最大值，当 N 在线段BA的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值AB AN, AN 2AP 2 2,最大值为2 2 3;如图 2，过 P 作 PE x轴于 E， APN 是等腰直角三角形， PE AE2,OEBOAB AE53222, 2ff976c3.png P(22, 2)( 4)如图 4 中，以 BC 为边作等边三角形BCM ,ABDCBM60°, ABCDBM ,ABDB,BCBM，ABCDBM ,ACMD，欲求 AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可， BC 4 2定值, BDC 90°,点 D 在以 BC 为直径的O 上运动，由图象可知，当点D 在