13高阶导数与高阶偏导数ppt课件

1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1.3 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 一、高阶偏导数的定义一、高阶偏导数的定义 二、求高阶导数与高阶偏导数二、求高阶导数与高阶偏导数 三、高阶微分三、高阶微分 四、小结四、小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )( ),f xfxx 如如果果函函数数的的导导数数在在点点 处处可可导导 即即回想：高阶导数的定义回想：高阶导数的定义定义定义0()( )( )limxfxxfxfxx ,( )( ).fxf xx 存存在在 则则称称为为函函数数点点 处处的的二二阶阶导导数数在在记作记作2222( )( ),.d yd f xfxydxdx

2、 或或.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数, ,上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页,( )1( ),f xnnf x 一一般般地地 函函数数的的阶阶导导数数的的导导阶阶导导数数称称为为函函数数数数的的记记作作( )( )( )( ),.nnnnnnd yd f xfxydxdx或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, , 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. .,( );( ).f xfx 零零阶阶导导数数相相应应地地称称为为称称为为一一阶阶导导数数.,),(44)4()4(dxydyxf上

3、一页上一页下一页下一页返回首页返回首页30203)73()87( xxxy(90)(91).yy求求和和由于函数由于函数30203)73()87( xxxy展开后的最高次幂项为展开后的最高次幂项为30203303 x90303x 所以所以 )90(y )91(y30390!, 0.例例1 已知函数已知函数解解上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .一

4、、高阶偏导数的定义一、高阶偏导数的定义上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解,cosbyaexu

5、ax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax 2s,inaxabux yeby 2s.inaxabuy xeby 问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页322( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)( , ).x yx yf x yxyx yf x y 设设求求的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数解解( , )(0,0),x y 当当时时2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(232224222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxy

6、xfy 例例 4上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( , )(0,0),x y 当当时时按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0. 1 (0,0)(0,0).xyyxff 显显然然上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页. 02222 yuxu问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎

7、样的条件才能使混合偏导数相等？解解22221lnln(),2xyxy 因因为为上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页22,uxxxy ,22yxyyu 2222222()2()uxyxxxxy 2222222()2()uxyyyyxy 2222uuxy. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 因此因此所以所以22222,()yxxy 22222.()xyxy 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例6 6arctan ,(0),(0).yxff 设设求求解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( x

8、xxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.直接法直接法:根据定义逐步求高阶根据定义逐步求高阶( (偏偏) )导数导数. .二、求高阶导数与高阶偏导数二、求高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页,uvn设设函函数数 和和 具具有有 阶阶导导数数 则则)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:上一页上一页

9、下一页下一页返回首页返回首页22(20),.xyx ey 设设求求解解22,xuevx 设设则则由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式知知(20)2(20)22(19)22(18)2()20()()20(201)()()02!xxxyexexex 22! 21920222022182192220 xxxexexe20222(2095).xexx 例例7上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )ln xnyaxy，求求(01).aa，( )()(ln ) ,xnxnaaa 1( )( 1)(1)!(ln),nnnnxx 解解 例例8 ( )()( )0()(ln )nnkxn kknkyCax 10(

10、 1)(1)!(ln )knkxn knkkkC aax 10( 1)(ln )(1)!.xnkn kknkkaakCx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, ,变量代换等方法变量代换等方法, ,求出求出

11、n n阶导数阶导数. .3.间接法间接法:上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页(5)21,.1yyx 设设求求解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例9上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页66( )sincos,.nyxxy 设设求求解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x 53cos4 ,88x).24cos(483)( nxynn例例10上一页上一页

12、下一页下一页返回首页返回首页已知函数已知函数y=f(x)，则它的微分为，则它的微分为 三、高阶微分三、高阶微分( ).dyfx dx 亦可称为一阶微分；亦可称为一阶微分； 类似地，二阶微分定义为类似地，二阶微分定义为 ( )dfdxdyxd ( )fx dxdx ( )fx dx dx 2),(fxdx 记作记作 22( ).fxdxyd 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一般的，已知函数一般的，已知函数y=f(x)，则它的，则它的n-1阶微分为阶微分为 1(1)1( );nnndyfx dx 则则n阶微分定义为阶微分定义为 111( )nnndfdxyxdd 11( )nnfx dxd

13、x ( )( ),nnfxdx 记作记作 ( )( ).nnnfxd ydx 由此可得由此可得 (2)dd.nnxfyx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页注注 (1)()()nnnndxdxdxd x ，(2) 求求 n 阶微分实质上就是求阶微分实质上就是求 n 阶导数阶导数.解解 212,dyx dx 22d yy dx 224.xdx ()ndx表表示示微微分分的的幂幂，ndx简简记记为为；()nd x指指幂幂的的微微分分，1()nnd xnxdx 即即 ； .nxnd x而而是是 的的 阶阶微微分分上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页(3) 求高阶微分时：求高阶微分时：假设假

14、设 x 是自变量，则由于是自变量，则由于 dx 是不依赖于是不依赖于x 的任意的任意的数，故关于的数，故关于 x 微分时，必须视微分时，必须视 dx为常数因子为常数因子.假设假设 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如不是自变量，而是某一变量的函数，如( )xg t ，( ) .dxg t dtt 则则是是的的函函数数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页( )( )dyfx g t dt 2( )d yd fx dx ( )fx dx ( )( ) ()d fx dxfx d dx 22(.)( )fx dxfx d x 22( )( )xg td xg t dt 因因，故故 2(2)2d

15、d.yfxx 而而 x 是自变量时，有是自变量时，有2()d xd dx 2( )0,x dx 22.( )d yfx dx 所所以以 结论：高阶微分不具有形式不变性结论：高阶微分不具有形式不变性. ( )( )( ( )yf xxg tyf g t 设设，则则对对于于，有有上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页22(sin ) ()d yudu 2sin ()u du 22sin(2)xxdx 2224sin;xx dx 再求二阶微分再求二阶微分, 可得可得 222sind ydx 2222(2cos4sin)xxxdx222224sins.2co x dxxx dx 由此可见，上述两种结

16、果并不相等由此可见，上述两种结果并不相等. 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜.解解 cos,dyudu 2cosd ydudu coscosdu duud du 22sincos,uduud u 2,duxdx 22224,dudux dx 2222.d ud duu dxdx 故故 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页222sincosd yuduud u 222sin4xx dx 22cos2xdx 22224sin2cos.xxxdx 注注 上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1、高阶偏导数的定义、高阶偏导数的定义;2、高阶导数的运算法则、高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);3、 n阶导数的求法阶导数的求法;(1) 直接法直接法;(2) 间接法间接法.4、高阶微分不具有形式不变性、高阶微分不具有形式不变性.四、小结四、小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页思考题：思考