公开课正切函数的性质与图像（课堂PPT）

1、12函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21- -1xRxR 1,1y 1,1y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny -2,222xkk增函数增函数32,222xkk减函数减函数2,2xkk 增函数增函数2,2xkk 减函数减函数2522320 xy1- -122对称轴：对称轴：,2xkkZ对称中心：对称中心：(,0) kkZ对称轴：对称轴：,xkkZ对称中心：对称中心：(,0)2 kkZ奇函数奇函数偶函数偶函数3v教学目标：1.

2、会画正切函数图像，掌握正切函数的性质。2.用数形结合的思想理解和处理问题v教学重点：正切函数的性质的理解v教学难点：正切函数图像的生成v教学手法：在前面学过的正弦和余弦函数的基础上，学生对于三角函数有了一定的认知。本节课采用学生课前自主学习，课上展示成果的形式进行。根据学生的学情，本着不脱离教材的原则，本节课主要解决教材上的基础习题。41、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域； ZkkxRxxfxxxf,2,tantan 是是周期函数周期函数， 是它的一个周期是它的一个周期 xytan 由诱导公式知由诱导公式知2 2、正切函数、正切函数 是否为是

3、否为周期函数周期函数？ xytan tan0yxxy 的终边不在 轴上()2kkz讲授新课讲授新课53 3、奇偶性、奇偶性思考：定义域思考：定义域 Zkkxx,2| 是否关于原点对称？是否关于原点对称？思考思考 正切函数正切函数 是否具有是否具有奇偶性奇偶性？ xytan 由诱导公式知由诱导公式知 ZkkxRxxfxxxf,2,tantan正切函数是正切函数是奇函数奇函数. . 64、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?思考思考 oxy(1,0)AT正切线正切线AT oxy(1,0)AT oxy(1,0)AT oxy(

4、1,0)ATxxxx7xyO1 2 3 4 T4T3T2T1A如图，在如图，在121212tantanATAT 即即因而因而tany 在在(0,)2 单调递增；单调递增；在在(,0)2 内内434343tantanATAT 即即因而因而tany 在在(,0)2 单调递增；单调递增；所以所以tany (, )2 2 单调递增单调递增(0,)2 内内在在8综上综上(,)2 2 是是tany 的一个单调递增区间。的一个单调递增区间。又周期为又周期为所以所以tany 在每一个开区间在每一个开区间(,),22kkkZ 单调递增，无单调递减区间。单调递增，无单调递减区间。0,kzkk且95 5、值域、值域

5、由正切线可以看到，由正切线可以看到，tan(,)2 2x 在在内可以取任意实数，但没内可以取任意实数，但没有最大值、最小值有最大值、最小值因此，正切函数的值域是因此，正切函数的值域是实数集实数集R RxyO103 ），（33tan AT0XY问题、如何利用正切线画出函数问题、如何利用正切线画出函数 ， 的的图像？图像？ xytan 22 ，x的终边的终边角角3 11作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切线作正切线(3) 平移平移(4) 连线连线把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。83488483，利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22

6、 ，x44288838320o,1), (0, 0), (,1),4422xx作 图 (-作图12 由正切函数的周期性，把图象向左、向右平移，得到由正切函数的周期性，把图象向左、向右平移，得到正切函数的图象，称为正切函数的图象，称为正切曲线正切曲线yx1-1/2-/23/2-3/2-0三点两线法作图像三点两线法作图像观察图像特征：关键点，线，变化趋势观察图像特征：关键点，线，变化趋势13yx1-1/2-/23/2-3/2-0定义域值域周期性奇偶性单调性 RT= 奇函数 函数y=tanx,2|Zkkxx增区间Zkkk)2,2(性质你能从正切函数的图象出发你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗讨

7、论它的性质吗?14正正切切函函数数图图像像Z k,2kx 渐近线方程：渐近线方程： 对称中心对称中心kk(,0)(,0)2 2渐进线性质 :渐进线正切函数有对称轴吗？正切函数有对称轴吗？无对称轴无对称轴15(1)正切函数是正切函数是上的上的增增函数吗？为什么？函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是正切函数会不会在某一区间内是减减函数？为什么？函数？为什么？ 问题：问题：AB 在每一个开区间 ， 内都是增函数。( (- -+ + k k, ,+ + k k) )2 22 2k kZ Z问题讨论16c. 每个单调区间都跨两个象限：四、一或每个单调区间都跨两个象限：四、一或二、三。二、三

8、。 强调：b.b.正切函数在每个单调区间内都是正切函数在每个单调区间内都是增函数；增函数；a.a.不能说正切函数在不能说正切函数在整个定义域内整个定义域内是增函数；是增函数；17图像特征：图像特征：正切曲线是被互相平行的直线正切曲线是被互相平行的直线,2xkkZ 所隔开的无穷多支曲线组成的。所隔开的无穷多支曲线组成的。在每一个开区间在每一个开区间(,),22kkkZ 内，图像自左向内，图像自左向右呈上升趋势，右呈上升趋势，向上与直线向上与直线,2xkkZ 无限接近但无限接近但,2xkkZ 无限接近但永不无限接近但永不请同学们从正切函数图像出发，验证其性质。请同学们从正切函数图像出发，验证其性质

9、。永不相交；向下与直线永不相交；向下与直线相交。相交。2 2、将将,2xkkZ 称为正切曲线的渐近线。称为正切曲线的渐近线。1 1、间断性：、间断性：18题型一 求定义域1.tan()3yx例 求函数的定义域。32xk解：56xk5 |,6x xkkZ定义域为19题型一 求定义域针对练习：针对练习：p45 3题题 求函数y=tan3x的定义域32xk解：63kx |63kx xkZ定义域为，20题型二 求周期例2.求函数y=tan3x的周期。( )tan3f xx解：tan(3)xtan3()3x()3f x3Ttan()|yAxT结论：的周期想一想：想一想：y=tanxy=tanx的周期的周

10、期呢？呢？口答：练习4题 习题A3，721题型三 单调性应用自己动手做一做吧！41317tan138tan143 ;(2)tan()tan()45A1.（练习）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）与与901381432703ytanx22tan138tan143解：且在（， ）上是增函数，22解答（2）：13(2)tan()tan( 3)tan()4441722tan()tan( 3)tan()555254 tan2 2yx 且在（-， ）上是增函数，2tantan45（-）（-）1317tantan45即（-）（-）23规律总结：比较两个正切值大小，关键是规律总结：比较两个

11、正切值大小，关键是把相应的角把相应的角 化到化到y=tanx的同一单调区间内，的同一单调区间内，再利用再利用y=tanx的单调递增性解决。的单调递增性解决。较0 00 01 1、比比大大小小：( (1 1) )t ta an n1 13 38 8 _ _ _ _ _ _t ta an n1 14 43 3 。1 13 31 17 7( (2 2) )t ta an n( (- -) )_ _ _ _ _ _t ta an n( (- -) )4 45 524例例2、观察正切曲线写出满足下列条件的、观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：的值的范围：tanx0解：画出解：画出y=tanx在在

12、上的图象上的图象.)2,2( )()2,(Zkkk在此区间上满足在此区间上满足tanx0的的x的范围为：的范围为： 结合周期性考虑，满足条件的结合周期性考虑，满足条件的范围为：范围为： 20 xxyo-112225tan3x 解不等式：解：0yx323)(2,3Zkkkx由图可知：练习26tan0 x 2、解不等式：1-3tan()63x3、解不等式：1、 解不等式 1+tanx0巩固练习答案: 1.,42xx kxkkZ,24xx kxkkZ 2.3.2,33xx kxkkZ27例例6课本例题分析解：函数的自变量解：函数的自变量x应满足应满足 即即所以，函数的定义域是所以，函数的定义域是x|

13、x2k+1/3,kZ，由于由于 因此函数的周期为因此函数的周期为2. 由由 解得解得因此，函数的单调递增区间是因此，函数的单调递增区间是求函数的定义域、周期和单调区间。)32tan(xy232kxKZKZKZKZKZKZ312 kx)32tan()32(xx )2(3)2(2tanxfxtan)(xfkxk2322kxk231235Zkkk),231,235(28tan 33yx求函数求函数 的定义域、值域，并指出它的的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性；单调性、奇偶性和周期性；、定义域1、值域215|318xx xRxkkZ且，yR3、单调性115,318 318xkk在上是增函数；4、奇偶性5、周期性最小正周期是3非奇非偶函数提高练习答案答案:29小结：正切函数的图像和性质小结：正切函数的图像和性质 2 、 性质性质:xy tan 象象向向左左、右右扩扩展展得得到到。再再利利用用周周期期性性把把该该段段图图的的图图象象，移移正正切切线线得得、正正切切曲曲线线是是